【摘要】本文以幾道高中數(shù)學(xué)習(xí)題為例進(jìn)行分析，探討化歸思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用實(shí)踐.化歸思想在解題中較為常見(jiàn)，能夠?qū)?fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，有助于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，提高解題能力.本文結(jié)合高中數(shù)學(xué)的具體例題，詳細(xì)闡述化歸思想在解題中的應(yīng)用步驟，以對(duì)廣大師生有所啟示.

【關(guān)鍵詞】化歸思想；高中數(shù)學(xué)；解題技巧

高中數(shù)學(xué)知識(shí)具有較強(qiáng)的抽象性與復(fù)雜性，很多學(xué)生在解題過(guò)程中感到困難重重.教師為了促進(jìn)學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，提高解題能力，可引入化歸思想，提升學(xué)生解題效率.化歸思想將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，有助于學(xué)生在解題過(guò)程中找到問(wèn)題的突破口，從而順利解決問(wèn)題.化歸思想的基本內(nèi)涵是將一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)或多個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將一個(gè)未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)已知的問(wèn)題，從而找到解題的突破口[1].化歸思想的核心在于轉(zhuǎn)化和簡(jiǎn)化，要求學(xué)生能夠靈活運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，在解題過(guò)程中能夠進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化與簡(jiǎn)化，將復(fù)雜問(wèn)題變得簡(jiǎn)單易懂，實(shí)現(xiàn)解題[2].

例1 （1）若已知函數(shù)α，β滿足α3－3α2+5α=1，β3－3β2+5β=5，求解α+β的數(shù)值；

（2）已知關(guān)于x的方程在0，π內(nèi)有解，求α的取值范圍.

解析 （1）結(jié)合題意，構(gòu)造函數(shù).

f（x）=x3－3x2+5x=（x－1）3+2（x－1）+3，

得出f（α）=1，f（β）=5.

已知g（t）=t3+2t在R上為單調(diào)遞增的奇函數(shù)，同時(shí)滿足：

g（α－1）=f（α）－3=－2，

g（β－1）=f（β）－3=2，

得出g（α－1）=－g（β－1）=g（1－β）α－1=1－βα+β=2.

（2）該小題解題關(guān)鍵在于解三角方程，得出α的范圍，具有一定的難度，為此運(yùn)用化歸思想，將解題過(guò)程轉(zhuǎn)化為分析α=cos2x－cosx－1= （cosx－12）2－54在x∈［0，π］的取值范圍，此時(shí)在簡(jiǎn)單計(jì)算之后，即能夠得出α的取值范圍為－54，1.

解題思考 在解答該題目過(guò)程中，面對(duì)略微繁復(fù)的習(xí)題，引入化歸思想，構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行解題，巧妙地構(gòu)造輔助函數(shù)，在高中數(shù)學(xué)習(xí)題解答中被廣泛運(yùn)用，能夠?qū)㈩}目中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為輔助函數(shù)的性質(zhì)，從而利用已有的知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行解題，顯著提升了解題效率.

例2 若e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若對(duì)任意x∈1e，1，總有唯一的y∈－1，1，使得lnx－x+1+a=y2ey成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（ ）

（A）1e，e. （B）2e，e.

（C）2e，+∞. （D）2e，e.

解析 結(jié)合題意，

設(shè)f（x）=lnx－x+1+a，

在x∈1e，1情況下，

得出f′（x）=1－xx>0，f（x）為增函數(shù)，

因?yàn)閤∈1e，1時(shí)，

得出f（x）∈a－1e，a，

設(shè)g（y）=y2ey，那么對(duì)于任意的x∈1e，1，始終存在唯一的y∈－1，1，

能夠得出lnx－x+1+a=y2ey，

由于a－1e，a為g（y）的單值區(qū)間的子集，

那么在g′（y）=y（2+y）ey，

因此得出在y∈－1，0情況下，如果g（y）＜0，g（y）=y2ey為減函數(shù).

如果y∈0，1，g（y）＞0，g（y）=y2ey為增函數(shù).

由于g（－1）=1e<e=g（1），此時(shí)針對(duì)任意x∈1e，1，

始終存在唯一的y∈－1，1，

能夠滿足lnx－x+1+a=y2ey的等式成立，

因此得出a－1e，a1e，e，

所以a≤e，a－1e>1e，

得出a≤e，a>2e，即a∈2e，e.

因此該習(xí)題選（D）選項(xiàng).

例3 如圖1所示，現(xiàn)有一塊鋼板，需將它制作成一個(gè)零件，該零件的上面為半圓形，下面為矩形，周長(zhǎng)為P，那么需如何制作成的零件最大面積是多少？

分析 該習(xí)題屬于應(yīng)用題，直接解答具有一定的難度，此時(shí)可以引入化歸思想.結(jié)合題目中的條件與要求，引入化歸思想，將題目中的條件轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)的最值問(wèn)題進(jìn)行求解，能夠更為便捷地解題.

解析 結(jié)合題目條件，構(gòu)造函數(shù)，在該情境之下，設(shè)該矩形的一邊長(zhǎng)為x，則半圓的周長(zhǎng)表示為πx2.

該矩形的另一邊長(zhǎng)表示為：

AB=12（P－x－πx2）=2P－（π+2）x4，

S表示該零件的面積，則得出：S=12·π4x2+x·2P－（π+2）x4=－π+48x2+P2x，

由于a＜0，得出在x=－b2a=2Pπ+4情況下，S取得最大值，得出AB=Pπ+4.

因此，在矩形的兩鄰邊AB與BC之比為1∶2情況下，可得出Smax=P28+2π.

點(diǎn)評(píng) 思考該問(wèn)題時(shí)，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，包括幾何圖形面積的計(jì)算、優(yōu)化問(wèn)題的求解.可將該問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)問(wèn)題，即尋找一個(gè)函數(shù)，該函數(shù)要能描述零件面積與半圓的半徑、矩形的長(zhǎng)和寬之間的關(guān)系.利用數(shù)學(xué)工具求解該函數(shù)的最大值，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)確定零件的最佳設(shè)計(jì)方案[4].解答該題目過(guò)程中，將數(shù)學(xué)結(jié)果解釋回實(shí)際問(wèn)題中，根據(jù)計(jì)算得到的最佳設(shè)計(jì)方案制作零件，以保證面積達(dá)到最大值.在題目解答過(guò)程中，巧妙運(yùn)用化歸思想，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行求解，可更加準(zhǔn)確地找到問(wèn)題的解決方案[5].

結(jié)語(yǔ)

化歸思想是一種重要的數(shù)學(xué)解題思想方法，在高中數(shù)學(xué)解題中具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值.在高中數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用化歸思想可以將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，未知問(wèn)題已知化，從而找到解題的突破口.因此，教師在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的化歸意識(shí)，促進(jìn)學(xué)生利用化歸思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.

參考文獻(xiàn)：

[1]馬曉丹.核心素養(yǎng)視角下高中數(shù)學(xué)微專(zhuān)題教學(xué)策略與實(shí)踐——以“求解圓錐曲線的離心率”教學(xué)為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2022（27）：29-30.

[2]劉灝.立足知識(shí)基礎(chǔ)，聚焦方法思想——2023年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)全國(guó)二卷第18題[J].數(shù)理天地（高中版），2024（07）：63-65.

[3]劉大偉，李勇霞.探究高考試題中的數(shù)學(xué)思想——以2022年新高考Ⅰ卷為例[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2022（09）：15-18.

[4]沈月紅.撥云見(jiàn)日終有時(shí)，化歸解題醉晴空——化歸思想在高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的應(yīng)用方法分析[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2022（34）：17-19.

[5]林世平，王珠芳.立足轉(zhuǎn)化思想，培育核心素養(yǎng)——例談轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)之友，2022，36（20）：58-60.