【摘要】“不等式”是高中階段數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn),也是學(xué)科考試的一個(gè)必考知識(shí)點(diǎn).因具有內(nèi)容復(fù)雜繁多、變化靈活等特點(diǎn),該知識(shí)點(diǎn)也是學(xué)科教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn),是考試中學(xué)生容易出錯(cuò)的題型.為幫助學(xué)生有效突破該重難點(diǎn)知識(shí),提升學(xué)生解答此類題型的能力,避免其在此類題型上失分,本文先簡要闡述高中階段“不等式”問題的解題方法,然后結(jié)合典型例題對(duì)“分離常數(shù)”“整體代換”“辨析模式”“換元法”四種不等式解題技巧進(jìn)行講解,以供參考和學(xué)習(xí).
【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);不等式;解題技巧
“不等式”是高中數(shù)學(xué)考試的必考內(nèi)容,因此,準(zhǔn)確解答此類題型是高中學(xué)生必須具備的應(yīng)試能力.作為高中數(shù)學(xué)教師,在實(shí)際教學(xué)中,應(yīng)對(duì)“不等式”相關(guān)的題型進(jìn)行分類、歸納,總結(jié)各類題型的形式特征和解題思路,在此基礎(chǔ)上傳授學(xué)生相關(guān)解題方法和技巧,以此完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu),全面提升其解答“不等式”問題的能力.
1 高中數(shù)學(xué)不等式解題的主要方法
1.1 比較法
此方法可細(xì)分為“作差比較”和“作商比較”兩種形式.其中,前者的理論依據(jù)為:a>ba-b>0;a<ba-b<0.而后者的理論依據(jù)為:b>0,ab>1a>b;b<0,ab>1a<b.可見,“比較法”的實(shí)質(zhì)是將兩個(gè)式子或數(shù)字的大小判斷問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)式子(或數(shù)字)與0(或1)的大小關(guān)系判斷.
具體的解題思路為:通過作差或作商,將已知的兩個(gè)式子或數(shù)字進(jìn)行變形,然后判斷所得變形式與“0”或“1”的大小關(guān)系,由此確定這兩個(gè)式子或數(shù)字之間的大小關(guān)系.
例如 “比較(x+1)(x+2)和(x-3)(x+6)的大小”一題,便可運(yùn)用作差比較法進(jìn)行解答.即:因?yàn)閤+1x+2-x-3x+6=(x2+3x+2)-(x2+3x-18)=20>0,所以x+1x+2>x-3x+6.
1.2 分析法與綜合法
分析法指的是,以需要證明的結(jié)論為著手點(diǎn),逐步分析、尋找能夠使其成立的充分條件,直至找到的條件為已知條件或明顯成立的客觀事實(shí)(已證明的定理、性質(zhì)或公理、定義),以此證明結(jié)論的正確性.其解題思路為“執(zhí)果索因”.
綜合法指的是,從已知條件出發(fā),通過一系列基于客觀事實(shí)(已證明的定理、性質(zhì)或公理、定義)的變形和推斷,得出欲證明的結(jié)論,從而證明命題成立,結(jié)論準(zhǔn)確.其解題思路為“由因?qū)Ч?
通過上述定義不難看出,分析法和綜合法之間具有緊密的內(nèi)在聯(lián)系,二者在邏輯思維上存在互逆性.實(shí)際解題過程中,通常將兩種方法整合運(yùn)用,先通過分析法尋找解題切入點(diǎn),梳理證明思路,然后利用綜合法進(jìn)行證明過程的敘述和表達(dá).
例如 以“求證:2+7<3+6”一題為例.解題時(shí),可先用分析法梳理思路:即欲證明該不等式成立,只需證2+72<3+62,即證明9+214<9+218,證明14<18,證明14<18.而“14<18”是客觀事實(shí),由此推斷出命題成立.基于“分析法”獲得的解題思路,可通過“因?yàn)?4<18,所以14<18,即9+214<9+218,即2+72<3+62,所以2+7<3+6”數(shù)學(xué)語言完成解題.
1.3 縮放法
該方法指的是在證明不等式的過程中,將某些部分的值放大或縮小,以此使不等式得到簡化,使式中的大小關(guān)系或邏輯關(guān)系得到凸顯,從而完成命題的論證.此方法的應(yīng)用要點(diǎn)在于分析證明式的形式特點(diǎn),明確縮放思路.
例如 以“若a>b>c,求證1a-b+1b-c+4c-a≥0”一題為例.通過對(duì)證明式的觀察分析,可以看出:不等式左邊前兩項(xiàng)均為正值,第三項(xiàng)為負(fù)值且沒有“b”這一元.所以解題時(shí)可以“縮掉b”作為切入點(diǎn).即:因?yàn)?a-b+1b-c≥21a-bb-c,a-bb-c≤a-b+b-c22=a-c22 ,所以1a-b+1b-c≥4a-c,故證明1a-b+1b-c+4c-a≥0.
2 高中數(shù)學(xué)不等式解題技巧
2.1 分離常數(shù)解決問題
在解答“求代數(shù)式最值”類題目時(shí),若代數(shù)式中含有分式且分子的最高次數(shù)高于分母的最高次數(shù),便可利用“分離常數(shù)”這一解題技巧快速解答.核心思路為:將分子轉(zhuǎn)化為分母的倍數(shù),通過轉(zhuǎn)化變形,將代數(shù)式簡化并分離出常數(shù),使得代數(shù)式的積為定值,然后利用不等式的基本定理完成求解.
例如 以“若x>0,y>0,x+2y=4,求代數(shù)式x+12y+1xy的最小值”一題為例.可按照以下思路運(yùn)用“分離常數(shù)”的技巧進(jìn)行求解:因?yàn)閤+2y=4;所以x+2y+1=5.故x+12y+1xy=2xy+x+2y+1xy=2xy+5xy=2+5xy.根據(jù)不等式基本定理“a+b≥2ab”可知:x+2y≥22xy,即4≥22xy,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=2時(shí)取等號(hào).由此可知,0≤xy≤2,則5xy≥52,即x+12y+1xy≥2+52,由此得出代數(shù)式的最小值應(yīng)為92.
2.2 整體代換解決問題
在解答不等式題目時(shí),應(yīng)細(xì)致審題,在仔細(xì)觀察已知條件和代數(shù)式形式特征的基礎(chǔ)上,分析、探尋二者之間的內(nèi)在聯(lián)系,以內(nèi)在關(guān)系為切入點(diǎn),將已知條件整體代入到題目中,替換掉某個(gè)常數(shù)或代數(shù)式,以此將題目簡化變形為可以套用不等式基本定理的式子,從而完成題目的求解.通常題目中包含“a+λb=1”這類已知條件時(shí),應(yīng)優(yōu)先嘗試?yán)谜w代換這一技巧進(jìn)行解題.
例如 以“已知m+2n=1且m、n均為正數(shù),求1m+1n的最小值”為例.看到題目中存在“a+λb=1”類型的已知條件,且求解代數(shù)式中也包含“1”,解題時(shí)便可利用“整體代換”的方式對(duì)1m+1n進(jìn)行轉(zhuǎn)化變形,即:1m+1n=m+2nm+m+2nn=1+2nm+mn+2=3+2nm+mn.根據(jù)不等式基本定理“a+b≥2ab”可知:2nm+mn≥22,則1m+1n≥3+22.當(dāng)且僅當(dāng)2nm=mn時(shí)取等號(hào),故本題答案為3+22.
2.3 換元解決問題
在不等式解題過程中,換元法與整體代換方法均是“轉(zhuǎn)化思維”的一種應(yīng)用形式,但二者具有明顯的區(qū)別.整體代換法通常是將已知條件整體代入到題目中,替換對(duì)象通常為某個(gè)常數(shù),而換元法則是創(chuàng)造一個(gè)單一變量,利用其替代題目中的某個(gè)較為復(fù)雜的表達(dá)式.在經(jīng)過對(duì)此變量的運(yùn)算后,再將原表達(dá)式代入式子中進(jìn)行計(jì)算求解,通過這種解題技巧能夠快速找到題目中蘊(yùn)含的邏輯關(guān)系,創(chuàng)造能夠運(yùn)用不等式基本定理的條件并簡化運(yùn)算,從而實(shí)現(xiàn)題目的快速、準(zhǔn)確解答.(例題略)