命題者在命制中考試題時(shí)，通常會(huì)把圓的知識點(diǎn)與生產(chǎn)生活中的一些場景結(jié)合起來，這樣既能考查同學(xué)們對圓的知識點(diǎn)的掌握情況，又能考查同學(xué)們應(yīng)用知識解決實(shí)際問題的能力。解決這類問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。

一、圓周角定理的應(yīng)用

例1 如圖1，某博覽會(huì)上有一圓形展示區(qū)，在其圓形邊緣的點(diǎn)P處安裝了一臺監(jiān)視器，它的監(jiān)控角度是55°。為了監(jiān)控整個(gè)展示區(qū)，最少需要在圓形邊緣上共安裝這樣的監(jiān)視器 臺。

【解析】本題考查了圓周角定理“在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半”。一臺監(jiān)視器的監(jiān)控角度是55°，也就是告訴我們，圓周角是55°，那么圓周角所對的弧所對的圓心角是110°。要想監(jiān)控整個(gè)圓形展示區(qū)，安裝的監(jiān)視器對應(yīng)的圓心角至少為360°。因?yàn)?60°÷110°=[3311]， 所以最少需要在圓形邊緣上共安裝這樣的監(jiān)視器4臺。

二、垂徑定理的應(yīng)用

例2 筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖2。筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖3，已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB長為6米，⊙O半徑長為4米。若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，則點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離是（ ）。

A.1米 B.（4-[7]）米

C.2米 D.（4+[7]）米

【解析】本題主要考查的是垂徑定理在生產(chǎn)生活中的應(yīng)用，解決這個(gè)問題需要我們結(jié)合筒車的工作平面圖（圖3），找出已知條件和需要解決的問題。如圖4，連接OC交AB于點(diǎn)D，連接OA。因?yàn)辄c(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，所以可知OC⊥AB。根據(jù)“垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧”，可得到AD=[12]AB=3（米）。在Rt△OAD中，OD=[OA2-AD2]=[42-32]=[7]（米），所以點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離CD=OC-OD=（4-[7]）米。故選B。

三、與圓有關(guān)的計(jì)算公式的應(yīng)用

例3 某仿古墻上原有一個(gè)矩形的門洞，現(xiàn)要將它改為一個(gè)圓弧形的門洞，圓弧所在的圓外接于矩形，如圖5。已知矩形的寬為2m，高為[23]m，則改建后門洞的圓弧長是（ ）。

A.[5π3]m B.[8π3]m

C.[10π3]m D.（[5π3]+2）m

【解析】本題主要考查弧長公式在生活中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是借助勾股定理、圓周角定理、矩形的性質(zhì)等知識，求出優(yōu)弧所對的圓心角的度數(shù)和所在圓的半徑。我們在解決這類問題時(shí)，應(yīng)先在圖中標(biāo)上字母，如圖6所示，連接AC、BD，AC和BD相交于點(diǎn)O，則O為圓心。由題意可得，CD=2 ，AD=[23]，∠ADC

=90°，所以tan∠DCA=[ADCD]=[232]=[3]，AC=[CD2+AD2]=4，進(jìn)而可求得∠ACD=60°，OA=OC=2。所以可求得優(yōu)弧ADB所對的圓心角為300°。所以改建后門洞的圓弧長為[300π×2180]=[10π3]（m）。故選C。

四、與圓有關(guān)的位置關(guān)系的應(yīng)用

例4 （多選）發(fā)動(dòng)機(jī)的曲柄連桿將直線運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為圓周運(yùn)動(dòng)，圖7是其示意圖。圖7中，點(diǎn)A在直線l上往復(fù)運(yùn)動(dòng)，推動(dòng)點(diǎn)B做圓周運(yùn)動(dòng)形成⊙O，AB與BO表示曲柄連桿的兩直桿，點(diǎn)C、D是直線l與⊙O的交點(diǎn)。當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E時(shí)，點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)C；當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D。若AB=12，OB=5，則下列結(jié)論正確的是（ ）。

A.FC=2

B.EF=12

C.當(dāng)AB與⊙O相切時(shí)，EA=4

D.當(dāng)OB⊥CD時(shí)，EA=AF

【解析】本題主要考查的是圓的切線的性質(zhì)在生產(chǎn)生活中的應(yīng)用，解決這個(gè)問題的關(guān)鍵是對“發(fā)動(dòng)機(jī)的曲柄連桿將直線運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為圓周運(yùn)動(dòng)”的理解。由題意可得AB=CE=12，AB+BO=OE=17，F(xiàn)D=AB=12，OC=OB=OD=5，從而可判斷選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B不正確；當(dāng)AB與⊙O相切時(shí)，∠ABO=90°，由勾股定理可求得AO=13，所以EA=EO-AO=17-13=4，則選項(xiàng)C正確；當(dāng)OB⊥CD時(shí)，由勾股定理可求得AO=[119]，所以AE=EO-AO=17-[119]，AF=AO-OF=[119]-2-5=[119]-7，所以AE≠AF，故選項(xiàng)D不正確。故應(yīng)選擇AC。

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)）