摘要：隨著科學(xué)技術(shù)發(fā)展，數(shù)值仿真模擬為抽象理論知識的學(xué)習(xí)及應(yīng)用提供了可視化、低成本、高效率之新途徑?；贏BAQUS有限元軟件，以復(fù)雜服役環(huán)境下DF17導(dǎo)彈振動抑制為工程背景，以梁的橫向振動模態(tài)為研究對象，分別模擬計算五種常見梁的前三階橫向振動固有頻率及振型。與理論推導(dǎo)結(jié)果對比，進(jìn)行誤差分析，驗(yàn)證梁模型的適用條件。數(shù)值仿真模擬與理論學(xué)習(xí)的有機(jī)結(jié)合將有效強(qiáng)化學(xué)生對振動基本理論的理解，提高先進(jìn)工具應(yīng)用能力和問題分析能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)值仿真；機(jī)械振動；課程教學(xué)；模態(tài)分析

中圖分類號：G642文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

一、概述

從中國制造世界最大推力70噸級振動臺，到實(shí)現(xiàn)世界最大單體隔震建筑——北京大興國際機(jī)場的運(yùn)營，可以知道，振動是影響高端裝備、土木建筑等安全性與可靠性的關(guān)鍵因素，也是工程設(shè)計及應(yīng)用中最具挑戰(zhàn)性的核心對象?！皺C(jī)械振動學(xué)”理論學(xué)習(xí)及運(yùn)用對航空航天、機(jī)械工程、土木工程等領(lǐng)域發(fā)展舉足輕重［1］。

“機(jī)械振動學(xué)”作為部分工程類專業(yè)基礎(chǔ)課程，系統(tǒng)地闡述了振動的基本理論與分析方法［23］。由于該課程具有內(nèi)容廣泛、理論抽象、公式繁多等特點(diǎn)，且學(xué)生已習(xí)慣在靜力學(xué)框架下分析問題，在動力學(xué)理論學(xué)習(xí)過程中普遍反映知識抽象、理解困難。振動實(shí)驗(yàn)是輔助學(xué)生理解知識和實(shí)踐應(yīng)用最行之有效的方法，但通常學(xué)時有限且成本較高。隨著科學(xué)技術(shù)發(fā)展，數(shù)值仿真模擬為抽象理論知識的學(xué)習(xí)及應(yīng)用提供了可視化、低成本、高效率之新途徑［45］。

本文以彈性體梁的橫向振動為例，應(yīng)用數(shù)值仿真工具輔助理論教學(xué)。DF17導(dǎo)彈作為高超聲速、極高精度制導(dǎo)武器，復(fù)雜服役環(huán)境下振動抑制尤為重要。在實(shí)際飛行過程中，其振動形式是非常復(fù)雜的，涉及橫向、軸向、扭轉(zhuǎn)等多種振動耦合。在本科階段振動基本理論教學(xué)中，可將該研究對象簡化成歐拉伯努利梁模型進(jìn)行解耦分析。下面基于梁橫向固有振動模態(tài)開展理論分析與數(shù)值模擬。

二、梁橫向振動模態(tài)理論推導(dǎo)

梁橫向振動過程滿足線彈性體基本假設(shè)和材料力學(xué)平面假設(shè)，只考慮梁的彎曲變形，不計剪切變形及轉(zhuǎn)動慣量影響［3］。取微段受力分析，如圖1所示，y（x，t）表示距原點(diǎn)x處截面在t時刻的橫向位移，ρ為單位體積梁質(zhì)量，S為梁橫截面積，Q和M分別為截面上剪力和彎矩。

圖1微單元受力圖

根據(jù)牛頓第二定律得自由振動方程：

ρS2y（x，t）t2+Qx=0（1）

由于忽略截面轉(zhuǎn)動影響，以右截面上任一點(diǎn)為矩心，由力矩平衡得：

Q=Mx（2）

根據(jù)材料力學(xué)的等截面假設(shè)，由彎矩與撓度的關(guān)系得：

M=EI2y（x，t）x2（3）

其中，E為彈性模量，I為截面對中性軸的慣性矩。將式（3）代入自由振動方程式（1）得：

2x2［EI2y（x，t）x2］+ρS2y（x，t）t2=0（4）

根據(jù)分離變量法，梁的主振動可假設(shè)為：

y（x，t）=φ（x）q（t）=φ（x）asin（ωt+θ）（5）

其中，ω為固有頻率，θ為相位角。將式（5）代入式（4）得：

（EIφ″）″-ω2ρSφ=0（6）

對于等截面梁橫向振動的振型函數(shù)一般形式為：

φ（x）=C1cosβx+C2sinβx+C3coshβx+C4sinhβx（7）

其中，系數(shù)C1～C4由邊界條件確定，β為4ω2ρS/EI。

因此，梁的主振動表達(dá)為：

y（x，t）=（C1cosβx+C2sinβx+C3coshβx+C4sinhβx）asin（ωt+θ）

（8）

對簡支梁邊界條件，兩端撓度和截面彎矩為零，即：

φ（0）=0，φ″（0）=0，φ（l）=0，φ″（l）=0（9）

分別代入式（7）得頻率方程：

sinβl=0（10）

因此：

βil=iπ，i=1，2，3…（11）

固有頻率為：

ωi=（iπl(wèi)）2EIρS，i=1，2，3…（12）

振型函數(shù)為：

φi（x）=siniπl(wèi)x，i=1，2，3…（13）

簡支梁前三階振型如圖2所示。對于其他簡單支承邊界條件梁，模態(tài)計算流程同簡支梁一致。不同梁橫向振動邊界條件及頻率方程匯總?cè)绫?所示，可知各頻率方程包含雙曲函數(shù)，計算相應(yīng)特征根非常復(fù)雜，模態(tài)分析更為困難。此時，編程計算及數(shù)值仿真則體現(xiàn)出顯著優(yōu)勢。

三、梁橫向振動模態(tài)有限元計算

利用ABAQUS有限元（FEM）軟件對上述理論分析中的簡支梁、自由梁、固定梁、懸臂梁和簡支—固定梁分別進(jìn)行橫向振動模態(tài)仿真?；贒F17導(dǎo)彈進(jìn)行縮比建模，簡化為長（l）為300mm，直徑（d）為20mm的圓截面梁。材料假定為鋼材，密度7800kg/m3，彈性模量200×109Pa，泊松比0.3。采用梁單元網(wǎng)格劃分，每個單元最大線長2mm。對于固定端，約束X、Y、Z、XR、YR、ZR六個自由度；對于固定簡支端，約束X、Y、Z、XR、YR五個自由度；對于移動簡支端，約束Y、Z、XR、YR四個自由度；對于自由端，不約束自由度。其中，自由度X、Y和Z表示三個方向軸向位移，XR、YR和ZR表示繞X、Y、Z軸向轉(zhuǎn)動。各模型在線性攝動下以一定的頻率進(jìn)行振動。

五種梁前三階固有頻率數(shù)值仿真結(jié)果匯總?cè)绫?所示，發(fā)現(xiàn)該條件下FEM方法得到的固有頻率與理論計算結(jié)果較為接近，但仍存有一定誤差，最大為7.67%。由“機(jī)械振動學(xué)”理論可知，歐拉伯努利梁模型僅適用于細(xì)長梁。隨著增加有限元模型長徑比，誤差逐漸減小。當(dāng)長徑比調(diào)整至50∶1時，誤差可控制在1%以內(nèi)（表3），驗(yàn)證了梁模型的適用條件。相應(yīng)的前三階振型如圖3所示。從振型仿真結(jié)果可直觀看到與理論推導(dǎo)振動模態(tài)一致。通過有限元數(shù)值仿真的實(shí)踐，不僅可以強(qiáng)化學(xué)生對理論知識的理解，還可以鍛煉學(xué)生應(yīng)用先進(jìn)工具的能力以及分析問題、解決問題的能力。

結(jié)語

數(shù)值仿真方法能夠快速直觀獲取分析結(jié)果，是輔助理論教學(xué)的重要手段。本文基于簡支梁、懸臂梁、自由梁、固定梁、固定—簡支梁五種常見梁的橫向固有振動模態(tài)開展理論分析與ABAQUS有限元數(shù)值仿真，通過不同梁前三階固有頻率和振型的對比以及誤差分析，實(shí)現(xiàn)了理論與實(shí)踐的有機(jī)結(jié)合，有效幫助學(xué)生對抽象理論知識的理解及應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)：

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［3］鄭兆昌主編.機(jī)械振動［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社.1980.

［4］余翔，王鈺軻，李忠旭.“現(xiàn)代數(shù)值分析方法”課程教學(xué)的改革與實(shí)踐［J］.教育教學(xué)論壇，2023，20：6063.

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基金項目：河北省高等教育教學(xué)改革研究與實(shí)踐項目：基于機(jī)—材—力跨學(xué)科人才培養(yǎng)的點(diǎn)陣化科教融合探索與思政案例庫建設(shè)（2022GJJG053）；河北工業(yè)大學(xué)本科教育教學(xué)改革研究與實(shí)踐項目國際教育研究專項：本土國際化背景下專業(yè)課思政教學(xué)的探索與實(shí)踐——以《機(jī)械振動》課程為例（GJZ202202002）；河北省新工科研究與實(shí)踐項目：雙向融合新工科建設(shè)國際化人才培養(yǎng)模式與機(jī)制研究（2020JXGK004）

作者簡介：俎群（1989—），女，山東濱州人，博士，副教授，主要從事多尺度動力學(xué)數(shù)值仿真研究。