【摘 要】數(shù)學(xué)體驗是包含體覺、體察、體悟、體證四個緊密相連階段的一種學(xué)習(xí)方式。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以基于“體覺下的模型準備—體察中的模型假設(shè)—體悟里的模型構(gòu)建—體證內(nèi)的模型驗證—體驗間的模型迭代”的數(shù)學(xué)體驗教學(xué)模式，通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型活動、應(yīng)用數(shù)學(xué)模型活動、實施綜合實踐活動等策略，培養(yǎng)學(xué)生模型意識，發(fā)展學(xué)生模型觀念，提升學(xué)生模型思想，實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科育人目標。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)體驗；數(shù)學(xué)語言；建模；教學(xué)模式

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2024）27-0022-06

【作者簡介】1.朱敏龍，南京市第二十九中學(xué)（南京，210029）初中部副校長，高級教師；2.石小虎，南京市金陵匯文學(xué)校（南京，210036）教師，高級教師；3.何衛(wèi)群，南京市育英第二外國語學(xué)校（南京，210044）教師，高級教師；4.田禹，南京市金陵匯文學(xué)校（南京，210036）教師，一級教師。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）在“核心素養(yǎng)內(nèi)涵”中提出，通過數(shù)學(xué)的語言，可以簡約、精確地描述自然現(xiàn)象、科學(xué)情境和日常生活中的數(shù)量關(guān)系與空間形式；能夠在現(xiàn)實生活與其AoU1nCOHuLvKxX8rLVnIvg==他學(xué)科中構(gòu)建普適的數(shù)學(xué)模型，表達和解決問題；形成數(shù)學(xué)的表達與交流能力，發(fā)展應(yīng)用意識與實踐能力。在義務(wù)教育階段，數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)語言的一種主要表現(xiàn)形式。學(xué)生通過經(jīng)歷用數(shù)學(xué)語言表達現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系與空間形式的過程，初步感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的交流方式，能夠有意識地運用數(shù)學(xué)語言表達現(xiàn)實世界與其他學(xué)科中事物的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律，并解釋表達的合理性；欣賞數(shù)學(xué)語言的簡潔與優(yōu)美，逐步養(yǎng)成用數(shù)學(xué)語言表達與交流的習(xí)慣，形成跨學(xué)科的應(yīng)用意識與實踐能力。

一、數(shù)學(xué)模型的內(nèi)涵和要義

（一）數(shù)學(xué)模型的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)模型是利用數(shù)學(xué)語言、符號和邏輯，對現(xiàn)實世界中的特定對象、現(xiàn)象或過程進行抽象和簡化的描述，它是基于數(shù)學(xué)理論構(gòu)建的、能夠反映實際問題本質(zhì)特征和內(nèi)在規(guī)律的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。廣義上說，數(shù)學(xué)模型就是為解決現(xiàn)實生活中的問題而建立的數(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則、規(guī)律、性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系式、圖形、圖標、程序等。例如，路程等于速度乘以時間，是描述行程問題中數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型；圖形的周長、面積計算公式，是描述圖形某一方面特性的數(shù)學(xué)模型。狹義地講，數(shù)學(xué)模型指那些反映了特定問題或具體事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，如“雞兔同籠”“抽屜原理”“將軍飲馬”等典型的數(shù)學(xué)模型。

（二）數(shù)學(xué)模型的要義

數(shù)學(xué)模型是對實際問題的一種數(shù)學(xué)化描述和表達，它的要義主要有以下幾方面。

1.抽象與簡化

數(shù)學(xué)模型是對現(xiàn)實世界的抽象和簡化?，F(xiàn)實世界中的事物往往非常復(fù)雜，難以直接進行研究和處理。利用數(shù)學(xué)模型，我們可以將復(fù)雜的現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，從而簡化問題，使其更易于分析和解決。數(shù)學(xué)模型忽略了一些次要因素，保留了問題的主要特征和規(guī)律。抽象、簡化的模型能夠使得現(xiàn)實問題更加易于處理和分析，同時也有助于揭示問題的本質(zhì)。

2.結(jié)構(gòu)與系統(tǒng)

數(shù)學(xué)模型是一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)，這種結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)通常由一系列的數(shù)學(xué)符號、代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)等組成，它們共同描述了現(xiàn)實世界的某個方面或某個過程。這些數(shù)學(xué)表達形式能夠精確地描述問題的結(jié)構(gòu)、關(guān)系和變化規(guī)律，讓學(xué)生可以通過數(shù)學(xué)方法求解現(xiàn)實問題。這些數(shù)學(xué)元素相互關(guān)聯(lián)、相互作用，形成了一個完整的體系。

3.預(yù)測與決策

利用數(shù)學(xué)模型，我們可以對現(xiàn)實世界的現(xiàn)象進行定性和定量的分析，揭示其內(nèi)在規(guī)律和機制。大數(shù)據(jù)時代，數(shù)據(jù)觀念、數(shù)據(jù)分析變得越來越重要，逐漸形成了一種新的數(shù)學(xué)語言。通過分析和計算由數(shù)學(xué)語言建構(gòu)的模型，可以預(yù)測未來的發(fā)展趨勢或結(jié)果，從而為決策提供科學(xué)依據(jù)。

4.通用性與推廣性

數(shù)學(xué)模型往往具有一定的通BUi4GArKfOqbP5+xBnO61A==用性和推廣性，即同一類問題可以使用相同的模型進行描述和解決。這使得數(shù)學(xué)模型在各個領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，如物理學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、生物學(xué)等。

二、數(shù)學(xué)建模對運用數(shù)學(xué)語言的意義

數(shù)學(xué)建模（以下簡稱“建?！保┲咐脭?shù)學(xué)方法和工具，對實際問題進行抽象、簡化和量化，建立數(shù)學(xué)模型，并通過求解模型來解決問題的一種科學(xué)方法。建模的意義在于鼓勵學(xué)生將他們的解決方案和思考過程，通過口頭陳述、寫作、圖表、圖像等形式進行有效的交流和表達。在表達過程中，學(xué)生需要運用恰當?shù)臄?shù)學(xué)語言來解釋他們的解決方案、推理過程和結(jié)論；需要使用準確的數(shù)學(xué)術(shù)語和符號清晰地描述他們的思考路徑，并提供合理的解釋和證明，從而能創(chuàng)新性地運用到相關(guān)生活問題的解決中。

因此，通過建模，學(xué)生可以深入了解問題的本質(zhì)和規(guī)律，發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和關(guān)系。同時，建模也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實踐能力的重要途徑。

三、以建模為體驗意義的數(shù)學(xué)體驗教學(xué)模式的框架

數(shù)學(xué)體驗為建模提供了重要的方法基礎(chǔ)，學(xué)生在數(shù)學(xué)體驗學(xué)習(xí)中，建立數(shù)學(xué)模型，運用數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實問題，親身感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，能夠激發(fā)對建模的興趣和動力。同時，將建模成果應(yīng)用于實際問題的解決過程中，通過實踐檢驗?zāi)Ｐ偷臏蚀_性和有效性，可以進一步豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)體驗。數(shù)學(xué)體驗作為一種學(xué)習(xí)方式，包含體覺、體察、體悟、體證四個緊密相連的階段，具有身心合一、內(nèi)外并舉、知情并重、過程與結(jié)果相統(tǒng)一等特征。它順應(yīng)新時代課程改革的要求，可使學(xué)生的數(shù)學(xué)認知能力得到提升，有利于學(xué)生正向的情感態(tài)度與價值觀的形成，有助于實現(xiàn)由數(shù)學(xué)知識向數(shù)學(xué)素養(yǎng)的轉(zhuǎn)化。以建模為體驗意義的數(shù)學(xué)體驗教學(xué)模式的基本框架如下：

（一）體覺下的模型準備（項目與問題呈現(xiàn)）

體覺即啟動經(jīng)驗，初步感覺。體覺下的模型準備就是圍繞將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，明確建模目標，啟動、激發(fā)與新知識相關(guān)聯(lián)的原有知識經(jīng)驗，并收集相關(guān)數(shù)據(jù)，從而深入理解問題背景與系統(tǒng)特性，進而形成初步的感覺和深入探究的欲望，為模型雛形建構(gòu)作準備。在這一環(huán)節(jié)，教師可以根據(jù)學(xué)習(xí)目標，創(chuàng)設(shè)貼近學(xué)生的生活情境，設(shè)計體驗教學(xué)模式基本框架中的“困惑與沖突”問題，激發(fā)學(xué)生的探究熱情。

（二）體察中的模型假設(shè)（形成對項目與問題的理解）

體察即全面觀察，深入反思。體察中的模型假設(shè)就是基于現(xiàn)有知識和實際情況，發(fā)現(xiàn)和提出有價值的問題，并用恰當?shù)臄?shù)學(xué)術(shù)語和符號來描述問題的特征和要求，對系統(tǒng)行為做出合理簡化和理想化假設(shè)，從而實現(xiàn)體驗教學(xué)模式基本框架中的“直覺與聯(lián)想”。

（三）體悟里的模型構(gòu)建（形成初步方案）

體悟即抽象概括，意義建構(gòu)。體悟里的模型構(gòu)建就是選擇適當?shù)臄?shù)學(xué)工具，如方程、不等式、函數(shù)、統(tǒng)計模型、優(yōu)化算法、圖論模型等，將假設(shè)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達。

（四）體證內(nèi)的模型驗證（探索加工重構(gòu)）

體證即身臨其境，驗證應(yīng)用。體證內(nèi)的模型驗證就是運用數(shù)值方法、解析方法或模擬技術(shù)求解模型，將模型應(yīng)用于實際問題。在這一環(huán)節(jié)，學(xué)生通過對比實測數(shù)據(jù)、進行定性分析或檢驗等方式驗證模型的有效性。

（五）體驗間的模型迭代（完成項目研究）

體驗即積累經(jīng)驗，優(yōu)化經(jīng)驗。體驗間的模型迭代就是根據(jù)反饋調(diào)整模型參數(shù)或結(jié)構(gòu)，進一步迭代、改進模型。

四、以“建?！睘轶w驗意義的數(shù)學(xué)體驗教學(xué)的實施策略

以“建?！睘轶w驗意義的數(shù)學(xué)教學(xué)可通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、應(yīng)用數(shù)學(xué)模型和實施綜合實踐活動等策略來培養(yǎng)學(xué)生模型意識、發(fā)展學(xué)生模型觀念、提升學(xué)生模型思想，進而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和創(chuàng)新意識等核心素養(yǎng)。

（一）構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)模型意識

數(shù)學(xué)知識本身就是一種數(shù)學(xué)模型，學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)本質(zhì)上就是一種構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的學(xué)習(xí)活動，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是學(xué)生習(xí)得數(shù)學(xué)知識的基本途徑之一。這種構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的活動，實際上是建模的某個階段或某個環(huán)節(jié)，可以培養(yǎng)學(xué)生的模型意識。模型意識主要指對數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟，知道數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑；能夠認識到現(xiàn)實生活中大量的問題都與數(shù)學(xué)有關(guān)，并能有意識地用數(shù)學(xué)的概念與方法進行解釋。模型意識有助于增強學(xué)生對數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識，是形成模型觀念的經(jīng)驗基礎(chǔ)。

案例1：函數(shù)模型的構(gòu)建

1.體覺下的模型準備

問題：某商店專銷某種品牌的計算器，進價12元/只，售價20元/只。為了促銷，該商店決定凡是買10只以上的，每多買1只，售價就降低0.1元，但是最低價為16元/只。如果你是商家，你會有哪些思考？

2.體察中的模型假設(shè)

思考1：設(shè)賣出x只計算器，如果賣10只及10只以內(nèi)，按20元/只賣；如果賣10只以上，每多賣1只，售價就降低0.1元，也就是說多賣（x - 10）只，售價就降低0.1（x - 10）元/只。

思考2：最低價為16元/只，也就是說，降價后的售價不少于16元/只，即20 - 0.1（x - 10） ≥ 16，解得x ≤ 50，賣出的計算器數(shù)不能超過50只。

思考3：作為商家，何時賺錢最多？

3.體悟里的模型構(gòu)建

如何解決“何時賺錢最多”的問題呢？函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界變化規(guī)律的有效數(shù)學(xué)模型，可以建立利潤y和銷售只數(shù)x之間的函數(shù)，用函數(shù)圖象或性質(zhì)分析y的取值。

設(shè)總利潤為y元，由“總利潤 = 單件利潤×件數(shù)”得：當0 ≤ x ≤ 10時，y = （20 - 12）x = 8x；當10 ＜ x ≤ 50時，y = ［20 - 0.1（x - 10） - 12］x = -0.1x2 + 9x；當x ＞ 50時y = （16 - 12）x = 4x。然后畫出分段函數(shù)示意圖，由函數(shù)圖象分析何時賺得錢最多。

將實際問題抽象化、數(shù)學(xué)化是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型活動的核心步驟。在上述體驗活動“作為商家如何智慧定價”中，學(xué)生從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)變量語言建立函數(shù)模型，表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。建?；顒有枰處熢O(shè)置生活情境，讓學(xué)生在情境中思考如何建立數(shù)學(xué)模型解決問題，這樣的數(shù)學(xué)體驗課堂設(shè)計有助于培養(yǎng)學(xué)生的模型意識。

（二）應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，發(fā)展模型觀念

數(shù)學(xué)建?；顒邮菙?shù)學(xué)體驗中的一種完整的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，關(guān)注的是建立模型和應(yīng)用模型解決問題的過程。其中，應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決問題的活動過程，主要是指建構(gòu)數(shù)學(xué)模型解決應(yīng)用問題，重點是培養(yǎng)學(xué)生階段性的數(shù)學(xué)建模能力，使其在體驗中逐漸發(fā)展模型觀念。模型觀念主要指對運用數(shù)學(xué)模型解決問題有清晰的認識，知道數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實聯(lián)系的基本路徑；初步感知數(shù)學(xué)建模的基本過程，能夠從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，并用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。應(yīng)用數(shù)學(xué)模型活動是在學(xué)生具有一定模型意識的基礎(chǔ)上發(fā)展其模型觀念。

案例2：如何挑選西瓜

1.體覺下的模型準備

問題：夏天，我們到超市買西瓜，在大西瓜和小西瓜中選擇，哪一種最劃算？

2.體察中的模型假設(shè)

思考：“購買西瓜”消費問題面臨兩個選擇方案（可大可?。?，“劃算”是指西瓜果肉部分（瓜瓤）的單價小。這里會涉及西瓜大小即質(zhì)量的大小，在大小西瓜密度相同的前提下就是體積的大小，當然還有非果肉部分（瓜皮）的厚度等量。

3.體悟里的模型構(gòu)建

（1）問題中包含的基本關(guān)系有：總價=單價×質(zhì)量、質(zhì)量=密度×體積、球體積公式V = [43]πR3等。

（2）具體數(shù)量代數(shù)化：假設(shè)當日西瓜價格為a元/千克，大、小西瓜的密度ρ相同，大西瓜的半徑為R大，小西瓜的半徑為R小，大小西瓜的厚度一樣，則可以分別用代數(shù)式表示大小西瓜果肉部分（瓜瓤）的單價a大'、a小'：a大'= [a·ρ·V大ρ·V大瓤 ]= [a·V大V大瓤]、a小'= [a·ρ·V小ρ·V小瓤] = [a·V小V小瓤]。

（3）比較這兩者的大小能夠確定挑選哪種西瓜劃算。

4.體證內(nèi)的模型驗證

（1）比較兩個分式大?。篴大'=[a·ρ·V大ρ·V大瓤 ]= [a·V大V大瓤 ]= [a·43π·R大343π（R大-d）3 ]=[a·R大3（R大-d）3 ]；同理，a小'= [a·R小3（R小-d）3 ]。

（2）根據(jù)分式結(jié)構(gòu)特征選擇比較的方法：作商法或作差法。

5.體驗間的模型迭代

利用作商法比較分式[R大3（R大-d）3]和[R小3（R小-d）3]大小時，可以發(fā)現(xiàn)比較果肉的單價就是在比較果肉體積占整個西瓜體積的比例，即果肉體積占整個西瓜體積的比例大，果肉單價就低，就劃算，因此在一定條件（當日西瓜單價相同、瓜皮厚度相同、西瓜密度相同）下，購買大西瓜劃算。

現(xiàn)實生活中也有類似情況。生活中很多帶皮或者有殼商品的劃算問題都適用這個模型，譬如在目前受國際形勢的影響，每兩個星期國內(nèi)油價也在進行相應(yīng)的調(diào)整，那么等額加油與等量加油，哪種方式更劃算呢？在超市中購買某種散裝的商品時，是等額還是等量劃算呢？這些問題都可以建立數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)的語言解釋其中的某種關(guān)系，從而解決實際問題。

建模的體驗意義重在模型建構(gòu)、模型應(yīng)用和模型遷移，在數(shù)學(xué)回歸于外部世界的過程中，學(xué)生體驗?zāi)Ｐ偷钠者m性和發(fā)展性，體會數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性，用數(shù)學(xué)的語言表達世界，模型觀念得到發(fā)展。

（三）實施綜合實踐活動，提升模型思想

綜合實踐活動指以現(xiàn)實世界中實際問題為研究對象，綜合應(yīng)用學(xué)科知識（不局限于數(shù)學(xué)知識）解決實際問題的實踐活動。它是數(shù)學(xué)建?；顒拥闹匾问?，是學(xué)生參與完整的數(shù)學(xué)建?；顒?，是提升學(xué)生模型思想的重要途徑。模型思想即在數(shù)學(xué)中建立模型的思想。思想是人頭腦中智慧的凝聚，有助于我們形成對一個事件的認識與想法，展現(xiàn)人類的智慧。初中階段的綜合實踐活動，一般采用項目化學(xué)習(xí)的方式，以問題解決為導(dǎo)向，整合數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的知識和思想方法，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度觀察與分析、思考與表達、解決與闡述社會生活中的現(xiàn)實問題。

案例3：“門格海綿”模型的構(gòu)建

1.體覺下的模型準備

播放一些圖片或動畫：連綿起伏的山川、飄浮多變的云朵、深山巖石的斷裂面、錯綜復(fù)雜的大腦皮層……

這些部分與整體以某種方式相似的形體，可以說就是數(shù)學(xué)中“分形”的要義，恰恰是這些“不規(guī)則的”“分散的”“支離破碎的”物體重新讓我們認識了自然社會。它的特點簡單點講就是：每一個大的結(jié)構(gòu)都可以分成幾個更小的相同的結(jié)構(gòu)（可以一直分下去），這也是分形的基本原理。

教師出示“門格海綿”模型，讓學(xué)生觀察它是如何構(gòu)建的（如圖1）。

2.體察中的模型假設(shè)

動手體驗：用土豆（紅薯或蘿卜也可）做一個正方體模型，再將每一個面平均分成9個正方形，這樣大正方體就被分成27個小正方體，把6個面的中間的正方體去掉，把最中心的正方體也去掉，留下20個正方體，以上操作我們稱為第1次操作（如圖2）。

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圖2 第1次操作

3.體悟里的模型構(gòu)建

嘗試“第2次操作”，即把每一個留下的小正方體都重復(fù)上面的操作，多次操作后就能得到“門格海綿”模型，但實際操作難以做到。因此，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生回憶謝爾賓斯基“地毯”的操作方法（調(diào)用各種知識形成初步方案），這種降維操作可以遷移到三維操作（如圖3）。

4.體證內(nèi)的模型驗證

通過軟件迭代操作，VR裸眼3D穿越式探視等方式，學(xué)生感受、體驗和抽象出多次操作后的結(jié)果。

5.體驗間的模型迭代

親身體驗“第2次操作”，理解多次操作的可行性，完成“門格海綿”模型的項目研究。

門格海綿是一個具有數(shù)學(xué)藝術(shù)的著名模型。其每一個面都是謝爾賓斯基“地毯”（謝爾賓斯基“地毯”和它本身的一部分完全相似，減掉一塊會破壞自相似性）。自相似原則和迭代生成原則是分形理論的重要原則。它表征分形在通常的幾何變換下具有不變性，即標度無關(guān)性。標準的自相似分形是數(shù)學(xué)上的抽象，迭代生成無限精細的結(jié)構(gòu)，如科契雪花曲線、謝爾賓斯基地毯曲線等。分形理論是當今世界十分風(fēng)靡和活躍的新理論、新學(xué)科。

綜合實踐活動內(nèi)容源于雜亂無序的現(xiàn)實世界，學(xué)生需要從“原生態(tài)”的現(xiàn)實情境中抽象出數(shù)學(xué)問題。從數(shù)學(xué)建模的過程看，上述案例通過“給出情境—發(fā)現(xiàn)問題—提出問題—建立模型”，讓學(xué)生經(jīng)歷了完整的數(shù)學(xué)建模過程。學(xué)生參與完整的數(shù)學(xué)建模活動，是提升模型思想的重要途徑。

總之，數(shù)學(xué)建模就是讓學(xué)生親身體驗從生活現(xiàn)象到數(shù)學(xué)模型的提出、建立、分析、驗證、應(yīng)用的過程。體驗教學(xué)在初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)中起著至關(guān)重要的作用，從初步培養(yǎng)模型意識，到逐漸發(fā)展模型觀念，進而提升模型思想。因此，以建模為體驗意義的數(shù)學(xué)體驗教學(xué)模式能夠提升學(xué)生的建模能力，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，同時深入挖掘數(shù)學(xué)的科學(xué)價值與育人價值，促進數(shù)學(xué)學(xué)科育人方式的轉(zhuǎn)變。

【參考文獻】

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