【摘 要】在體驗的豐富性和數(shù)學(xué)的抽象性之間，存在著一種深層的張力，這表明了“數(shù)學(xué)體驗性學(xué)習(xí)”所具有的豐富探究空間和思考空間。體驗是一種沉浸于主體的經(jīng)驗，但又從經(jīng)驗上升到覺知的過程，其中蘊含著類似于黑格爾所言的肯定—否定的精神生長歷程。數(shù)學(xué)體驗的目的并非是對對象的表層感知，而是對象相對于主體而言所具有的意義。數(shù)學(xué)體驗需要主體去實踐、去做，但思想的數(shù)學(xué)卻同時要求主體去思、去反省，因此數(shù)學(xué)體驗中所發(fā)生的是一種“做思共生”之機制。數(shù)學(xué)是一門高度模式化、抽象性的學(xué)科，這就要求主體走入數(shù)學(xué)的一種深層美學(xué)境界之中，并經(jīng)由數(shù)學(xué)之美的體驗，而獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本真動力和對數(shù)學(xué)之真的逐漸接近。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)體驗性學(xué)習(xí)；覺知；做思共生；數(shù)學(xué)美

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】C 【文章編號】1005-6009（2024）27-0028-04

【作者簡介】呂林海，南京大學(xué)（南京，210023）教育研究院教授，博士生導(dǎo)師。

一切教育的發(fā)生，最終都需要落實在學(xué)生身上，這幾乎是個不言自明的道理。但如何讓其更好地發(fā)生，卻并不是那么顯而易見的。教育的學(xué)問，恰恰在這里顯現(xiàn)出來。對于數(shù)學(xué)教育而言，長久以來的實踐困境其實并不在于對“數(shù)學(xué)這門科學(xué)的重要性和價值性”的認同，而是在于如何讓這種“重要性和價值性”真正走入學(xué)生的內(nèi)心深處，并轉(zhuǎn)化為其獨特的理性素養(yǎng)。對于此，數(shù)學(xué)教育相比其他學(xué)科的教育，又有著更大的難度，這從根本上源于數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征——高度的抽象性，它使得數(shù)學(xué)其實很難被學(xué)生真正“體驗到”，這包括數(shù)學(xué)所獨具的對現(xiàn)實世界的深刻的思想穿透力和解釋力。

因此，數(shù)學(xué)教育其實存在著一個深層的兩難困境。一方面，數(shù)學(xué)的高度抽象性彰顯著數(shù)學(xué)的魅力、價值，它使得人類得以借助數(shù)學(xué)走進繁雜的現(xiàn)象世界或經(jīng)驗世界的深處，揭示隱秘其中的形式化機制；另一方面，抽象又逼迫著數(shù)學(xué)需要跳出人的感知經(jīng)驗范圍，破除經(jīng)驗的制約，但這就反過來不斷促發(fā)著人們調(diào)動（甚至是激發(fā)）自身的理性機制，克服自身經(jīng)驗的限制，以追尋、把握數(shù)學(xué)所獨有的模式化力量。數(shù)學(xué)的抽象，既是其深層的價值之所在，又是其對教育提出的深層的挑戰(zhàn)之所困。

基于上述困境之思，一個值得探討的問題就自然浮現(xiàn)出來了，即如何能讓這種數(shù)學(xué)的抽象力量真正被學(xué)生“體驗到”？這樣的問題自然就延展出如下的系列追問：如何理解“體驗”和“數(shù)學(xué)的體驗”？有哪些類型的“數(shù)學(xué)體驗”？如何讓這樣的體驗真正發(fā)生？教學(xué)、評價等方面的可能做法有哪些？在這里，我們已經(jīng)看到，“體驗”一詞，似乎努力地在把“抽象”和“經(jīng)驗”融合起來，也在把數(shù)學(xué)教育的兩難困境加以彌合，這顯示了對其加以研究的意義和價值。對于這樣一個頗具難度又極具價值的議題，筆者在本文中僅著力提出自己的一些哲思斷想，努力為他人提供一些思路和助力。

一、體驗的內(nèi)涵——從經(jīng)驗到覺知

“體驗”二字的內(nèi)涵需要細細推敲。《荀子·修身》有云：“好法而行，士也；篤志而體，君子也?！庇纱丝梢姡绑w”與“行”幾乎是統(tǒng)一的，“體”就是去實行、去實作。故《淮南子》中也謂：“故圣人以身體之。”這里的“體”，也表明一種“親身去做”的意思?！膀灐逼鋵嵤呛瞬?、檢查的意思，它表明“行動者”（即“體”者）要通過行動去進行核查和檢驗，特別是對過去的經(jīng)驗、想法、思想、觀念進行反思和考量。

基于上述分析，“體驗”其實有兩層含義。第一層含義是指“實際地做”，這是一種具身的、嘗試的行動，是體驗的基本路徑。第二層含義是指“深層的覺知”，這是一種基于行動后的反思、改進和升華，是體驗的關(guān)鍵機制。由此可見，對于“體驗”而言，首先要有主體的行動、參與，讓主體有一種具身的“進入過程”。隨后要在體驗的基礎(chǔ)上有思考、有反省、有悟知，要形成對過去經(jīng)驗的一種重新修正，甚至是再構(gòu)。圖1就展示了體驗從“原有的經(jīng)驗”向“深層體驗”發(fā)展的基本過程。

“體驗”發(fā)生在“實際地做”之中，此時必然生成一種對“原有的經(jīng)驗”的改造過程?！霸械慕?jīng)驗”是主體的“淺層經(jīng)驗”，它傾向于一種“肯定性”，即主體總是傾向于用已有的、基礎(chǔ)的經(jīng)驗去解釋外部世界，或者基于這樣的經(jīng)驗去行動。如果“實際地做”沒有對主體的“淺層的體驗”或“原有的經(jīng)驗”進行改造，那么“真正的體驗”其實并沒有發(fā)生。這就是指，沒有實現(xiàn)“體驗”的第二個關(guān)鍵要義，即，讓主體真正地有悟知、有覺知，有對“原有經(jīng)驗”的深層改造。而“后來的覺知”就是一種新的“深層的體驗”，它是一種對原有經(jīng)驗的否定，促發(fā)主體用一種新的視角與世界展開對話和互動。

在“實際地做”之中，原有經(jīng)驗的改造的發(fā)生，需要經(jīng)歷如下的“體驗過程”。首先，主體要體驗到一種沖突，要體驗到一種矛盾，從而形成對過往“肯定性經(jīng)驗”的一種深層挑戰(zhàn)。第二，伴隨著挑戰(zhàn)而來的，是一種認知的斷裂，一種原有的經(jīng)驗無法解決所面對的事件的“無力感”，這“逼迫”著主體重構(gòu)經(jīng)驗，以生成一種解決問題的“新的能力”。第三，直至一種認知的重構(gòu)，主體才形成一種新的頓悟、一種經(jīng)驗的再構(gòu)，重獲一種對世界的有力的解釋能力和應(yīng)對能力。

從上述的轉(zhuǎn)變機制可以看出，真正的體驗來自主體對自身經(jīng)驗的“深層改造”，而“改造的發(fā)生”對主體而言是一種“痛苦感”“矛盾感”，這種感受才是“實踐行動”對主體而言真正產(chǎn)生價值的關(guān)鍵機制。正所謂，“深刻的痛苦才能產(chǎn)生深刻的體驗”“大痛苦產(chǎn)生大體驗”。

二、數(shù)學(xué)體驗的目的——指向意義的建構(gòu)

人類的一切深層體驗，并不僅僅是“對象化”地去感知某個對象（物），而是要把“對象”和“自我”聯(lián)系起來，感受“對象”對“我”而言的“意義”。深層體驗，就是“我”在深層地建構(gòu)“對象的意義”。因此，體驗，并不是去直接“體驗”一個客觀“存在物”，而是“由我出發(fā)”去建構(gòu)“我所感悟到的意義”?！绑w驗”必須是主體性的，這種主體性意味著一種“客觀對象的被納入”，即一切客觀對象都被納入我的意義世界之中，成為我的意義世界中“被建構(gòu)的對象”。

由以上可見，對于數(shù)學(xué)體驗而言，學(xué)習(xí)者所體驗的并不是某個“客觀的數(shù)學(xué)對象”（某個知識點、某個定理、某個法則等），而是這些“數(shù)學(xué)對象”的意義?？梢杂靡痪浒l(fā)問句來表明數(shù)學(xué)體驗的內(nèi)涵，即，“對我而言，它（數(shù)學(xué)對象）意味著什么？”“意味著什么”，直指數(shù)學(xué)體驗的目的，它把主體和客體深深地聯(lián)系了起來。

以數(shù)學(xué)中的函數(shù)為例，學(xué)生所獲得的數(shù)學(xué)體驗，直指如下的追問，即“于我而言，函數(shù)意味著什么？”面向“意味”的追問，其實就是“意義的深究”，就是主體努力地超越表層的信息，深入地建構(gòu)“數(shù)學(xué)對象”的更高意義?；诖耍P者認為，學(xué)習(xí)者會對函數(shù)這個數(shù)學(xué)對象從三個角度加以“意義追問”，即何成其由、何成其義、何成其功。接下來，筆者試圖一一加以解讀。

“何成其由”是一種“歷史文化意義”的追問，它試圖解答“我如何看待函數(shù)的歷史生成的意義的？”這一追問。這就需要學(xué)習(xí)者走入數(shù)學(xué)史深處，走入“函數(shù)”產(chǎn)生的事件深處，重構(gòu)對事件的歷史解讀，形成對“函數(shù)”的“何成其源”的解析。此時的學(xué)習(xí)，是一種“學(xué)科史學(xué)習(xí)”。

“何成其義”是一種“思想方法意義”的追問，它試圖解答“我如何看待函數(shù)的內(nèi)涵要義的？”這一追問。這就需要學(xué)習(xí)者走入函數(shù)的思想方法特質(zhì)深處，去理解對應(yīng)說、映射說的思想內(nèi)涵，走入函數(shù)的符號表達之中，建構(gòu)函數(shù)的圖像化意義等。此時的學(xué)習(xí)者所經(jīng)歷的，是一種“知識思維學(xué)習(xí)”。

“何成其功”是一種“遷移應(yīng)用意義”的追問，它試圖解答“我如何看其作用與功能的？”這一追問。這就需要學(xué)習(xí)者實際地去解決問題、去進行項目化學(xué)習(xí)、去進行遷移應(yīng)用，以此來感受“函數(shù)的實際應(yīng)用意義”。總體而言，學(xué)習(xí)者是通過“應(yīng)用性學(xué)習(xí)”來建構(gòu)“遷移應(yīng)用意義”的。

三、數(shù)學(xué)體驗的機制——做思共生

數(shù)學(xué)體驗，意味著打破原初的經(jīng)驗，并由此建構(gòu)“新的覺知”。從“原初經(jīng)驗”到“后期覺知”，就是“深層體驗”的發(fā)生過程。在這個過程中，學(xué)習(xí)者所必須經(jīng)歷的關(guān)鍵機制就是“做思共生”。所謂“做思共生”，就是在“實際地做”的過程中，學(xué)習(xí)者同時在經(jīng)歷著“反省和建構(gòu)”?！白龊退际窍嗷ソ豢棥⒈舜嘶ト诘摹?，新的體悟、新的覺知就是在“做”的過程中生成的。

對于“做”而言，此時發(fā)生的具身體驗，對于積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗、形成數(shù)學(xué)感知的確頗為重要。但是，正如前所言，具身的體驗本身并不是“數(shù)學(xué)體驗”的終結(jié)，唯有上升到更高的“覺知”，才是數(shù)學(xué)體驗的目標。圖1所示的“沖突”“斷裂”“重構(gòu)”之轉(zhuǎn)化機制就是這一上升過程的體現(xiàn)。孕育在這一上升過程之中的，是學(xué)生的思維，這里的思維可謂“反省思維”。這是因為，學(xué)生是在“做”的過程中同時發(fā)生著反思，思與做是共生的，思是對“做”的一種體察和反省?！白觥碧峁┝恕胺词　钡乃夭摹绺鞣N矛盾、困境，與此同時，反省為“做”提供了進一步完善的可能。

基于此，我們需要進一步追問，“做”中之“思”包含哪些方面呢？特別是，數(shù)學(xué)之“做”中的“思”又是什么呢？筆者無法涵蓋所有“思”之內(nèi)容，僅著重談如下幾個“思”之類型。第一是“對比之思”。數(shù)學(xué)活動中的一個重要內(nèi)容就是對經(jīng)驗世界的事物進行比較。比較是抽象建構(gòu)的基礎(chǔ)。當學(xué)生看到了大小不同的“角”，當學(xué)生看到了形態(tài)不一的函數(shù)，等等，差異中似乎又有著相同，這時的困惑自然產(chǎn)生，而破解困惑的重要路徑就是“對比之思”。第二是“概括之思”。比較之后，學(xué)生就需要尋找共性特質(zhì)，提煉共性特質(zhì)，描述共性特質(zhì)，此時發(fā)生的“思”就是“概括之思”。形態(tài)各異的角、變化多端的圖、類型迥異的數(shù)，看似不同，但比較之后建構(gòu)出內(nèi)隱其中的“同”，數(shù)學(xué)的抽象意義就產(chǎn)生了。第三是“直覺之思”。數(shù)學(xué)的思維方式中不僅僅是邏輯、推理和演繹，還有“直覺思維”。直覺思維是一種超越邏輯形式而直接洞察事物本質(zhì)的思維方式。數(shù)學(xué)史的大量事例都表明，在對數(shù)學(xué)問題的長期苦思冥想的過程中，研究者往往會突然形成某種頓悟、產(chǎn)生某種靈感，實現(xiàn)一種超越性和突破性的建構(gòu)。對于學(xué)生而言，在“做”數(shù)學(xué)的過程中，在面臨難題或困境之時，堅持深度思考和反復(fù)揣摩，當“靈感之一瞬”突然來臨，此時的數(shù)學(xué)體驗是一種“至高的心流美感”，其價值無與倫比。如果說還有其他的“思”，那么，筆者還可以列舉“歸納之思”“聯(lián)想之思”等，但限于篇幅，就不一一加以闡釋了?？偠灾瑪?shù)學(xué)是一門高度強調(diào)思維的學(xué)問，數(shù)學(xué)體驗中的核心內(nèi)容就是“思之體驗”。并且，這種“思之體驗”因其嵌入“做”之中，就強烈地帶有杜威所說的“反省思維”之特質(zhì)，這即是一種邊做、邊思、邊調(diào)整的思想經(jīng)歷。

四、數(shù)學(xué)體驗的情感動力——數(shù)學(xué)美

在學(xué)生的數(shù)學(xué)體驗中，一個重要的體驗就是數(shù)學(xué)美的體驗。這種美并不是一種表層的優(yōu)美感，而是一種深層的崇高感。在數(shù)學(xué)所表現(xiàn)出的形式的簡潔性與其反映出的世界規(guī)律的深刻性之間，恰恰彰顯了一種數(shù)學(xué)獨立的美學(xué)力量。從表面來看，數(shù)學(xué)的符號或許讓人感覺枯燥深奧，但那是因為數(shù)學(xué)并未走入體驗者的經(jīng)驗深處。如果體驗者真正經(jīng)歷了數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展的歷程，理解了數(shù)學(xué)符號所表達的意義內(nèi)涵及其生成過程，此時的數(shù)學(xué)就絕不是一個形容枯槁的形式化骨架，而是一個血肉豐富的生命體，它生機勃勃，充滿了魅力。

這種追求極致的形式化表達，并以此表達人類對世界的深度意義建構(gòu)的過程，其本身就是一種人類的思想之美與人性之善。這是因為，在體驗數(shù)學(xué)的過程中，人類得到了一種寧靜感，并由此有可能接近世界的真與世界的美。在哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家懷特?？磥恚澜缯墙?jīng)由數(shù)學(xué)，而進入了一個哲學(xué)的世界，并揭開了真理的序幕，他由此寫下了名篇《數(shù)學(xué)與善》。

由此反觀今天的數(shù)學(xué)教育，我們讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)的問題解決過程、概念形成過程、聯(lián)想推理過程等，這是必要的，但又是需要進一步深化的。深化的關(guān)鍵點在于，一切數(shù)學(xué)知識的背后，蘊含著數(shù)學(xué)作為一個模式的抽象性力量，蘊含著一種絕對的人類追求形式之美的深層動力。正是在這個意義上，我們可以說，最深的數(shù)學(xué)體驗，應(yīng)當是一種數(shù)學(xué)之美的體驗，這是一種至高的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動力，它最接近數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之本真。