摘要：實(shí)變函數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，在學(xué)生的學(xué)習(xí)體系中發(fā)揮著承上啟下的作用。本文針對實(shí)變函數(shù)高度的抽象性、理解難度大等特點(diǎn)，探討實(shí)變函數(shù)勒貝格積分教學(xué)中如何使用類比思想，主要從學(xué)習(xí)集合內(nèi)容所體現(xiàn)的類比思想和勒貝格積分教學(xué)實(shí)例如何進(jìn)行對比的流程兩方面進(jìn)行了討論。采用多種課堂類比的形式，通過結(jié)構(gòu)對比的方式加深學(xué)生對知識點(diǎn)的理解和接受度，培養(yǎng)學(xué)生分析、解決質(zhì)疑的能力，從而達(dá)到培養(yǎng)創(chuàng)新人才的目的。

關(guān)鍵詞：實(shí)變函數(shù)；類比思想；勒貝格積分；黎曼積分

1概述

實(shí)變函數(shù)這門課程是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的必修課，是數(shù)學(xué)分析復(fù)變函數(shù)等課程的延續(xù)和拓展，也是泛函分析、概率論、調(diào)和分析、測度論和拓?fù)鋵W(xué)等后繼專業(yè)課程的基礎(chǔ)。通過本課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅能夠掌握Lebesgue積分理論，而且能夠從更高的視角認(rèn)識積分與微分。同時(shí)也為培養(yǎng)學(xué)生抽象的思維能力、分析問題和解決問題的能力，進(jìn)一步鉆研現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論知識能力打下基礎(chǔ)。但是學(xué)好這門課程并不容易，因?yàn)樵撜n程涉及的概念多、理論性強(qiáng)、抽象性高，要求學(xué)生具備一定的抽象思維能力，而對于大部分學(xué)生而言，他們更傾向于形象思維。如果教師的教學(xué)方法比較單一，可能會使得部分學(xué)生失去學(xué)習(xí)該課程的興趣，導(dǎo)致這部分學(xué)生的學(xué)習(xí)效果大打折扣。為了能夠讓學(xué)生學(xué)好這門課程，提高他們的學(xué)習(xí)效率，為后續(xù)的學(xué)習(xí)和工作打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，必須提升他們的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生喜歡上這門課程。在這個(gè)過程中，教師的教學(xué)方式起著重要的作用。

實(shí)變函數(shù)又是數(shù)學(xué)分析課程的繼續(xù)、深化與推廣，特別是可以解決Riemann積分的存在性、多重積分中積分次序的交換以及微積分基本定理成立的條件等數(shù)學(xué)分析中懸而未決的問題?；趯?shí)變函數(shù)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性及高度抽象性，以及課程理論知識晦澀、內(nèi)容體系與數(shù)學(xué)分析高度相關(guān)度性，可以在課堂教學(xué)中采用多種對比的形式，通過聯(lián)想對比的方式加深學(xué)生對知識點(diǎn)的理解和掌握。類比是借助相似事物的特征來聯(lián)想刻畫新事物的特征，類比的方法是以合情合理的思維方式誘發(fā)靈感、進(jìn)行發(fā)明創(chuàng)造的主要源泉之一。在人類的發(fā)展進(jìn)步中，無論是在理論知識方面還是在實(shí)際應(yīng)用中都有類比的影子，類比的作用無處不在。同樣，在一切數(shù)學(xué)探索發(fā)現(xiàn)中也離不開類比作用，它是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理的主要工具之一。類比思想的實(shí)質(zhì)就是根據(jù)兩個(gè)對象之間的相似，把信息從一個(gè)對象（類比物）轉(zhuǎn)移給另一個(gè)對象（目標(biāo)物）上去。在數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)的各個(gè)分支之間也存在著許多彼此相似的現(xiàn)象，同時(shí)這些分支的完善發(fā)展幾乎都用到了類比的思想。

2基于類比思想在集合內(nèi)容教學(xué)中的探究

由于實(shí)變函數(shù)的積分是定義在集合上，因此先討論集合，再討論集合的“長度”，即測度。集合可分為有限集和無限集，空集和只含有限個(gè)多個(gè)元素的集合稱為有限集，其余的稱為無限集?？占貍€(gè)數(shù)為零，而非空有限集的典型特性應(yīng)該是具有一個(gè)標(biāo)志其元素個(gè)數(shù)的正整數(shù)，而確定這個(gè)正整數(shù)的方法是和正整數(shù)列某一截?cái)鄘1，2，…，n}一一對應(yīng)。根據(jù)有限集的性質(zhì)來類比無限集的性質(zhì)。有限集可以和正整數(shù)集合建立一對一的關(guān)系，那么無限集應(yīng)該如何找對應(yīng)關(guān)系呢？由于無限集又分為可數(shù)和不可數(shù)，因此這里找到了一種通用的定義就是雙射，任意兩個(gè)非空集合存在雙射，則稱其對等。對等這個(gè)概念對有限集、可數(shù)集、不可數(shù)集都適用。無限集合“個(gè)數(shù)”該如何定義呢？這里還是從對等出發(fā)來定義，若兩個(gè)集合對等，則稱它們有相同的基數(shù)。對有限集合來說，基數(shù)實(shí)際就是元素的個(gè)數(shù)。而對于無限集合來說，雖然元素的個(gè)數(shù)是無限的，但是通過基數(shù)這個(gè)概念可以比較元素的“多少”。無限集合和有限集合有一些類似性質(zhì)，但同時(shí)無限集合又有哪些特殊的性質(zhì)呢？比較典型的特點(diǎn)是一個(gè)無限集可以和它的一個(gè)真子集對等，這一性質(zhì)正是無限集的特征，對有限集顯然不成立，由此可見，有限集和無限集之間有著深刻的差異。例如，｛正整數(shù)全體｝～｛正偶數(shù)全體｝，這里只需令φ（x）=2x，其中x是正整數(shù)。再比如，大圓A和小圓B是兩個(gè)同心圓周，則A～B，事實(shí)上若對A上每一點(diǎn)x與同心的圓心的連線與B相交且只交于一點(diǎn)。由于有限集與正整數(shù)列一段一一對應(yīng)，那么所有無限集會不會都和自然數(shù)集N對等呢？事實(shí)并非如此，在無限集中有一部分和全體正整數(shù)所成的集合對等，稱之為可數(shù)集合。不是可數(shù)的無限集合是不可數(shù)集合。通過這樣的分類，揭示出無限集類中的“數(shù)量”級差異，可數(shù)與不可數(shù)是兩個(gè)完全不同的數(shù)量級。例如，全體有理數(shù)Q成一可數(shù)集合。不可數(shù)集的元素個(gè)數(shù)也是無數(shù)多個(gè)，但多得讓人無法數(shù)。例如全體實(shí)數(shù)所成集合R是一個(gè)不可數(shù)集合。這樣可數(shù)集就是無限集中最簡單、量級最低的集合。在有限集合中元素個(gè)數(shù)與某個(gè)正整數(shù)n對應(yīng)，而在無限集中“個(gè)數(shù)”為無窮個(gè)，則用基數(shù)這個(gè)概念來表示多少。我們用a表示可數(shù)集的基數(shù)，用c表示全體實(shí)數(shù)的基數(shù)。那么問題來了，有沒有基數(shù)大于c的集合呢？有沒有最大的基數(shù)呢？下面的定理回答了這個(gè)問題：若M是任意一個(gè)集合，它的所有子集作成新的集合μ，則μ的基數(shù)大于等于M的基數(shù)。從而我們可知沒有最大的基數(shù)。

通過有限集到可數(shù)集再到不可數(shù)集合，由此看出，事物的發(fā)展規(guī)律由“量”變到“質(zhì)”變、由低級到高級、由簡單到復(fù)雜的曲折前進(jìn)的過程。通過類比的方式我們可以把原有的知識擴(kuò)展，而且對新知識更加容易接受理解。從另外一角度實(shí)變函數(shù)論這門課程研究的主要對象是建立在集合論上的函數(shù)理論，前面接觸的課程像實(shí)變函數(shù)和復(fù)變函數(shù)是分別建立在實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域上的理論。而實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域是特殊的集合，因此實(shí)變函數(shù)從定義域的角度推廣到了一般的情形。

3基于類比思想的勒貝格積分教學(xué)實(shí)例展示

本部分內(nèi)容選自教材《實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)》高等教育出版社程其襄等編寫。學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容，對定積分和多變量積分已經(jīng)比較熟悉。對于勒貝格積分的定義也可以仿效黎曼積分方式給出，教材中也是采用的這種導(dǎo)入方式。在實(shí)際教學(xué)中，本研究嘗試?yán)脙蓚€(gè)概念結(jié)構(gòu)上的相似性，采用類比法引入勒貝格積分的定義。具體操作如下：

3.1類比前的準(zhǔn)備

這個(gè)過程就是幫助學(xué)生找到類比的“源問題”，即原有知識結(jié)構(gòu)中的已經(jīng)學(xué)過的內(nèi)容。在這里可以把相關(guān)的知識點(diǎn)設(shè)計(jì)成回顧問答的形式，如：

（1）在數(shù)學(xué)分析課程中，我們學(xué)習(xí)過定積分的定義、相關(guān)性質(zhì)及計(jì)算方法，哪位同學(xué)能回答出黎曼積分的定義？

（2）哪位同學(xué)能說出可積函數(shù)類有哪些？

學(xué)生表述完成后，教師可以加以點(diǎn)評補(bǔ)充，把黎曼積分概念展示給學(xué)生，重點(diǎn)把思路復(fù)習(xí)清楚，這是為下一步的類比的實(shí)施做準(zhǔn)備。

3.2類比實(shí)施過程

這個(gè)過程由教師設(shè)置一些逐級深入的問題，幫助學(xué)生直觀、快速、準(zhǔn)確地找到“有效的類比條件”，從而實(shí)現(xiàn)由“舊”到“新”的類比。在這里可以設(shè)計(jì)如下鋪墊和問題，我們今天要研究一種新的積分，叫做勒貝格積分。

（1）人們在清點(diǎn)不同面值的硬幣的總面值時(shí)，你可以一疊豎著數(shù)，也可以一層層的橫著數(shù)。如果說黎曼積分與豎著數(shù)再求和相似，那么勒貝格積分則可以和一層層的橫著數(shù)再相加類似。那它們在定義上會不會有某種聯(lián)系呢？

（2）我們能不能在黎曼積分的基礎(chǔ)上得出勒貝格積分的定義呢？可以給學(xué)生一定的思考時(shí)間，之后進(jìn)行提問。哪位同學(xué)可以嘗試一下？如果學(xué)生不能夠順利準(zhǔn)確地對照黎曼積分定義得到勒貝格積分的定義，則可以繼續(xù)下一個(gè)問題進(jìn)一步引導(dǎo)。

注意：設(shè)計(jì)的問題要有一定的順序，使問題和問題之間有一定的邏輯層次和層層遞進(jìn)的關(guān)系，難易度跨度不能太大，否則就會使問題之間的跳躍性太強(qiáng)，增加學(xué)生思維上的難度，這就違背了類比思想教學(xué)的原則。在教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)課堂上學(xué)生反應(yīng)的具體情況而隨機(jī)應(yīng)變，掌握好問題這個(gè)度，既要讓學(xué)生不能有挫敗感，又要能達(dá)到鍛煉學(xué)生思維的目的。

（3）具體引入勒貝格積分的過程如下，建立勒貝格積分的基本思路和步驟是怎樣呢？前面學(xué)習(xí)過建立函數(shù)f（x）在［a，b］上的黎曼積分的基本思路是：分割［a，b］為小區(qū)間，做積分和，取極限。對有界可測函數(shù)而言，勒貝格積分的基本思路也是如此。不同的是“橫”著分割值域［m，M］，相應(yīng)的定義域也被分割成小區(qū)間，但小區(qū)間不一定再是相鄰的。于是與黎曼積分和

∑ni=1f（ξi）（xi-xi-1）

相應(yīng)的是勒貝格積分和

∑ni=1yimE［yiyi+1］。

然后，當(dāng)兩種分割都越來越細(xì)的時(shí)候，兩種積分和分別趨于黎曼積分和勒貝格積分。我們觀察黎曼積分和與勒貝格積分和都是“窄”矩形面積之和，不同之處在于黎曼積分和小矩形是挨著的，而勒貝格積分和是按照函數(shù)值范圍分散的。另外，黎曼積分要求函數(shù)有界，而可測函數(shù)不必有界，且積分區(qū)域也可以是無窮大測度，因此需要給出一種新的建立勒貝格積分的思路。

首先，由于曲邊梯形的面積，當(dāng)f（x）0時(shí)，它的面積值為0或者正；當(dāng)f（x）

0時(shí)，它的面積值為0或者負(fù)。因此，一般函數(shù)f（x）所圍成的曲邊梯形的面積有正有負(fù)，積分值是面積值的代數(shù)和。這樣一來，一旦可測函數(shù)是無界的且函數(shù)值可正可負(fù)，最后的積分值可能會出現(xiàn)∞-∞的不定式的情形。為了避免這種情況，第一步先研究非負(fù)函數(shù)的積分，進(jìn)而推廣到一般的情況。

其次，用黎曼積分計(jì)算由非負(fù)函數(shù)圍成的曲邊梯形的面積，實(shí)際上是用一列“階梯函數(shù)”所圍成的小矩形面積之和求極限，階梯函數(shù)是分割區(qū)間［a，b］為小區(qū)間之后形成的。對于勒貝格積分，將以“可測集分割”加以取代，形成所謂的簡單函數(shù)。將積分區(qū)域（區(qū)間［a，b］或一般的多維空間中的可測集E）分為兩兩不相交的可測子集Ei，在Ei上取值ci，構(gòu)成一個(gè)函數(shù)φ（x）=∑ni=1ciχEi（x）。

這種非負(fù)簡單函數(shù)的積分是首先要處理的對象，φ（x）在E上的勒貝格積分定義為

∫Eφ（x）dx=∑ni=1cimEi。

在定義非負(fù)簡單函數(shù)的勒貝格積分之后，然后將進(jìn)一步介紹非負(fù)可測函數(shù)的積分，最后討論一般可測函數(shù)的勒貝格積分。f（x）是E上的一個(gè)非負(fù)可測函數(shù)，f（x）在E的勒貝格積分定義為E上的簡單函數(shù)φ（x）積分的上確界，這里0f（x）；因此這樣定義的勒貝格積分值為非負(fù)的，若積分值小于無窮大，則稱f（x）在E上勒貝格可積。而對于一般可測函數(shù)的勒貝格積分則作如下規(guī)定：若f（x）為可測集E上的可測函數(shù)，令f+（x）=max{f（x），0}，f-（x）=max{-f（x），0}。

則f+和f-都是E上的非負(fù)可測函數(shù)，且f+（x）-f-（x）=f（x），f+（x）+f-（x）=f（x）。

若f+和f-在E上的積分至少有一個(gè)有限，則稱f（x）在E上積分確定，它們積分的差為f（x）在E上的勒貝格積分，記作∫Ef（x）dx。若f+和f-在E上的積分都有限，則稱f（x）在E上勒貝格可積，簡稱L可積。

勒貝格積分定義從非負(fù)簡單函數(shù)開始到一般可測函數(shù)，從特殊到一般用循序漸進(jìn)的方式給出了勒貝格積分的完整的定義。勒貝格積分類比黎曼積分定義一步步進(jìn)行推廣，那么這兩種積分之間有什么關(guān)系呢？下面來討論這個(gè)問題。

結(jié)論一：設(shè)f（x）是在［a，b］上的一個(gè)有界函數(shù)，若f（x）在［a，b］上R可積，則f（x）在［a，b］上L可積，且

（L）∫［a，b］f（x）dx=（R）∫baf（x）dx。

結(jié)論二：設(shè)f（x）是［a，∞）上的一個(gè)非負(fù)實(shí)函數(shù)，若對于任意的A＞a，f（x）在［a，A］上R可積且R反常積分（R）∫baf（x）dx收斂，則f（x）在［a，∞）上L可積且（L）∫［a，∞）f（x）dx=（R）∫∞af（x）dx。

注：在結(jié)論二中非負(fù)函數(shù)的條件不能省，因?yàn)樵诓幌拗坪瘮?shù)正負(fù)的情況下勒貝格積分并不是黎曼反常積分的推廣，這主要因?yàn)長積分是絕對收斂的積分而收斂的R反常積分并不一定絕對收斂。

例：令f（x）=sinxx，若x＞0，

1，若x=0，則f（x）在［0，∞）上連續(xù)，f（x）在［0，∞）上的R反常積分收斂且（R）∫∞0f（x）dx=π2，但是f（x）在［0，∞）上不是積分確定的，當(dāng)然不是L可積分。

3.3類比結(jié)論的驗(yàn)證

勒貝格積分的定義是從黎曼積分定義的思路出發(fā)，結(jié)合可測函數(shù)的特點(diǎn)，巧妙地運(yùn)用了類比的方式，一步一步得出勒貝格積分的定義的一般形式，使學(xué)生有一定的直觀感知，并參與了公式的推導(dǎo)過程，既能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又真正做到了自主探究的學(xué)習(xí)目的。根據(jù)勒貝格積分和黎曼積分之間的關(guān)系，教師可以舉一些典型的例子，以區(qū)分兩種積分差異，從而進(jìn)一步加深對概念的理解和應(yīng)用。例如，在R上的狄利克雷函數(shù)在有理數(shù)上取1，在無理數(shù)數(shù)點(diǎn)取0，則勒貝格積分為0，黎曼積分不存在。使用類比的教學(xué)方法，可以使學(xué)生對原有的知識得到鞏固提高，同時(shí)能夠降低掌握新知識的難度。

結(jié)語

實(shí)變函數(shù)課程雖然很抽象、很難學(xué)、很難教，但是在教學(xué)過程中使學(xué)生了解實(shí)變函數(shù)的形成和發(fā)展過程，理解從黎曼積分推廣到勒貝格積分的方法，對比黎曼積分與勒貝格積分的聯(lián)系與區(qū)別，這樣不僅可以讓學(xué)生學(xué)到新知識，還可以豐富學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題進(jìn)而獲取新知識的思維方法。本文主要介紹了課堂中常使用類比式教學(xué)法的策略與方法，并用實(shí)變函數(shù)課程中勒貝格積分這個(gè)重要內(nèi)容教學(xué)案例來呈現(xiàn)了類比式教學(xué)的流程，從給出定義及后面的一系列內(nèi)容推廣發(fā)現(xiàn)運(yùn)用類比的方法給出新的積分非常自然流暢，并且具有良好的教學(xué)效果。

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基金項(xiàng)目：本文系內(nèi)蒙古自治區(qū)教育科學(xué)研究“十四五”規(guī)劃項(xiàng)目（項(xiàng)目編號：NGJGH2021132）；內(nèi)蒙古民族大學(xué)科學(xué)研究基金項(xiàng)目（NMDYB19058）

作者簡介：孫志玲（1979—），女，漢族，內(nèi)蒙古赤峰市人，博士，博士后，研究方向：函數(shù)空間的算子理論、高等數(shù)學(xué)教學(xué)教法研究。