【摘要】解析幾何“范圍”問題是高考中的一個(gè)熟悉面孔，綜合性強(qiáng)，難度偏大，備受命題者青睞．本文結(jié)合實(shí)例，尋找破解此類問題的技巧策略，合理構(gòu)建不等式、函數(shù)式或幾何圖形，從不等式視角、函數(shù)值域視角或數(shù)形結(jié)合視角等展開，總結(jié)解題規(guī)律，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考．

【關(guān)鍵詞】解析幾何；“范圍”問題；解題技巧

解析幾何“范圍”問題一直是歷年高考數(shù)學(xué)的難點(diǎn)和熱點(diǎn).“難”在于它綜合性強(qiáng)、靈活性高；“熱”在于它融眾多知識(shí)和技巧于一體，深得命題者偏愛與青睞．而在實(shí)際教學(xué)中，我們也發(fā)現(xiàn)有相當(dāng)一部分學(xué)生因這類題目條件隱晦、變數(shù)較多、關(guān)系復(fù)雜、計(jì)算繁瑣，往往感到心中無數(shù)，甚至有些不知所措，有的學(xué)生還由此產(chǎn)生恐懼情緒，造成解題的心理障礙．本文結(jié)合實(shí)例分析說明解析幾何“范圍”問題的破解其實(shí)也是有規(guī)可尋、有據(jù)可依的．

1 構(gòu)造相關(guān)的不等式，通過不等式的應(yīng)用求范圍

解析幾何“范圍”問題很多都是可以轉(zhuǎn)化為相關(guān)的不等式處理的．常規(guī)思路就是看到“范圍”，馬上聯(lián)想到“不等式”．而“不等式”從何而來？依據(jù)又是什么？由此可知解題的關(guān)鍵就是正確合理尋找“不等式源”．

例1 （2023屆浙江省金華十校高三模擬考試（2022年11月）數(shù)學(xué)試卷）已知橢圓：x24+y2=1，過橢圓的右焦點(diǎn)F作互相垂直的兩條弦AB，CD，則AB+4CD的最小值為．

分析 在解析幾何問題中，涉及直線方程的確定往往離不開直線的斜率問題，這里需要根據(jù)焦點(diǎn)弦所在的直線的不同情況加以分類討論，進(jìn)而通過設(shè)線法，借助函數(shù)與方程思維來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，為進(jìn)一步的分析與求解指明方向．

解 依題可得a=2，c=3，

F（3，0），

當(dāng)AB為橢圓的長軸時(shí)，AB=4，CD=1，

可得AB+4CD=8；

當(dāng)CD為橢圓的長軸時(shí)，AB=1，CD=4，

可得AB+4CD=17；

當(dāng)AB不為橢圓的長軸，且CD不為橢圓的長軸時(shí)，設(shè)直線AB的方程為x=my+3，

A（x1，y1），B（x2，y2），

由x=my+3，x24+y2=1，

消元整理可得（m2+4）y2+23my－1=0，

則有y1+y2=－23mm2+4，y1y2=－1m2+4，

所以|AB|=m2+1|y1－y2|=m2+1·（y1+y2）2－4y1y2=

m2+1·（－23mm2+4）2+4×1m2+4=4·m2+1m2+4，

用－1m替換m，

可得|CD|=4·1m2+11m2+4=4·m2+14m2+1，

可得|AB|+4|CD|=4·m2+1m2+4+16·m2+14m2+1=4（m2+1）1m2+4+44m2+1=

4·8m4+25m2+174m4+17m2+4=

4×2－9·m2－14m4+17m2+4，

令m2－1=t，

則有m2－14m4+17m2+4=t4t2+25t+25=14t+25t+25≤124t×25t+25=145，

當(dāng)且僅當(dāng)4t=25t，即t=52，亦即m2=72時(shí)等號(hào)成立，

所以AB+CD=

4×2－9·m2－14m4+17m2+4≥

4×2－9×145=365，

此時(shí)AB+4CD的最小值為365.

綜上分析，可知AB+4CD的最小值為365，故填答案：365．

點(diǎn)評(píng) 在處理一些解析幾何“范圍”問題時(shí)，除了求解不等式以及不等式的基本性質(zhì)等方面的應(yīng)用，還經(jīng)常綜合整體化思維、參數(shù)思維等，合理變形，巧妙轉(zhuǎn)化．

2 構(gòu)造圖形的直觀性，借助數(shù)形結(jié)合直觀處理

解析幾何“范圍”問題的本質(zhì)還是幾何問題，經(jīng)?？梢曰貧w到幾何中去，借助幾何圖形的直觀性，采用數(shù)形結(jié)合是一種積極有效的思維方法．直觀性解決解析幾何“范圍”問題經(jīng)常從代數(shù)關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征與幾何意義加以聯(lián)系，或直接利用曲線中的基本圖形特征直觀處理．

例2 （2022年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷）已知雙曲線x2a2－y2=1（a>0），雙曲線上右支上有任意兩點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），滿足x1x2－y1y2>0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．

分析 根據(jù)題設(shè)條件中恒成立不等式的代數(shù)式結(jié)構(gòu)特征，合理聯(lián)系平面向量的數(shù)量積公式，引入平面向量以及對(duì)應(yīng)的數(shù)量積加以數(shù)形結(jié)合.結(jié)合數(shù)量積公式與基本性質(zhì)，利用平面向量的夾角這一幾何模型，由“數(shù)”轉(zhuǎn)“形”，思維巧妙創(chuàng)新．

解 如圖1所示，設(shè)點(diǎn)P2（x2，y2）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)P3（x2，－y2），則點(diǎn)P3仍在雙曲線的右支上，

由于x1x2－y1y2>0恒成立，

即OP1·OP3=x1x2－y1y2>0恒成立，

所以向量OP1與OP3的夾角恒為銳角，即∠P1OP3恒為銳角，即∠MON≤90°，其中直線OM，ON是雙曲線的兩條漸近線，

則知其中一條漸近線OM：y=1ax的斜率1a≤1，

解得a≥1，

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為1，+∞，

故填答案：1，+∞．

點(diǎn)評(píng) 其實(shí)，解析幾何中的相關(guān)曲線都有其自身的一些基本圖形特征，如橢圓的長軸長大于短軸長，也大于焦距長；雙曲線的實(shí)軸、虛軸長小于焦距長；它們的離心率都有一定的范圍；對(duì)于橢圓、拋物線，當(dāng)點(diǎn)位于其內(nèi)部或外部時(shí)，都滿足一定的不等關(guān)系；還有曲線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)都是有界的……這些幾何圖形的直觀性，都可以很好地基于數(shù)形結(jié)合用于解題與應(yīng)用．

3 結(jié)語

解析幾何“范圍”問題（參數(shù)或代數(shù)式的取值范圍或最值等）其實(shí)是一類較為常見的探索性綜合應(yīng)用問題，是解析幾何與函數(shù)、方程、不等式、三角函數(shù)、平面向量等相關(guān)知識(shí)全面交匯與融合的一個(gè)重要載體.正確理解題設(shè)條件，可合理構(gòu)建與之相關(guān)的參數(shù)或代數(shù)式所對(duì)應(yīng)的不等式、代數(shù)式或幾何直觀模型等，借助不等式的求解、函數(shù)的值域的確定以及數(shù)形結(jié)合直觀等方式來解決與處理.有時(shí)用單種技巧策略分析，有時(shí)綜合用多種技巧策略，都可以很好解決對(duì)應(yīng)的解析幾何“范圍”問題．