摘要：分類思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要方法，但在使用中，也必須給予高度重視。按照分類思想使用的3個原則：（1）標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一性原則；（2）不重不漏原則；（3）層次性原則，可以保證分類思想方法的正確使用。本文從分類討論思想方法在集合、函數(shù)、平面幾何、解析幾何中的應(yīng)用，以期幫助人們能夠更好地運(yùn)用數(shù)學(xué)分類思想來處理問題，達(dá)到學(xué)習(xí)的預(yù)想效果。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)；分類思想；應(yīng)用

1研究背景

分類思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要方法，通過分類討論來實(shí)現(xiàn)。因而，人們也將分類思想稱為“分類討論思想”［1］。

數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用仍然是一個難度較大的話題。正如馬宗華指出：盡管“分類思想”一詞在課本中未被明確提及，怎么用以及用的步驟等方面的指導(dǎo)多未完全提到，但是它在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，已經(jīng)滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)教材的很多章節(jié)中，是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。［2］

近幾年中高考題中，毫無例外，各地區(qū)試題中均有分類討論，由小題至大題，涵蓋面廣，占分極大，而缺乏數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的學(xué)生對這些試題感到頭疼。因此，探究數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法是很有必要的，也是教學(xué)中的重中之重。

2研究現(xiàn)狀

2.1國外研究現(xiàn)狀

20世紀(jì)以來，國外數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)思想方法的研究日新月異，相關(guān)專著不斷出版，產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。

克萊因在《古今數(shù)學(xué)思想》［2］中告訴人們?nèi)绾伍_辟數(shù)學(xué)一個個分支，然后把它的發(fā)展聯(lián)系在一起，并對數(shù)學(xué)思想發(fā)展史做了詳細(xì)的闡述，從古埃及原始數(shù)學(xué)思想講到20世紀(jì)初葉現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想，對今天從事數(shù)學(xué)方面的教育工作者認(rèn)識數(shù)學(xué)發(fā)展起到十分重要的作用。

喬治波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》［3］中闡述了自己關(guān)于數(shù)學(xué)的教學(xué)、數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)的研究、數(shù)學(xué)的應(yīng)用等一些問題的看法和見解，這是一部涉及數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)教育的著作，其中闡述的許多數(shù)學(xué)思想方法引起數(shù)學(xué)教育研究界的廣泛重視。

2.2國內(nèi)研究現(xiàn)狀

楊淑芳在《分類討論思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透策略研究》［4］中，通過分析分類討論思想教學(xué)中存在的問題，尋找產(chǎn)生問題的原因，據(jù)此提出教學(xué)策略，同時利用教學(xué)實(shí)驗(yàn)對所提出的滲透策略進(jìn)行了有效性檢驗(yàn)并提出了問題與缺陷。

劉江華在《分類討論思想在高一數(shù)學(xué)教學(xué)中逐步滲透的實(shí)踐探究》［5］中，首先強(qiáng)調(diào)了這種學(xué)習(xí)方式的重要性，其次論述了分類討論思想方法的基礎(chǔ)概念。此外，他還從心理學(xué)的角度詳細(xì)剖析了如何將這種學(xué)習(xí)理念融入教學(xué)當(dāng)中，并結(jié)合高一課本，對高一數(shù)學(xué)分類討論思想方法進(jìn)行了深入的探討，最后調(diào)查比較、教學(xué)反饋，初步總結(jié)出逐步滲透實(shí)施的效果。

3分類思想的相關(guān)理論

3.1核心概念

分類思想使用的方法是分類討論，是一種常用的數(shù)學(xué)思想方法。在日常的學(xué)習(xí)中，許多問題的結(jié)果并不具有唯一的確定性，并且部分題目在求解時不能夠采用統(tǒng)一的格式進(jìn)行研究，另外還存在部分含參數(shù)的試題，即：題目已知量采用字母形式表達(dá)，然而字母不同的值能夠影響到問題的求解結(jié)果，這時就需要將全部所研究問題根據(jù)題目特點(diǎn)分為幾個獨(dú)立的子集，也就是將其轉(zhuǎn)化為多個小問題進(jìn)行求解，類似于這樣將問題按不同條件進(jìn)行歸類，之后對每一類問題進(jìn)行逐個研究的數(shù)學(xué)思想，就叫做分類思想。［6］

3.2分類思想使用的原則

（1）標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一性原則。同一個問題，選取標(biāo)準(zhǔn)不同，分類也就不同。在中學(xué)數(shù)學(xué)解題時，我們需要重視分類討論，并且要用統(tǒng)一的分類解題標(biāo)準(zhǔn)來解題，切勿同時使用多種分類方法，導(dǎo)致分類出現(xiàn)混亂。比如，三角形按照角分類時可分為銳角、直角、鈍角；按照邊分類時，可分為不等邊三角形、等腰三角形、等邊三角形。每次必須按照統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，不能同時采用幾種不同的分類標(biāo)準(zhǔn)。［7］

（2）不重不漏原則。解題時把所討論的對象歸類，既不能重復(fù)，又不能漏掉哪個。如許多學(xué)生對整數(shù)進(jìn)行分類，所給結(jié)果就是整數(shù)有負(fù)數(shù)和正數(shù)之分，通常把零給忘了。還有把平行四邊形分為菱形和矩形，這也是不對的，因?yàn)榱庑魏途匦卫镞叾及叫?。?］

（3）層次性原則。求解一個分類討論相關(guān)問題時，碰到簡單問題僅分類討論一次就行了，當(dāng)然，也會有一些復(fù)雜的問題，需要進(jìn)行多次分類討論，其主要指討論的數(shù)學(xué)問題需實(shí)施多次分析，直至符合相關(guān)要求。［7］

3.3分類思想的使用步驟

（1）根據(jù)問題情境，明確討論的對象和討論的動機(jī)。遇到題目之后我們要分析是對哪一個變量或參數(shù)進(jìn)行分類，這就需要同學(xué)們對教材中的概念、公式、性質(zhì)等都十分熟悉。解題的思路一小部分來自做題積累的經(jīng)驗(yàn)，多數(shù)來自對基礎(chǔ)知識的熟練程度，基礎(chǔ)知識熟練程度高，看到題目自然而然就想到需要討論什么。［2］

（2）確定分類的標(biāo)準(zhǔn)。明確討論的對象之后，要對其進(jìn)行科學(xué)而合理的分類，如在討論兩個集合間關(guān)系時，如果集合具有參數(shù)，就應(yīng)該考慮集合為非空集合和空集兩種情況。［2］

（3）對所分的類別進(jìn)行逐一討論。對每一類問題都應(yīng)該詳細(xì)討論，逐步求解，各個擊破。［8］

（4）將所分情況進(jìn)行總結(jié)概括。在求解分類討論相關(guān)的問題時，最后一定要來個“綜上”，對各種情況進(jìn)行歸納，檢查分類的完整性。［8］

4高中數(shù)學(xué)中分類思想的應(yīng)用

中學(xué)數(shù)學(xué)教材包含著大量分類討論的思想，教師應(yīng)該對數(shù)學(xué)知識體系所包含的分類思想進(jìn)行概括和提煉，有目的地滲透到數(shù)學(xué)知識教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會其中所蘊(yùn)涵的分類思想方法。

4.1分類思想在集合中的應(yīng)用

盡管“集合”內(nèi)容在高考數(shù)學(xué)中往往以一道選擇題的形式出現(xiàn)，但其在高中數(shù)學(xué)中所占比重不可低估。由于分類思想能夠?qū)?fù)雜問題簡單化，使解題變得簡單而快捷，所以也成為很多高中生學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的首選方法之一。因此，教師要注重分類思想在集合中的運(yùn)用。

例1：已知集合B={-4，2b-1，b2}，C={b-4，-b，9}，若9∈（B∩C），求b的值。

分析：數(shù)學(xué)中的分類思想通俗來講就是針對同一個問題的不同種情況需要采用不同的方法對待。某個元素屬于另一個包含參數(shù)的集合，需要討論這個元素與另一個集合中的哪個元素是相等的，要分情況列出方程來求解。在進(jìn)行分類討論時，應(yīng)該特別關(guān)注集合中元素的互異性，以確保遵循不重不漏的原則。

解：因?yàn)?∈（B∩C），所以9∈B且9∈C。于是2b-1=9或b2=9。

（1）當(dāng)2b-1=9，b=5。此時B={-4，9，25}，C={1，-5，9}，滿足集合中元素的互異性，符合題意。

（2）當(dāng)b2=9時，b=±3。

①當(dāng)b=3時，B={-4，5，9}，C={-1，-3，9}，滿足集合中元素的互異性，符合題意。

②當(dāng)b=-3時，B={-4，-7，9}，C={-7，3，9}，滿足集合中元素的互異性，符合題意。

綜上，b=±3或b=5。

小結(jié)：例1是有關(guān)集合的問題，一個元素屬于另一個含參數(shù)的集合，需探討兩個元素的關(guān)系，在進(jìn)行分類時，先分為兩大類，第二類又可分為兩小類。

4.2分類思想在函數(shù)中的應(yīng)用

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)最主要的內(nèi)容，分類思想是解決數(shù)學(xué)問題時經(jīng)常使用到的思維方式之一，也被廣泛應(yīng)用于函數(shù)當(dāng)中。通過實(shí)例來剖析函數(shù)中分類思想的運(yùn)用，有助于學(xué)生深入了解分類思想的基本知識，強(qiáng)化其分類討論意識。

例2：已知函數(shù)f（x）=x2-2ax+4，x∈［-2，2］，求函數(shù)f（x）最小值。

分析：定區(qū)間內(nèi)二次函數(shù)的單調(diào)性與其對稱軸及開口方向有關(guān)，該題為動軸定區(qū)間問題，其對稱軸為直線x=a，且含參數(shù)，對稱軸位置不定，故應(yīng)分類進(jìn)行探討。

解：f（x）=x2-2ax+4=（x-a）2+4-a2的圖象開口向上，且對稱軸是直線x=a。

當(dāng)-2＜a＜2，此時f（x）在［-2，2］上單調(diào)遞減后單調(diào)遞增，最小值為f（a）=4-a2；

當(dāng)a＜-2，此時f（x）在［-2，2］上單調(diào)遞增，函數(shù)f（x）最小值為f（-2）=8+4a；

當(dāng)a＞2，此時f（x）在［-2，2］上單調(diào)遞減，函數(shù)f（x）最小值為f（2）=8-4a；

綜上，當(dāng)a＜-2，函數(shù)f（x）最小值為f（-2）=8+4a；當(dāng)-2＜a＜2，最小值為f（a）=4-a2；當(dāng)a＞2，函數(shù)f（x）最小值為f（2）=8-4a。

小結(jié)：該題為對稱軸變化、區(qū)間確定問題，可分為三大類，對稱軸在區(qū)間里，對稱軸在區(qū)間左右邊。

4.3分類思想在平面幾何中的應(yīng)用

有些幾何問題因圖形的位置不能確定或形狀不確定，就必須分類全面討論。

例3：如圖1所示，已知直線l1和直線l2，以及一條線段AB，兩直線相交，假設(shè)兩條直線上存在一點(diǎn)p，在什么情況下，能夠使ΔPAB為等腰三角形？

分析：先分類假設(shè)AB為等腰三角形的底邊，作AB的垂直平分線，分別與直線l1和直線l2相交于點(diǎn)P1和P2；以及假設(shè)AB為等腰三角形的腰，此時，對于后種情況還需要進(jìn)行分類討論，設(shè)∠A為頂角，再設(shè)∠B為頂角。

解：（1）設(shè)AB為等腰三角形的底邊。

如圖2，作線段AB的垂直平分線，分別與l1和l2相交于點(diǎn)P1和P2。

因?yàn)榇怪逼椒志€上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，即AP1=BP1，AP2=BP2。所以ΔP1AB和ΔP2AB為等腰三角形。

（2）設(shè)AB為等腰三角形的腰。

如圖3，設(shè)∠A為頂角，以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作圓，分別與直線l1和直線l2相交于點(diǎn)P3，P4，P5，P6。

因?yàn)閳A上任意一點(diǎn)到圓心的距離相等，所以AB=AP3=AP4=AP5=AP6，所以ΔP3AB，ΔP4AB，ΔP5AB，ΔP6AB為等腰三角形。

（3）設(shè)AB為等腰三角形的腰。

如圖4，設(shè)∠B為頂角，以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑作圓，分別與直線l1和直線l2相交于點(diǎn)P7，P8，P9，P10。

同理，ΔP7AB，ΔP8AB，ΔP9AB，ΔP10AB為等腰三角形。

小結(jié)：該題首先可分為兩大類，一類是假設(shè)AB為等腰三角形的底邊，另一類是假設(shè)AB為等腰三角形的腰，第二類還可進(jìn)行分類討論，一小類為設(shè)∠A為頂角，另一小類為設(shè)∠B為頂角。

4.4分類思想在解析幾何中的應(yīng)用

解析幾何在高中數(shù)學(xué)中涉及分類討論也是非常多的，比如圓的位置的討論、在直線中斜率的存在問題。

例4：以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓，其長軸長是短軸長的2倍，且經(jīng)過點(diǎn)A（2，0），求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

分析：由橢圓的圖象可得到分類的依據(jù)是焦點(diǎn)在于橫軸還是縱軸，求橢圓方程的問題時需注意根據(jù)焦點(diǎn)的位置設(shè)不同方程，要遵循分類的不重不漏原則，千萬不能把哪一種情況漏掉，否則得出的答案是不完整的。

解：（1）當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時，設(shè)它的方程為x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）。

由題意得2a=2×2b

4a2+0b2=1，解得a=2

b=1。

則橢圓的方程為x24+y2=1。

（2）當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時，設(shè)它的方程為y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）。

由題意得2a=2×2b

0a2+4b2=1，解得a=4

b=2。

則橢圓的方程為x216+y24=1。

綜上，橢圓的方程為x24+y2=1或x216+y24=1。

小結(jié)：該題可分為兩大類進(jìn)行求解，一類是橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，另一類是橢圓的焦點(diǎn)在y軸上。

5分類思想的反思

分類思想是針對同一個問題的不同情況需要采用不同的方法對待，但這對分類思想的認(rèn)識是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。其實(shí)，數(shù)學(xué)中的許多思想可以說是哲學(xué)思想，分類思想方法就能體現(xiàn)這一點(diǎn)。

分類思想作為解決數(shù)學(xué)問題最基本的思維方式之一，對于解決數(shù)學(xué)問題起著非常重要的作用，它對于增強(qiáng)學(xué)生綜合性、探究性、邏輯性以及條理性等思維能力起著至關(guān)重要的作用。［9］

分類思想就是根據(jù)一定的原則將問題劃分成不同的情況，對每種情況下的問題進(jìn)行深入的處理，分類思想不只是從學(xué)生中學(xué)階段就要滲透的思想，而且是從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生涯開始就應(yīng)當(dāng)去滲透的思想。

參考文獻(xiàn)：

［1］胡琳玲.對中考復(fù)習(xí)中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的探究——以分類討論思想為例［J］.數(shù)理化解題研究，2022（29）：1416.

［2］馬宗華.解析高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的分類討論思想［D］.山東師范大學(xué)，2017.

［3］G·波利亞.數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)［M］.劉遠(yuǎn)圖，譯.北京：科學(xué)出版社，1982.

［4］楊淑芳.分類討論思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透策略研究［D］.信陽師范學(xué)院，2016.

［5］劉江華.分類討論思想在高一數(shù)學(xué)教學(xué)中逐步滲透的實(shí)踐探究［D］.河北師范大學(xué)，2013.

［6］劉鵬.分類討論思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用現(xiàn)狀與研究［D］.洛陽師范學(xué)院，2022.

［7］彭恩.分類討論思想在高中數(shù)學(xué)中的研究與應(yīng)用［D］.信陽師范學(xué)院，2017.

［8］辛長紅.高中常用數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)探究［D］.延邊大學(xué)，2010.

［9］張先波.中學(xué)數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)研究［D］.華中師范大學(xué)，2019.

作者簡介：史周晰（2001—），女，陜西寶雞人，碩士研究生，研究方向：數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)應(yīng)用；趙臨龍（1960—），男，陜西西安人，碩士，二級教授，研究方向：數(shù)學(xué)教育。