【摘要】 高中數(shù)學(xué)中涉及不少思想，整體思想即為其中之一，其有著比較廣泛的運(yùn)用空間，用來解題可以有效減少計(jì)算步驟、降低運(yùn)算的復(fù)雜程度，提升學(xué)生的解題效率，使學(xué)生通過整體思想的應(yīng)用掌握解答數(shù)學(xué)試題的竅門，幫助他們樹立學(xué)習(xí)好數(shù)學(xué)的自信心.本文主要對(duì)整體思想在高中數(shù)學(xué)解題中如何應(yīng)用進(jìn)行分析與探討，并分享部分解題實(shí)例.

【關(guān)鍵詞】整體思想；高中數(shù)學(xué)；解題技巧

整體思想，從本質(zhì)視角來說，就是基于問題的整體性質(zhì)切入，對(duì)問題的整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析與改造，找到問題的整體結(jié)構(gòu)特征，將一些圖形或者式子視為一個(gè)整體，確定好這些信息之間存在的內(nèi)在聯(lián)系，有意識(shí)、有目的地進(jìn)行整體處理.在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，教師可指導(dǎo)學(xué)生靈活應(yīng)用整體思想，使其通過化簡(jiǎn)和整理把問題本質(zhì)揭示出來，從而輕松解題.

1 應(yīng)用整體思想解決向量類試題

在高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，向量是一類比較特殊的題目，比較常見的是求某個(gè)向量的最值，處理此類試題時(shí)，教師不僅要提醒學(xué)生關(guān)注通解通法，即為結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算和幾何性質(zhì)來解答，還應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生學(xué)會(huì)擺脫固有思維定式的影響，直接分析題干中提供的所有條件，使其根據(jù)所學(xué)知識(shí)對(duì)這些條件展開整體處理，最終做到簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，順暢地完成試題解答[1].

例1 已知有兩個(gè)平面向量a與b，且滿足1≤|a|≤2，1≤|a+b|≤3，1≤a·b≤2，求b的最大值.

分析 本道題目較為特殊，如果運(yùn)用常規(guī)方面很難順利完成解題，而采用整體思想進(jìn)行處理的話，能夠有效簡(jiǎn)化計(jì)算流程，減少錯(cuò)誤現(xiàn)象的出現(xiàn).

詳解 因?yàn)?≤|a|≤2，

所以兩邊平方后能夠得到1≤|a|2≤4，

即為－4≤－|a|2≤－1①，

因?yàn)?≤|a+b|≤3，

所以兩邊平方后能夠得到1≤|a+b|2≤9②，

因?yàn)?≤a·b≤2，

所以兩邊同時(shí)乘以－2能夠得到－4≤－2a·b≤－2③，

通過對(duì)這三個(gè)不等式的觀察發(fā)現(xiàn)不等號(hào)的方向一樣，將它們進(jìn)行整體相加能夠得到0≤|b|2≤6，則|b|≤6，所以b的最大值是6.

2 應(yīng)用整體思想解決不等式試題

在高中數(shù)學(xué)不等式解題教學(xué)中，這類題目同初中時(shí)期的相比難度明顯增加，有的試題還較為復(fù)雜，有時(shí)學(xué)生很難快速找到解題的切入點(diǎn)與思路，這時(shí)需先對(duì)已知條件展開適當(dāng)處理或變形，再找到共同部分，然后把某個(gè)部分視為一個(gè)整體，通過一個(gè)字母來代替，清晰明了地把參數(shù)關(guān)系給呈現(xiàn)出來，但還需關(guān)注整體部分的具體取值范圍，由此確定最終結(jié)果[2].

例2 已知x，y，z均為正實(shí)數(shù)，且滿足（x+2y）（y+z）=4yz，其中z≤3x，求w=3x2+2y23xy的取值范圍.

分析 通過分析與整理所求的表達(dá)式w，發(fā)現(xiàn)里面含有xy與yx，可以將這兩個(gè)部分均視為整體，然后再根據(jù)所學(xué)習(xí)的函數(shù)知識(shí)就能夠完成解題.

詳解 結(jié)合題意可知

w=3x2+2y23xy=xy+23×yx，

這時(shí)可把xy視作一個(gè)整體，利用字母t來表示，那么w=t+23t，然后要求的便是t的具體取值范圍，

因?yàn)椋▁+2y）（y+z）=4yz，

所以xy+xz+2y2=2yz，

即為xy+2y2=z（2y－x），

又因?yàn)閦≤3x，

所以xy+2y2≤3x（2y－x）①，

因?yàn)閤、y、z均為正實(shí)數(shù)，所以xy+2y2>0，2y－x>0②，將②式兩邊都除以y，可以得到2－xy>0，則t<2，

將①式整理后可以得到3x2－5xy+2y2≤0，

也就是3t2－5t+2≤0，據(jù)此求得23≤t≤1，

根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)能夠判斷出w的取值范圍是263，53，

所以w=3x2+2y23xy的取值范圍是263，53.

3 應(yīng)用整體思想解決數(shù)列類試題

針對(duì)高中數(shù)學(xué)數(shù)列試題來說，常規(guī)考查對(duì)象是等差數(shù)列與等比數(shù)列這兩個(gè)方面的內(nèi)容，不過很多時(shí)候都會(huì)同函數(shù)知識(shí)結(jié)合到一起，所求的是數(shù)列通項(xiàng)公式，這就導(dǎo)致此類試題難度有所增大，學(xué)生不僅需關(guān)注對(duì)整體思想的應(yīng)用，還應(yīng)靈活采用數(shù)列和函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，同時(shí)結(jié)合具體題干情境，借助求數(shù)列通項(xiàng)公式的具體方法順暢完成解題[3].

例3 已知函數(shù)g（x）=fx+12－1是R上的一個(gè)奇函數(shù)，an=f（0）+f1n+…+fn－1n+f（1），n∈N*，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

分析 這是一道綜合性較強(qiáng)的試題，是函數(shù)同數(shù)列的結(jié)合題，難度相對(duì)較大，處理本道題目的關(guān)鍵之處是把x+12視為一個(gè)整體，利用整體思想能夠在運(yùn)算過程中少走一些彎路，且提高結(jié)果的準(zhǔn)確度.

詳解 因?yàn)楹瘮?shù)g（x）=f（x+12）－1是R上的一個(gè)奇函數(shù)，

所以g（－x）=－g（x），

那么當(dāng)把x+12視為一個(gè)整體時(shí)，

有fx+12+f12－x=2，則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)12，1對(duì)稱，然后將12－x也視為一個(gè)整體，且利用字母t來表示，

由此能夠得到x+12=1－t，

那么f（t）+f（1－t）=2，

又因?yàn)閍n=f（0）+f1n+…+fn－1n+f（1），

所以an=f（1）+fn－1n+…+f1n+f（0），

將兩個(gè)式子相加能夠得到2an=2+2+…+2=2（n+1），則an=n+1，

所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=n+1.

4 結(jié)語

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)切實(shí)意識(shí)到整體思想的特殊作用和功能，通過對(duì)一些具有代表性的經(jīng)典試題的深度剖析，讓學(xué)生明白這類試題所考查的側(cè)重點(diǎn)到底是什么，使其知道在什么時(shí)機(jī)、如何采用整體思想，不斷總結(jié)與歸納題型特征及解題規(guī)律，引領(lǐng)他們?cè)谡w思想助力下順利解答數(shù)學(xué)試題，且做好總結(jié)和反思工作，為高考做準(zhǔn)備.

參考文獻(xiàn)：

[1]黃火根.借助整體思想 走出數(shù)學(xué)解題困境[J].數(shù)理化解題研究，2023（06）：14-16.

[2]梁衛(wèi)祥.例談?wù)w思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用研究[J].高中數(shù)理化，2021（S1）：21.

[3]王立嘉.整體思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（09）：37-39.