摘要：二次型是線性代數的重要組成部分，為了方便計算我們通常會把二次型轉化成標準形.本文主要講述了化二次型為標準型的幾種方法：正交變換法、合同變換法、雅可比法、配方法.

關鍵詞：二次型；標準形；正交變換法；合同變換法；配方法

1化二次型為標準形的基本方法

本文主要分析了將二次型化為標準形的四種方法：正交變換法、合同變換法、雅可比法以及配方法.

1.1正交變換法

分析：運用正交變換X=CY，首先要注意C必須是一個正交矩陣，CTAC=B當中對稱矩陣A與對角陣B是合同的，并且CT=C-1，這是因為不能直接合同對角化，需要利用相似對角化C-1AC=B來進行，這就要求C為正交矩陣，否則無法進行CTAC=C-1AC=B這一步驟.

具體步驟：第一步先將二次型表示成矩陣表達式f=XTAX，求出矩陣A；接著根據公式λE-A=0求出A所有的特征值λ1，λ2，…，λn；然后求出對應于特征值的線性無關的特征向量ξ1，ξ2，…，ξn，并將這組特征向量正交化、單位化，就可以得到向量組η1，η2，…，ηn，記C=（η1，η2，…，ηn）；最后做正交變換X=CY，就可以得到要求的二次型的標準形。

1.2合同變換法

分析：首先了解什么是合同變換，若對方陣A做一次初等行變換，接著對所得矩陣做一次同種的初等列變換，就稱對A進行一次合同變換.初等變換法要求對初等變換的知識有深刻的了解而且能夠熟練運用，對初等變換和初等陣之間的關系也需要掌握好，在進行初等變換時首先會進行非退化線性替換即X=CY，然后需要有可逆矩陣C，使得CTAC=B，A每進行一次列的初等變換就要同時進行行的初等變換，直到能把A變換成一個對角陣B。但是要注意對矩陣E只做與A同樣的列變換，行不變換，EC=C，然后就能直接得到標準形的系數矩陣B以及非退化線性變換的系數矩陣C.

具體步驟：利用可逆的線性變換X=CY，把f=XTAX化為標準形，即f=XTAX=（CY）TACY=YTCTACY=YTBY.

只需CTAC=B，又因C=（p1，p2，…，ps），其中p1，p2，…，ps均為初等方陣，所以（p1p2…ps）TAp1p2…ps=B，即psT…p2Tp1TAp1p2…ps=B.而psT…p2Tp1T=psT…p2Tp1TE=CT，結合這兩個式子可將A化成對角形矩陣，同時求出可逆矩陣C.

A做合同變換（A|E）E做行變換（B|CT），求出CT，做可逆線性變換X=CY，則該變換將f化為標準形：

f=k1y21+k2y22+…+kry2r

1.3雅可比法

分析：雅可比法是借助對稱雙線性函數將二次型化為標準形，運用雅克比方法將二次型轉化為標準形的前提條件是n元二次型的矩陣的前（nm+ZH7Oc7afkcncjMdoUWow==-1）階順序主子式都不為零，那么這個二次型一定能化為標準形.雅可比法化二次型為標準形的實質是找到滿足條件的一組基η1，η2，…，ηn即可.

具體步驟：首先討論能否構造一組基η1，η2，…，ηn

其中η1=ε1，

η2=c12ε1+ε2，

…

ηn=c1nε1+c2nε2+…+cn-1，nεn-1+εn，使得f（ηi，…，ηj）=0，i≠j.

接著可以用施密特正交法構造正交基η1，η2，…，ηn

根據對稱雙線性函數有：b11=f（η1，η1）=f（ε1，ε1）=a11=Δ1b22=f（η2，η2）

=f（c12ε1+ε2，η2）=c12f（ε1，η2）+f（ε2，η2）.

接著又知道其中有b12=f（η1，η2）=f（ε1，c12ε1+ε2）=c12f（ε1，ε1）+f（ε1，ε2）=c12a11+a12=0.

所以求得c12=-a12a11，并且b12=f（ε1，η2）=0.

將上述結果代入b22中可以得到：

b22=f（ε2，η2）=f（ε2，c12ε1+ε2）=c12a12+a22=a11a22-a212a11=Δ2Δ1.

照這種方法計算可以得到bii，i=1，2，…，n.

由于bji=f（ηj，ηi）=f（εj，ηi）=0，其中j小于i，所以能夠得到線性方程組：

c1ia11+c2ia12+…+ci-1，ia1，i-1+a1i=0，

c1ia21+c2ia22+…+ci-1，ia2，i-1+a2i=0，

…

c1iai-1，1+c2iai-1，2+…+ci-1，iai-1，i-1+ai-1，i=0.

即c1i=Ai1Δi-1，c2i=Ai2Δi-1，

…

ci-1，i=Ai，i-1Δi-1.

其中Aij是元素aij的代數余子式，j小于i.則有

bii=f（ηi，ηi）=f（εi，ηi）

=f（εi，c1iε1+c2iε2+…+ci-1，iεi-1+εi）

=c1iai1+c2iai2+…+ci-1，iai，i-1+aii

=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ai，i-1Ai，i-1+aiiAiiΔi-1

=ΔiΔi-1

最后令C=（cij）n×n=1…c1n

0…1

然后可求得向量ηi，使它能夠滿足

bij=f（ηi，ηj）=0，i≠j

則對稱雙線性函數f（α，β）關于基η1，η2，…，ηn的矩陣為B=CTAC=b11…0

0…bnn

即二次型XTAX經過非退化線性替換X=CZ轉化為標準形ZTBZ=b11z21+…+bnnz2n.

1.4配方法

我們知道不是所有的二次型都含平方項，所以在運用配方法之前首先要構造平方項，即通過非退化線性替換化二次型為含平方項的二次型，通常采用Lagrange配方法.

具體步驟：如果二次型中含有xi的平方項，就先把含有xi的乘積項集中，然后進行配方，再對剩下的變量進行同樣操作，直到把它們都配成平方項的形式，再經過非退化線性變換就可以得到標準形.當二次型不含有平方項的時候，且aij≠0（i≠j），則需先做可逆的線性變換

xm=ym-yn

xn=ym+yn

xr=yr（r=1，2，…，n且k≠m，n）

化二次型為含有平方項的二次型，然后進行與含平方項的二次型同樣的操作即可得標準形.

2化二次型為標準形的方法應用

2.1正交變換法解決問題

正交變換得到的標準形是以二次型對應矩陣的特征值為系數的，且通過該種方法所得到的標準形是唯一的，此時X=DY中的矩陣D是正交矩陣.

例：求正交變換法X=DY，將二次型f（x1，x2，x3）=x21-x22-x23+4x1x2-4x1x3化為標準形.

解：二次型矩陣A=12-2

2-10

-20-1，A的特征多項式為：

λE-A=λ-1-22

-2λ+10

20λ+1=λ-1-22

-2λ+10

0λ+1λ+1

=λ-1-42

-2λ+10

0λ+1λ+1

按第三行展開可得λE-A=λ2-9λ+1，即得A的特征值為λ=3，-3，-1，當λ1=3時，可得（3E-A）x=0，即：

2-42

-240

004→2-42

002

004→2-42

002

000

可得基礎解系α1=（2，1，0）T，即為λ1=3的特征向量。

當λ2=-3時，可得（-3E-A）x=0，即：

-4-42

-2-20

00-2→002

-2-20

00-2→-2-20

00-2

000

可得基礎解系α2=（-1，1，0）T，即為λ2=-3的特征向量.

當λ3=-1時，可得（-E-A）x=0，即-2-42

-200

000

可得基礎解系α3=（0，1，2）T，即為λ3=-1的特征向量。

由于實對稱矩陣特征值不同特征向量以正交，所以只需將特征向量單位化.

即有：

β1=152

1

0β2=12-1

1

0β3=150

1

2

令D=β1，β2，β3T=25-120

151215

0025

經正交變換X=DY，將二次型化為標準型XTAX=3x21-3x22-x23.

2.2合同變換法解決問題

合同變換法需要運用矩陣的行列變換，對行做一次變換就要對列做相同的變換.其實質是利用可逆線性變換把二次型化為標準形.

例：用非退化線性替換X=CY化二次型f（x1，x2，x3）=x21-x22-x23+4x1x2-4x1x3為標準形.

解：由題可知，二次型矩陣A=12-2

2.3雅可比法解決問題

雅可比法需要利用二次型矩陣的順序主子式去確定標準形當中的各個平方項的系數，那么就要求二次型矩陣當中的所有的順序主子式均不為零.

例：用雅可比法化二次型f（x1，x2，x3）=x21-x22-x23+4x1x2-4x1x3為標準形.

解：二次型矩陣為A=12-2

2-10

-20-1

實二次型的矩陣A的順序主子式

Δ1=1＞0，Δ2=12

2-1=-5＜0，Δ3=12-2

2-10

-20-1=9＞0

Δ1，Δ2，Δ3都不等于零，則有該二次型的標準形f（x1，x2，x3）=Δ1y21+Δ2Δ1y22+Δ3Δ2y23=y21-5y22-95y23

所做初等變換如下：

12-2

2-10

-20-1→10-2

0-54

-24-1→1-225

0145

001

即C=1-225

0145

001，令y1=x1-2x2+25x3

y2=x2+45x3

y3=x3

可得x1=y1+2y2-2y3

x2=y2-45y3

x3=y3

2.4配方法解決問題

配方法一般可以用來將二次型化為規(guī)范形，并且在規(guī)范形唯一的情況下，使用配方法是較為簡便的.

例：用配方法化上述二次型f（x1，x2，x3）=x21-x22-x23+4x1x2-4x1x3為標準形.

解：首先將二次型中含有x1的項集中起來進行配方，具體步驟如下：

f（x1，x2，x3）=f（x21-x22-x23+4x1x2-4x1x3）

=x21+4x1x2-4x1x3-x22-x23

=x21+4x1（x2-x3）-x22-x23

=（x1+x2-x3）2-（x2-x3）2-x22-x23

=（x1+x2-x3）2-（2x2-2x3）2-2x2x3

可看到式中既含有根式又不易配方，顯然相比于上面三種方法來說利用配方法做此題是不太簡便的，所以下面的步驟不再多加陳述.

結語

二次型在線性代數中占據很重要的地位，并且其相關理論在幾何、物理、力學以及工程技術中也有涉及，可見二次型及其理論的重要意義.化二次型為標準型的方法還有許多，但文中只介紹了四種，而其余的也需要我們去學習，去探索其中的聯系，并總結方法以便對該部分知識有一個更好的掌握.

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作者簡介：韓建邦（1984—），男，河南安陽人，碩士，講師，研究方向：微分方程。