【摘要】基于新課標(biāo)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，針對(duì)三角函數(shù)的教學(xué)，教師明確三角函數(shù)題目的形式多樣、內(nèi)容豐富，涉及諸多的三角函數(shù)公式，解題方法靈活運(yùn)用，也存在一定的規(guī)律.本文基于以往三角函數(shù)的解題方法教學(xué)的問題，通過運(yùn)用實(shí)踐探究法，提出三角函數(shù)的解題方法：利用角之間關(guān)系的湊角法，基于高次三角式的降冪法，有效轉(zhuǎn)換式結(jié)構(gòu)的換元法，涉及含參與正負(fù)的討論法，根據(jù)已知的數(shù)據(jù)的猜想法.教師指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用這些解題方法，能提高學(xué)生解題能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維方法，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提高三角函數(shù)的教學(xué)效果.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；三角函數(shù)；解題方法

1 引言

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)課程中非常重要的一部分，通過深讀近年來的全國高考數(shù)學(xué)真題，很多大題直接或者間接融入了三角函數(shù)的解題方法.三角函數(shù)也是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)知識(shí)，涉及非常多的公式定理、解題原理、解題方法，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和運(yùn)算能力等提出了較高要求.因此，在新課標(biāo)與新高考背景下，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要重點(diǎn)指導(dǎo)學(xué)生三角函數(shù)的解題方法，加強(qiáng)解題方法的訓(xùn)練，幫助學(xué)生快速、準(zhǔn)確、科學(xué)解答各類三角函數(shù)題目[1].

2 高中數(shù)學(xué)中三角函數(shù)的解題方法

2.1 利用角之間關(guān)系的湊角法

在高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)題目中，求值問題非常常見.一些求值問題能通過觀察角之間的關(guān)系，并全面運(yùn)用這種角之間關(guān)系湊出特殊角，以此快速解題.

例1 求tan20°+4sin20°的值.

教師先帶領(lǐng)學(xué)生回顧三角求值方法，重點(diǎn)是消除函數(shù)名稱、式子結(jié)構(gòu)、角度之間差異，再觀察本題特點(diǎn)，明確要消除特殊角和非特殊角間的差異.所以教師先讓學(xué)生自主試著解答，再指導(dǎo)解析.

原式

=sin20°+2sin40°cos20°=sin20°+2sin（60°－20°）cos20°

=sin20°+2（sin60°cos20°-cos60°sin20°）cos20°

=3，

教師引領(lǐng)學(xué)生利用角之間的關(guān)系，分析三角函數(shù)的題目結(jié)構(gòu)，運(yùn)用湊角法變化式子結(jié)構(gòu)，逐步地解決問題，以此發(fā)揮湊角法的重要價(jià)值.教師還要引入更多相似類型的題目，要求學(xué)生通過觀察三角函數(shù)式子結(jié)構(gòu)，利用湊角法進(jìn)行解答.

2.2 基于高次三角式的降冪法

在三角函數(shù)的題目中，通常還有一些涉及高次三角式的求值題.對(duì)于這類題，教師指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用降冪法解題，是根據(jù)已知和sin2α+cos2α+1，或者是降冪公式sin2α=1－cos2α2，cos2=1+cos2α2等降冪對(duì)策進(jìn)行解答.

例2 若cosα+cos2α=1，求sin2α+sin6α+1的值.

教師先讓學(xué)生認(rèn)真分析原式，思考解題策略，有的學(xué)生說求出cosα的值后代入，教師提醒學(xué)生這樣導(dǎo)致運(yùn)算量很大，降低解題效率，要學(xué)會(huì)降冪.

教師引領(lǐng)學(xué)生運(yùn)用降冪法解答，最后得出結(jié)果是：35－52.

教師還要引入更多高次三角式的求值類型的題目，要求學(xué)生基于

所學(xué)三角式的基礎(chǔ)知識(shí)，運(yùn)用降冪法進(jìn)行解答，以此讓學(xué)生在解

題中更好熟悉降冪法，最后進(jìn)行總結(jié)，以此有效提高這類題的解

題能力.

2.3 有效轉(zhuǎn)換式結(jié)構(gòu)的換元法

換元法是常用的解題方法，在給值求值問題中，題目所給是單角的某一三角函數(shù)值，用換元法能將原式轉(zhuǎn)化為熟悉的已知單角的三角函數(shù)值求值問題.

例3 sinα+75°+cosα+45°－3α+15°的值.

對(duì)于這個(gè)題目，教師要指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)三部分式子用換元法解答.

令α+15°=β，

原式=sin（β+60°）+cos（β+30°）-3cosβ=（sinβcos60°+cosβsin60°）+（cosβcos30°-sinβsin30°）-3cosβ=0.

教師還要引入類似題目，教師還要引入類似題目，比如已知

教師指導(dǎo)學(xué)生注重聯(lián)系已學(xué)知識(shí)，基于換元法進(jìn)行解答。教師還可以通過設(shè)問的方式進(jìn)行提

示，比如“設(shè)t等于什么進(jìn)行換元”，以此可以更好讓學(xué)生掌握換元法，解答涉及較多數(shù)值

的三角函數(shù)題，提高學(xué)生解題能力.

2.4 涉及含參與正負(fù)的討論法

在三角函數(shù)題中，還有一些涉及含有參數(shù)或者正負(fù)數(shù)情境的題目，學(xué)生解題過程中容易出現(xiàn)問題，教師要指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用討論法進(jìn)行分析和解題[2].

例4 已知△ABC中，sinA=513，cosB=45，求cosC.

教師先讓學(xué)生審讀本題，明確分類討論法要基于問題化整為零、化難為易、化簡為繁，

根據(jù)本題先求出cosA，通過驗(yàn)證明確cosA=1213，符合題意，

最后求得cosC=－3365.

2.5 根據(jù)已知的數(shù)據(jù)的猜想法

猜想法也是數(shù)學(xué)解題中非常重要的思想方法，針對(duì)三角函數(shù)問題，需要根據(jù)已知數(shù)據(jù)的特點(diǎn)進(jìn)行合理猜想，這樣可以更好解決求值問題.

例5 已知sinα+cosα=1-32，且α是第二象限角，那么sinα= .

教師指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)原題合理猜想，最后求得sinα=12.

3 結(jié)語

綜上所述，基于新課標(biāo)的課程理念，結(jié)合高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)教學(xué)的情況，本文提出了5種解題方法，教師要根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和認(rèn)知情況，指導(dǎo)學(xué)生合理運(yùn)用這些解題方法，讓學(xué)生明確其中的原理，探究蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，這樣能更好提高學(xué)生思維能力和解題能力，更好地提升三角函數(shù)的教學(xué)效果.

參考文獻(xiàn)：

[1]李雨軒.高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)解題方法的總結(jié)與思考[J].高考，2019（03）：174-175.

[2]徐麗.高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的解題技巧之我見[J].求知導(dǎo)刊，2019（38）：82-83.