【摘要】解題訓(xùn)練在理科學(xué)科教學(xué)中占據(jù)著重要地位，不僅能夠幫助學(xué)生練習(xí)運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解題，還可以讓他們?cè)诮忸}實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)個(gè)人薄弱之處，使其有針對(duì)性地加強(qiáng)訓(xùn)練.在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，教師除介紹一些常用解題方法，還需指引學(xué)生巧用構(gòu)造法，增強(qiáng)他們的解題能力.

【關(guān)鍵詞】構(gòu)造法；高中數(shù)學(xué)；解題技巧

構(gòu)造法就是當(dāng)處理部分?jǐn)?shù)學(xué)試題時(shí)，采用定向思路與常規(guī)方法遇到障礙，可以結(jié)合題干中出現(xiàn)的已知條件與所求結(jié)論從新視角展開(kāi)研究，根據(jù)這些信息之間存在的內(nèi)在關(guān)聯(lián)構(gòu)造出滿(mǎn)足已知條件與所求結(jié)論的數(shù)學(xué)對(duì)象，由此降低原題難度.高中數(shù)學(xué)教師在平常的解題訓(xùn)練中可指導(dǎo)學(xué)生巧用構(gòu)造法，使其通過(guò)構(gòu)造出新的數(shù)學(xué)對(duì)象找到簡(jiǎn)便方法，順利解答試題.

1 巧用構(gòu)造法解答方程試題

構(gòu)造方程法即通過(guò)方程知識(shí)解答試題.在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，當(dāng)試題中出現(xiàn)顯著的數(shù)量關(guān)系或者結(jié)構(gòu)特征時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生巧用構(gòu)造方程的方法得到等量關(guān)系，借助未知數(shù)將抽象部分轉(zhuǎn)化為新的數(shù)學(xué)形式，從而把原題變得簡(jiǎn)單，讓學(xué)生結(jié)合新式子的相關(guān)特征及知識(shí)順利解答試題.

例1 已知方程（u－i）2－4（i－x）2（x－u）=0，請(qǐng)證明：u，i，x能夠組成一個(gè)等差數(shù)列.

分析 在本試題中，能夠直接運(yùn)用構(gòu)造法展開(kāi)分析和解題，認(rèn)真觀察題干中給出的方程式，根據(jù)等量關(guān)系構(gòu)造出新式子，通過(guò)觀察看到原方程與已經(jīng)學(xué)過(guò)的二次函數(shù)中Δ=b2－4ac比較類(lèi)似，故可據(jù)此確定解題方案與思路，結(jié)合函數(shù)及方程相關(guān)知識(shí)來(lái)解答試題.

證明 如果方程（i－x）t2+4（u－i）t+（x－u）=0，

則Δ=（u－i）2－4（i－x）（x－u），

又因?yàn)榉匠蹋╱－i）2－4（i－x）2（x－u）=0成立，

所以Δ=0，

由此說(shuō)明方程（i－x）t2+4（u－i）t+（x－u）=0只存在一個(gè)實(shí)數(shù)根，

則t=1，

根據(jù)韋達(dá)定理可以得到：

x1+x2=－u－ii－x=12，

所以i+x=2u，

從而證明u，i，x能夠組成一個(gè)等差數(shù)列.

2 巧用構(gòu)造法解答函數(shù)試題

不少高中數(shù)學(xué)試題都涉及函數(shù)知識(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生巧妙采用構(gòu)造法處理函數(shù)類(lèi)試題，使其借助構(gòu)造法優(yōu)化解題思路，將復(fù)雜化的試題轉(zhuǎn)變?yōu)楹?jiǎn)單形式，找到簡(jiǎn)便算法，有效降低解題難度，最終順暢解答試題.

例2 已知（x+2y）5+x5+2x+2y=0，那么x+y的值是什么？

分析 解答本題可采用構(gòu)造函數(shù)的方法，因?yàn)樵谠街谐霈F(xiàn)兩類(lèi)未知數(shù)x與y，且是高次冪，直接求解的話難度較大，需對(duì)該式子進(jìn)行仔細(xì)分析，找到存在的函數(shù)關(guān)系，構(gòu)建等式，完成解題.

詳解 原式可移項(xiàng)變形為：

（x+2y）5+（x+2y）=－（x5+x），

設(shè)函數(shù)f（t）=t5+t，該函數(shù)為一個(gè)奇函數(shù)，

所以f（x+2y）=－f（x）=f（－x），

由此得到x+2y=－x，

則2x+2y=0，

所x+y的值是x+y=0.

3 巧用構(gòu)造法解答數(shù)列試題

在高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，數(shù)列也是一類(lèi)較為重要的內(nèi)容，以常見(jiàn)的等差和等比這兩種數(shù)列為主，也是高考中必考點(diǎn)之一.數(shù)列呈現(xiàn)出的規(guī)律比較特殊，題干中往往能夠清晰展示題目特點(diǎn).在高中數(shù)學(xué)數(shù)列解題訓(xùn)練中，教師可指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合實(shí)際問(wèn)題特征巧用構(gòu)造法，將遞進(jìn)公式展開(kāi)變形，使學(xué)生根據(jù)概念確定數(shù)列具體類(lèi)型，順暢解題.而且教師應(yīng)提示學(xué)生根據(jù)具體問(wèn)題構(gòu)造等差或者等比數(shù)列，讓他們能夠結(jié)合數(shù)列的實(shí)際性質(zhì)輕松解答試題.

例3 已知數(shù)列an中，a1=5，a2=2，a3=2an－1+3an－2，且（n≥3），那么數(shù)列an的通項(xiàng)公式是什么？

分析 這是一類(lèi)比較常見(jiàn)的數(shù)列題目類(lèi)型，題干中提供一些項(xiàng)的值和等量關(guān)系，要求的則是數(shù)列通項(xiàng)公式，如果使用直接求解法的話極易出錯(cuò)，不過(guò)可以巧用構(gòu)造法，結(jié)合題干中提供信息和條件展開(kāi)適當(dāng)變化和構(gòu)造，繼而找到清晰、簡(jiǎn)便的解題方案.

詳解 因?yàn)閍3=2an－1+3an－2，

所以an+an－1=3（an－1+an－2），

又因?yàn)閍1+a2=5+2=7，

所以{an+an－1}就是一個(gè)以7為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，

即為an+an－1=7×3n－1①，

因?yàn)閍n－3an－1=－（an－3an－2），

a2－3a1=2－3×5=2－15=－13，

所以{an－3an－1}就是一個(gè)以－13為首項(xiàng)，－1為公比的等比數(shù)列，

即為an－3an－1=（－13）（－1）n－1②，

然后令①×3＋②能夠得到：

4an=7×3n－1+13（－1）n－1，

所以an=74×3n－1+134（－1）n－1.

4 巧用構(gòu)造法解答圖形試題

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，處理解析幾何或者立體幾何類(lèi)的問(wèn)題時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生把構(gòu)造法同數(shù)形結(jié)合思想有機(jī)整合在一起，按照題目中的數(shù)量關(guān)系對(duì)圖形展開(kāi)構(gòu)造，使學(xué)生結(jié)合直觀化的圖形分析抽象化的數(shù)學(xué)問(wèn)題，由此降低解題難度，輔助學(xué)生準(zhǔn)確、快速地求得問(wèn)題答案.

例4 已知α，β，γ都是銳角，且滿(mǎn)足cos2α+cos2β+cos2γ=1，請(qǐng)證明：tanα·tanβ·tanγ≥22.

分析 由于α，β，γ均為銳角，故可以構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體，將這三個(gè)角視為一條對(duì)角線（長(zhǎng)為1）與相鄰3個(gè)面的夾角，用長(zhǎng)方體的一頂點(diǎn)上3條棱a，b，c來(lái)表示tanα，tanβ，tanγ，再采用均值不等式a2+b2≥2ab完成證明.

證明 通過(guò)觀察與聯(lián)想根據(jù)題意可構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1，如圖1所示，把α，β，γ視為一條對(duì)角線（長(zhǎng)為1）與相鄰3個(gè)面的夾角，將該頂點(diǎn)的三條棱設(shè)為a，b，c，則在該長(zhǎng)方體中，a2+b2+c2=12，

所以（a1）2+（b1）2+（c1）2=1，

因?yàn)棣粒?，γ均為銳角，

且cos2α+cos2β+cos2γ=1，

令a1=cosα，b1=cosβ，c1=cosγ，

則tanα=b2+c2a≥2bca，

tanβ=a2+c2b≥2acb，

tanγ=a2+b2c≥2abc，

所以tanα·tanβ·tanγ≥22.

5 結(jié)語(yǔ)

總的來(lái)說(shuō)，在高中數(shù)學(xué)解題活動(dòng)中，教師應(yīng)深刻了解構(gòu)造法的功效，帶領(lǐng)學(xué)生以理解構(gòu)造法的內(nèi)涵為前提展開(kāi)解題練習(xí)，使其根據(jù)不同試題特征靈活使用構(gòu)造法，結(jié)合題設(shè)中的條件與結(jié)論構(gòu)造出符合解題需求的數(shù)學(xué)對(duì)象，讓學(xué)生高效完成試題的解答，為高考作準(zhǔn)備.

參考文獻(xiàn)：

[1]代建廣.構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中的應(yīng)用技巧[J].數(shù)理天地（高中版），2023（15）：43-44.

[2]張宏敏.應(yīng)用構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)中的解題策略[J].數(shù)理天地（高中版），2022（18）：49-51.