圓是重要的幾何圖形之一，它具有軸對稱性和中心對稱性。圓的學(xué)習(xí)建立在前面學(xué)習(xí)的直線型圖形有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，具有較強的綜合性，也是中考的必考內(nèi)容。

一、復(fù)習(xí)策略

1.從“對稱”的角度復(fù)習(xí)圓的性質(zhì)

圓既是軸對稱性圖形，又是中心對稱圖形，同時還具有旋轉(zhuǎn)不變性，即繞圓心任意角度旋轉(zhuǎn)，最終都能與原來的圖形重合，這些是圓的最基本的性質(zhì)?！皥A心角、弧、弦之間的關(guān)系”“垂徑定理”“切線長定理”等都是從這些角度來進行探索和證明的，許多中考試題都可以利用“圓的對稱性”來思考，可以發(fā)現(xiàn)多種情況、簡化解決問題過程以及快速得到結(jié)論等。因此，在圓的復(fù)習(xí)中，我們要加強對“對稱性”的理解，提高運用“圓的軸對稱性”解決問題的能力。

2.從“過程”的角度強化解題細節(jié)

在圓的復(fù)習(xí)中，我們需要抓住“過程”，研究細節(jié)。一是抓住知識的探索“過程”。通過經(jīng)歷“觀察→操作→猜想→推理”的認識過程，提升自己認識問題、分析問題的能力。二是抓住教材例題的規(guī)范“過程”。中考中許多同學(xué)由于解題不規(guī)范而導(dǎo)致失分，因此，在復(fù)習(xí)時，我們要對教材中的例題認真研究，特別要關(guān)注解題的步驟，對自己的書寫過程進行糾正與完善。

3.從“生成”的角度凸顯思想方法

中考除了考查圓的基礎(chǔ)知識、基本方法外，還考查思想方法的掌握情況，進而考查數(shù)學(xué)素養(yǎng)。圓這一專題蘊涵許多重要的數(shù)學(xué)思想方法。如，在探索圓周角與圓心角之間數(shù)量關(guān)系的過程中，需要對圓心相對于圓周角的位置進行分類，體現(xiàn)了分類思想；將圓錐側(cè)面展開，轉(zhuǎn)化為平面圖加以研究，實現(xiàn)由空間到平面的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想；對圓心相對于圓周角的位置的分類，實現(xiàn)由特殊到一般的轉(zhuǎn)化；對點與圓、直線與圓的位置關(guān)系的研究，反映了數(shù)與形之間的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想……因此，我們在復(fù)習(xí)時要有意識地反思知識形成過程中所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法。

二、典型例題

例1 如圖1，AC、BC為⊙O的兩條弦，D、G分別為AC、BC的中點，⊙O的半徑為2。若∠C=45°，則DG的長為（ ）。

A.2 B.[3] C.[32] D.[2]

圖1 圖2

【解析】如圖2，連接AO、BO、AB，根據(jù)圓周角定理得到∠AOB=2∠ACB=90°。因為⊙O的半徑為2，所以AB=[22+22]=[22]。因為點D、G分別是AC、BC的中點，所以根據(jù)三角形的中位線定理可得DG=[2]。故選D。

【點評】此題主要考查了三角形中位線定理、勾股定理以及圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半。

例2 已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線BD是⊙O的直徑。

（1）如圖3，連接OA、CA，若OA⊥BD，求證：CA平分∠BCD；

（2）如圖4，E為⊙O內(nèi)一點，滿足AE⊥BC，CE⊥AB。若BD=[33]，AE=3，求弦BC的長。

【解析】（1）因為OA⊥BD，由垂徑定理可證得弧AB與弧AD相等，進而可證得∠ACB=∠ACD，即CA平分∠BCD。

（2）如圖5，延長AE交BC于點M，延長CE交AB于點N，由“直徑所對的圓周角是直角”可證得∠BAD=∠BCD=90°。由AE⊥BC，CE⊥AB，可證得∠AMB=∠CNB=90°，所以AD∥NC，CD∥AM，進而證明四邊形AECD是平行四邊形，從而有CD=AE=3。再由勾股定理即可得出BC=[BD2-CD2]=[（33）2-32]=[32]。

【點評】本題綜合考查圓的相關(guān)知識，主要考查垂徑定理、圓周角定理及其推論、勾股定理、平行四邊形的性質(zhì)與判定，熟練掌握圓周角定理的推論是解題的關(guān)鍵。

例3 （1）在同一平面內(nèi)，已知⊙O的半徑為2，圓心O到直線l的距離為3，點P為圓上的一個動點，則點P到直線l的最大距離是（ ）。

A.2 B.5 C.6 D.8

（2）如圖6，PA與⊙O相切于點A，PO交⊙O于點B，點C在PA上，且CB=CA。若OA=5，PA=12，則CA的長為 。

【解析】（1）根據(jù)圓心到直線l的距離為3，而圓的半徑為2，此時直線與圓相離，如圖7。BO的延長線與⊙O的交點，即為要求的點P位置，此時點P到直線l的距離最大，BP=5。故選B。

（2）如圖8，連接OC。根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OAP=90°；然后利用“SSS”證明△OAC≌△OBC，從而可得∠OAP=∠OBC=90°；再在Rt△OAP中，利用勾股定理求出OP=13；最后，根據(jù)△OAC的面積+△OCP的面積=△OAP的面積，進而可求得AC=BC=[103]。

【點評】第（1）問主要考查直線與圓的位置關(guān)系；第（2）問主要考查直線與圓的位置關(guān)系中相切的相關(guān)知識，看到切線想到垂直，看到圓外一點到圓上某點距離跟某個切線長相等，想到它也是切線是解決本題的關(guān)鍵。

例4 （1）中國高鐵的飛速發(fā)展，已成為中國現(xiàn)代化建設(shè)的重要標(biāo)志。如圖9是高鐵線路在轉(zhuǎn)向處所設(shè)計的圓曲線（即圓?。?，高鐵列車在轉(zhuǎn)彎時的曲線起點為A，曲線終點為B，過點A、B的兩條切線相交于點C，列車在從A到B行駛的過程中轉(zhuǎn)角α為60°。若圓曲線的半徑OA=1.5km，則這段圓曲線[AB]的長為（ ）。

A.[π4]km B.[π2]km

C.[3π4]km D.[3π8]km

（2）如圖10，邊長為4的正方形ABCD的對角線交于點O，以O(shè)C為半徑的扇形的圓心角∠FOH=90°，則圖中陰影部分面積是 。

（3）如圖11，在△ABC中，AC=3，AB=4，BC邊上的高AD=2，將△ABC繞著BC所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的表面積為 。

【解析】（1）由圓的切線可得∠OAC=∠OBC=90°，進而可求得∠AOB=60°，再根據(jù)弧長公式計算可求曲線[AB]的長為[60π×1.5180]=[π2]（km）。

（2） 由正方形的性質(zhì)可得到OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，∠BOC=90°；再由∠FOH=90°，可得∠BOE=∠COG，進而可證得△OBE≌△OCG（ASA），則S△OBE=S△OCG，進而推出S四邊形OECG=S△OBC=4。所以S陰=S扇形OFH-S四邊形OECG=[90π×（22）2360-]４=

2π-4。故答案為2π-4。

（3）所得幾何體為圓錐的組合圖形，其表面積為底面半徑為2、母線長為3和4的兩個圓錐的側(cè)面積之和。所以得到的幾何體的表面積為π×2×3+π×2×4=14π。故答案為14π。

【點評】本例是與圓相關(guān)的計算的三道典型題。第（1）問是與生活實際結(jié)合考查弧長的計算公式，第（2）問是與其他知識結(jié)合考查扇形面積計算公式以及求陰影部分面積的方法，第（3）問是通過求幾何體的表面積考查圓錐的側(cè)面積的計算公式。解決這些計算問題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形找準(zhǔn)公式中的對應(yīng)量。

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區(qū)實驗初級中學(xué)）

領(lǐng)" 銜" 人：高榮興

組稿團隊：江蘇省泰州市姜堰區(qū)高榮興初中數(shù)學(xué)名師工作室