【摘 要】溯源式數(shù)學(xué)體驗教學(xué)是初中數(shù)學(xué)體驗教學(xué)的模式之一，旨在較好地促進(jìn)數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生在體驗中形成數(shù)學(xué)的眼光?；趯λ菰词襟w驗教學(xué)內(nèi)涵和要義的理解，教師可以向“生活源”“歷史源”和“學(xué)科源”進(jìn)行追溯，在生活情境聯(lián)系、文化歷史聯(lián)系、學(xué)科內(nèi)外知識聯(lián)系中開展初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的眼光。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)體驗教學(xué)；溯源；教學(xué)模式；數(shù)學(xué)眼光

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號】1005-6009（2024）27-0012-05

【作者簡介】1.諸士金，南京市鼓樓區(qū)教師發(fā)展中心（南京，210009）初中數(shù)學(xué)教研員，高級教師，南京市初中數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人；2.賈蕓蕓，南京師范大學(xué)附屬中學(xué)行知分校（南京，210003）教師，高級教師；3.朱加佳，南京市第五十中學(xué)（南京，210003）教師，二級教師。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）明確指出，教師應(yīng)該通過豐富的教學(xué)方式，讓學(xué)生在實踐、探究、體驗、反思、合作、交流等學(xué)習(xí)過程中感悟基本思想、積累基本活動經(jīng)驗，發(fā)揮每一種教學(xué)方式的育人價值，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展。［1］86初中數(shù)學(xué)體驗的教學(xué)實踐需要重視學(xué)習(xí)者的具身體驗，設(shè)計體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)，符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的體驗活動。因此，教師可以圍繞數(shù)學(xué)基本思想“抽象、推理、模型”，進(jìn)行初中數(shù)學(xué)體驗教學(xué)模式研究。本文從數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)出發(fā)，探尋以“溯源”為體驗意義的數(shù)學(xué)體驗教學(xué)模式的框架構(gòu)建和實施策略。

一、溯源的內(nèi)涵和要義

1.溯源的內(nèi)涵

溯源，意思是往上游尋找發(fā)源地，比喻探求本源。數(shù)學(xué)概念具有抽象性，概念學(xué)習(xí)需要學(xué)生利用已有知識對新知識的特征進(jìn)行歸納概括、溯源求本，發(fā)現(xiàn)研究對象的主要特征和本質(zhì)屬性。從體驗的意義出發(fā)，初中數(shù)學(xué)體驗具有情境性、實踐性、探究性、反思性、親歷性和情感性等特征。因此，初中數(shù)學(xué)體驗教學(xué)中的“溯源”是指在初中數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中，教師通過具體的情境和具身的活動，引導(dǎo)學(xué)生在追溯數(shù)學(xué)對象的背景和源頭的過程中，經(jīng)歷對數(shù)學(xué)對象的抽象、歸納、表征和辨析應(yīng)用的過程，從中習(xí)得數(shù)學(xué)概念。

2.溯源的要義

溯源就是何成其源，側(cè)重體驗數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生和形成過程。溯源一方面表現(xiàn)為對數(shù)學(xué)文化、歷史與生活背景追根溯源，經(jīng)歷概念的再發(fā)現(xiàn)過程，體驗數(shù)學(xué)概念逐步形成、發(fā)展的演繹過程；另一方面可以理解為對數(shù)學(xué)學(xué)科知識之間以及數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系進(jìn)行追根溯源，了解研究對象的背景、源頭和關(guān)系，從知識、方法的關(guān)聯(lián)上認(rèn)識數(shù)學(xué)概念所依存的結(jié)構(gòu)網(wǎng)。因此，溯源的要義主要體現(xiàn)在生活源、歷史源和學(xué)科源上，表現(xiàn)在概念學(xué)習(xí)的情境創(chuàng)設(shè)、活動體驗、歸納定義、辨析重構(gòu)等方面。

追溯生活源的概念教學(xué)旨在通過情境創(chuàng)設(shè)、活動體驗，引導(dǎo)學(xué)生在生活實踐中發(fā)現(xiàn)基本的數(shù)學(xué)研究對象，以及事物之間的聯(lián)系與規(guī)律，了解數(shù)學(xué)對象研究的必要性及其現(xiàn)實背景，發(fā)展學(xué)生的抽象能力、幾何直觀和空間觀念等核心素養(yǎng)。

追溯歷史源的概念教學(xué)旨在通過讓學(xué)生收集歷史素材，經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的再發(fā)現(xiàn)和逐步完善的表征過程；通過文化體驗培養(yǎng)學(xué)生像數(shù)學(xué)家一樣思考數(shù)學(xué)概念，從而促進(jìn)學(xué)生逐步養(yǎng)成從數(shù)學(xué)角度觀察現(xiàn)實世界的意識與習(xí)慣。

追溯學(xué)科源的概念教學(xué)旨在通過追溯學(xué)科內(nèi)部的知識源、方法源，以及與其他學(xué)科知識、方法的聯(lián)系，讓學(xué)生了解研究對象在數(shù)學(xué)內(nèi)部與其他知識之間的關(guān)系，以及在不同學(xué)段、學(xué)科的定義與表征方式，促進(jìn)學(xué)生在其他學(xué)科的背景中發(fā)現(xiàn)基本的數(shù)學(xué)研究對象，提出有意義的數(shù)學(xué)問題，進(jìn)行數(shù)學(xué)探究，發(fā)展好奇心、想象力和創(chuàng)新意識。

情境創(chuàng)設(shè)是溯源式體驗教學(xué)的起點，適合的情境有利于調(diào)動學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗，幫助學(xué)生在已有知識（經(jīng)驗）與未知概念之間建立聯(lián)系，并通過建立的概念聯(lián)系對新數(shù)學(xué)概念進(jìn)行定義、加工和修正。

體驗活動是溯源式體驗教學(xué)的要領(lǐng)，學(xué)生通過不斷感知經(jīng)驗的活動過程，從碎片化的表象觀察到本質(zhì)屬性的發(fā)現(xiàn)，從對本質(zhì)屬性的感知到數(shù)學(xué)對象的符號表征，逐步積累經(jīng)驗，慢慢形成從個別地看到重復(fù)地看，從想象地看到抽象地看，再到一般地看的數(shù)學(xué)眼光。

通過溯源式體驗活動獲得對數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性的初步認(rèn)知后，如何形成數(shù)學(xué)概念，離不開歸納定義和辨析重構(gòu)。歸納定義的過程一方面是逐步建構(gòu)新知的過程，另一方面是在已有經(jīng)驗和認(rèn)知基礎(chǔ)上反復(fù)辨析、剝離表象，逐步獲得對數(shù)學(xué)對象本質(zhì)認(rèn)識的過程。而辨析重構(gòu)則是在初步獲得數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性的基礎(chǔ)上對其進(jìn)行定義和表征的思辨活動，是深度體驗學(xué)習(xí)的標(biāo)志。概括起來就是在已有的數(shù)學(xué)概念的形成發(fā)展歷史基礎(chǔ)上，逐步認(rèn)同這些數(shù)學(xué)對象的概念定義方式，并在深度體驗的過程中，辨析區(qū)分一些非本質(zhì)屬性，從而獲得更適合自己理解的概念結(jié)構(gòu)和表征方式。然后，學(xué)生將這些概念的表征方式納入到已有的知識體系中來，重構(gòu)自己的數(shù)學(xué)知識體系，形成對這一數(shù)學(xué)對象的再認(rèn)識和自我表征的方式。

二、溯源對形成數(shù)學(xué)眼光的意義

數(shù)學(xué)為人們提供了一種認(rèn)識與探究現(xiàn)實世界的方式。通過數(shù)學(xué)的眼光，能夠抽象出數(shù)學(xué)的研究對象及其屬性，形成概念、關(guān)系與結(jié)構(gòu)。對于具有系統(tǒng)性、嚴(yán)密性和抽象性的數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，在初中階段通過溯源式的體驗活動學(xué)習(xí)可以獲得更好的認(rèn)知效果。這主要表現(xiàn)為溯源式的體驗學(xué)習(xí)更適合初中學(xué)生的心理特點和認(rèn)知規(guī)律，更有利于學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)的眼光。

在情境體驗與現(xiàn)實聯(lián)系中，溯源通過情境創(chuàng)設(shè)，引導(dǎo)學(xué)生觀察和體驗現(xiàn)實世界中的基本數(shù)量關(guān)系與空間形式，從而讓學(xué)生在初步獲得數(shù)學(xué)對象屬性的過程中，建立起數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，形成直觀理解現(xiàn)實的數(shù)學(xué)眼光。

在追溯歷史與文化體驗中，通過收集和學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)概念相關(guān)的歷史發(fā)展素材，學(xué)生不僅能夠理解數(shù)學(xué)概念的起源和演變，還能形成像數(shù)學(xué)家一樣的研究思維，增強文化自信和民族自豪感，形成縱向聯(lián)系文化歷史的數(shù)學(xué)眼光。

在與其他學(xué)科的自覺聯(lián)系中，溯源強調(diào)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生在不同的學(xué)科中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用點，提出有意義的數(shù)學(xué)問題，進(jìn)行數(shù)學(xué)探究，形成橫向聯(lián)系其他學(xué)科的數(shù)學(xué)眼光。

在知識聯(lián)系與多維體驗中，溯源活動幫助學(xué)生從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)概念，并通過歸納定義和辨析重構(gòu)，逐步形成對數(shù)學(xué)對象的抽象理解。概念的形成過程中，需要學(xué)生能自覺聯(lián)系相關(guān)數(shù)學(xué)知識，經(jīng)歷動靜結(jié)合、由此及彼的多維體驗，形成發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識間邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)眼光。

可見，溯源式數(shù)學(xué)體驗教學(xué)主要是通過追溯研究對象的生活源、歷史源和學(xué)科源，讓學(xué)生經(jīng)歷情境創(chuàng)設(shè)、對比理解、歷史追溯、歸納定義和辨析重構(gòu)等過程。過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察現(xiàn)實世界中的基本數(shù)量關(guān)系與空間形式，使其在初步感知數(shù)學(xué)對象屬性的基礎(chǔ)上，對數(shù)學(xué)概念從源頭到關(guān)系、從定義到表征進(jìn)行系統(tǒng)認(rèn)識，然后形成自我理解，建構(gòu)出一個較為準(zhǔn)確且具有動態(tài)生長特質(zhì)的數(shù)學(xué)概念。

三、以“溯源”為體驗意義的數(shù)學(xué)體驗教學(xué)模式的框架

一個數(shù)學(xué)概念總是要經(jīng)過很長時間的自然發(fā)展，數(shù)學(xué)家才會給予嚴(yán)格的定義。初中階段的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)實質(zhì)上是一種再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造過程，這種再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造既要經(jīng)歷概念的形成過程，又要經(jīng)歷概念結(jié)構(gòu)的擴(kuò)展過程。結(jié)合數(shù)學(xué)體驗教學(xué)的一般模式，指向數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的“溯源式”初中數(shù)學(xué)體驗教學(xué)模式的框架在實踐中逐步形成（見圖1）。

這個框架的構(gòu)建是對“初步知識梳理—收集歷史素材—形成自我理解的對比—形成新的理解”這一模式的具體表述。其中，更為關(guān)注數(shù)學(xué)對象的抽象獲得，關(guān)注數(shù)學(xué)概念的歷史追溯和從已有到更新的辨析重構(gòu)過程。

四、以“溯源”為體驗意義的數(shù)學(xué)體驗教學(xué)的實施策略

構(gòu)建初中數(shù)學(xué)體驗教學(xué)模式是為了更好地幫助學(xué)生進(jìn)行知識體系的建構(gòu)，指向數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的溯源式體驗教學(xué)模式能夠更好地促進(jìn)學(xué)生形成數(shù)學(xué)的眼光。結(jié)合初中數(shù)學(xué)體驗教學(xué)模式的建構(gòu)原則，在實施溯源式體驗教學(xué)時需要著重體現(xiàn)以人為本、行思融合、悱憤沖突、頓悟躍遷、反思重構(gòu)、適用實效等原則。

1.溯源式體驗教學(xué)應(yīng)培養(yǎng)能夠直觀理解現(xiàn)實背景的數(shù)學(xué)眼光

在初中階段，數(shù)學(xué)眼光主要表現(xiàn)為抽象能力、幾何直觀、空間觀念和創(chuàng)新意識。溯源式體驗教學(xué)模式在情境創(chuàng)設(shè)中應(yīng)以此為基礎(chǔ)，設(shè)計貼近生活實際的現(xiàn)實背景，便于學(xué)生直觀理解數(shù)學(xué)概念。

案例1：梯形概念的引入

問題：從以下實物中，你能抽象出哪些幾何圖形？

活動：畫一個梯形，并結(jié)合已學(xué)的平面圖形概念給梯形下一個定義。

【體驗說明】學(xué)生經(jīng)歷從實物中抽象出圖形的過程，能夠看到熟悉的三角形、平行四邊形和梯形。學(xué)生在畫梯形的活動過程中，會自然聯(lián)想到三角形和平行四邊形的概念進(jìn)而對梯形概念有初步感知。

溯源式體驗教學(xué)在實施中應(yīng)關(guān)注情境創(chuàng)設(shè)的必要性和適切性，要關(guān)注情境的類型和學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，體現(xiàn)溯源的價值。

2.溯源式體驗教學(xué)應(yīng)培養(yǎng)縱向聯(lián)系文化歷史的數(shù)學(xué)眼光

新課標(biāo)中指出，要“注重情境素材的育人功能，如體現(xiàn)中國數(shù)學(xué)家貢獻(xiàn)的素材，幫助學(xué)生了解和領(lǐng)悟中華民族獨特的數(shù)學(xué)智慧，增強文化自信和民族自豪感。注重情境的多樣化，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)在現(xiàn)實世界的廣泛應(yīng)用，體會數(shù)學(xué)的價值”［1］87?；诖?，溯源式體驗教學(xué)應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生縱向聯(lián)系文化歷史的數(shù)學(xué)眼光，逐步增強學(xué)生的文化自信。

案例2：通過圓周率的計算認(rèn)識無理數(shù)

歷史素材：古今中外很多數(shù)學(xué)家都尋求過計算圓周率π值的方法，劉徽（約225年—約295年）用簡便、科學(xué)的方法求出了π ≈ [39271250]；祖沖之（429年—500年）將π精確到小數(shù)點后7位：3.1415926＜π＜3.1415927，這一數(shù)值精度直到約1000年后才被打破。

問題：如圖3，圓的半徑為1，正好“包住”它的正方形的周長為8。如圖4，在圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形，這個正六邊形可以看作是由六個正三角形組成的，每一條邊都等于圓的半徑。求圖4中正六邊形的周長，并分別估計圓的周長范圍和圓周率π的范圍。

【體驗說明】通過文獻(xiàn)學(xué)習(xí)，了解劉徽、祖沖之等中國古代數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)研究的偉大貢獻(xiàn)。通過求解上述問題，體驗“割圓術(shù)”的大致過程，認(rèn)識到無理數(shù)的存在，從而對無理數(shù)的概念有了更深層的認(rèn)識和更深刻的理解。這樣具有文化元素的體驗活動為數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)提供了豐富的認(rèn)知載體和價值引領(lǐng)。

3.溯源式體驗教學(xué)應(yīng)培養(yǎng)橫向聯(lián)系其他學(xué)科的數(shù)學(xué)眼光

溯源式體驗教學(xué)的情境創(chuàng)設(shè)和體驗活動還可以在與其他學(xué)科的聯(lián)系中進(jìn)行，可以通過類似案例3的體驗活動設(shè)計來促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的深入理解。

案例3：幾何圖形在藝術(shù)設(shè)計中的應(yīng)用

活動：學(xué)校即將舉辦一次藝術(shù)節(jié)，全體學(xué)生需要參與設(shè)計藝術(shù)節(jié)的海報和舞臺背景。

【體驗說明】首先，讓學(xué)生從藝術(shù)節(jié)的宣傳材料中識別出各種幾何圖形，如圓形、三角形、矩形等。然后，再引導(dǎo)學(xué)生探討這些幾何圖形如何在藝術(shù)設(shè)計中被運用，比如在構(gòu)圖、對稱、圖案設(shè)計等方面，并讓學(xué)生嘗試使用幾何變換（平移、旋轉(zhuǎn)、反射等）來創(chuàng)造新的圖案或設(shè)計元素。在活動過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生歸納幾何圖形的基本性質(zhì)和它們在藝術(shù)設(shè)計中的作用，讓學(xué)生嘗試描述幾何圖形和幾何變換的概念，以及數(shù)學(xué)中的幾何概念與藝術(shù)設(shè)計之間的聯(lián)系。教師引導(dǎo)學(xué)生反思在藝術(shù)創(chuàng)造過程中涉及了哪些已學(xué)的數(shù)學(xué)知識，發(fā)現(xiàn)了哪些新的數(shù)學(xué)研究對象，是否促進(jìn)了對數(shù)學(xué)概念更深層次的理解。

通過這個案例，學(xué)生不僅能夠獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)新的視角，還能夠認(rèn)識到數(shù)學(xué)知識在其他學(xué)科領(lǐng)域的實際應(yīng)用，從而培養(yǎng)他們橫向聯(lián)系其他學(xué)科的數(shù)學(xué)眼光。

4.溯源式體驗教學(xué)應(yīng)培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)眼光

斯托利亞爾在《數(shù)學(xué)教育學(xué)》中指出：“教學(xué)的結(jié)果，不僅應(yīng)當(dāng)掌握概念，而且還應(yīng)當(dāng)掌握每一個具體課題和整個數(shù)學(xué)課程的完整的概念體系?！保?］指向數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的溯源式體驗教學(xué)應(yīng)當(dāng)突出這樣的結(jié)構(gòu)化設(shè)計，以幫助學(xué)生從數(shù)學(xué)發(fā)展史、數(shù)學(xué)內(nèi)部知識關(guān)系的角度厘清數(shù)學(xué)概念的相關(guān)體系，達(dá)到概念的三度聯(lián)系狀態(tài)（見圖5）。

案例4：分式概念教學(xué)

問題：你能對下面例子中出現(xiàn)的式子進(jìn)行分類嗎？

追問1：對于這類新的代數(shù)式，你還能舉出類似的例子嗎？

追問2：它們共同的特征是什么？

追問3：根據(jù)這些式子的特征，你能試著歸納出分式的概念嗎？

【體驗說明】案例4讓學(xué)生從具體情境中獲得不同的代數(shù)式，并結(jié)合對整式、分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)，在分類活動的體驗中發(fā)現(xiàn)研究對象的本質(zhì)屬性，從而獲得分式概念。這里從數(shù)學(xué)內(nèi)部知識之間的關(guān)系進(jìn)行溯源，上位概念是代數(shù)式，下位概念是分?jǐn)?shù)，同位概念是整式。學(xué)生經(jīng)歷了從單一的代數(shù)式到多個代數(shù)式，從重復(fù)地看到抽象地看，再到一般地看的過程。在這個過程中，學(xué)生經(jīng)歷悱憤沖突和反思重構(gòu)，逐步明確了分式的概念。

5.溯源式體驗教學(xué)應(yīng)在數(shù)學(xué)概念鞏固應(yīng)用中發(fā)展數(shù)學(xué)眼光

教師通過設(shè)置符合學(xué)生認(rèn)知水平的鞏固練習(xí)，可以幫助學(xué)生在概念獲得的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步辨析概念的內(nèi)涵和外延，內(nèi)化重構(gòu)新的概念。在設(shè)計鞏固應(yīng)用練習(xí)時，教師需要多結(jié)合實例，引導(dǎo)學(xué)生在具體情境中運用概念，激發(fā)學(xué)生的應(yīng)用興趣，突出對概念本質(zhì)屬性的辨析，回避對具有爭議性的表征方式的討論；關(guān)注概念與其他概念關(guān)系的理解，回避概念定義的想當(dāng)然和簡單嫁接；重視概念學(xué)習(xí)路徑的遷移創(chuàng)新和對方法經(jīng)驗的感悟，回避對概念碎片化的重復(fù)識記。

案例5：研究“箏形”

問題：如圖6，根據(jù)風(fēng)箏的形狀抽象出一類平面多邊形，把它叫作箏形：

（1）結(jié)合對特殊平行四邊形的研究經(jīng)驗，給出箏形的一種定義；

（2）用圖示的方式在圖7中給箏形找一個位置，并作簡要的文字說明。

【體驗說明】這樣的概念鞏固和應(yīng)用，有時候常以一種項目式學(xué)習(xí)方式進(jìn)行，可以更好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)體驗教學(xué)做思共生的理念。

綜上，在數(shù)學(xué)教育中，溯源式體驗教學(xué)有助于學(xué)生更深入地理解數(shù)學(xué)概念，幫助學(xué)生在過往、當(dāng)下和未來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中形成和發(fā)展數(shù)學(xué)的眼光。

【參考文獻(xiàn)】

［1］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］A.A.斯托利亞爾.數(shù)學(xué)教育學(xué)［M］.丁爾，譯.北京：人民教育出版社，1984：145.