施詠香

[ 摘 要 ]21世紀，教育信息技術(shù)化是所有教育工作者所達成的共識.將幾何畫板與初中數(shù)學教學有機地融合在一起是時代發(fā)展的需要，是新課標的需求，也是實際教學的需要.文章從“探究知識形成過程，發(fā)展數(shù)學思維”“揭示圖形變化規(guī)律，感知數(shù)量關(guān)系”“動態(tài)演示數(shù)學問題，簡化問題難度”三方面具體談論如何將幾何畫板應用在數(shù)學教學中.

[ 關(guān)鍵詞 ]幾何畫板；數(shù)學思維；信息技術(shù)

從20世紀90年代起，一些經(jīng)濟、教育發(fā)達國家率先在教育教學領(lǐng)域植入信息技術(shù)手段，有效提高了課堂教學實效.近年，我國的教育信息化呈破竹之勢悄然崛起，幾何畫板的應用對提高數(shù)學教學效率有絕對的優(yōu)勢.為了讓幾何畫板更好地為數(shù)學課堂教學服務，筆者對此進行了大量的研究，取得了一定的成效.

幾何畫板應用的必要性

1.時代發(fā)展的需要

隨著時代的發(fā)展，現(xiàn)代化的信息技術(shù)已經(jīng)滲透到人類生活的各個領(lǐng)域，它為我們創(chuàng)造了通過不同的方式認識、了解與改變世界的可能.數(shù)學教育也應跟上時代的步伐.幾何畫板作為一種重要的教學輔助工具，能將抽象的數(shù)學內(nèi)容轉(zhuǎn)化成直觀可視的圖象，降低思維的起點，讓學生能更好地理解教學內(nèi)容[1].

幾何畫板的操作簡便，廣大師生能快速掌握其操作要領(lǐng).如今，不少一線教師借助幾何畫板創(chuàng)作課件，取得了非常好的成效.據(jù)此，不難看出教育的發(fā)展與社會的發(fā)展是一致的.幾何畫板的應用是時代發(fā)展的需要，也是促進學生成長的重要方式.

2.新課標的需求

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）明確提出：教師可以利用信息技術(shù)對文本、圖象、聲音、動畫等進行綜合處理，豐富教學場景，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣和探究新知的欲望.這句話不僅強調(diào)了信息技術(shù)對教學的影響，還鼓勵教師將信息技術(shù)的優(yōu)勢應用在數(shù)學課堂中，讓學生能借助先進的設(shè)備、設(shè)施提高學習效率.

新課標還強調(diào)要發(fā)揮信息技術(shù)的育人功能，要求教師處理好知識傳授與能力培養(yǎng)之間的關(guān)系，讓學生能應用先進的信息技術(shù)手段應對千變?nèi)f化的問題，形成自身的技能.幾何畫板作為數(shù)學教學的重要輔助工具之一，能滿足新課標所提出的要求，對促進教學相長具有重要價值與意義.

3.實際教學的需要

經(jīng)過一段時間的調(diào)查研究，筆者發(fā)現(xiàn)當前一些教師在實際教學中仍存在一些不足，如難以將抽象的幾何內(nèi)容呈現(xiàn)出來.對初中生而言，他們的抽象思維能力有限，空間想象力不夠，難以理解一些運動變化的關(guān)系，這就為學習帶來了困難.有些教師為了改善這種情況，將各種圖形借助課件進行展示，但這些圖并不會動，學生難以從根本上理解其本質(zhì).

教師因缺乏應用幾何畫板的習慣，導致呈現(xiàn)的圖都是“死圖”，學生難以對教學內(nèi)容形成直觀形象的認識.想要突破這一現(xiàn)象，就要利用好幾何畫板這一工具，讓學生在簡單直觀中感知數(shù)學知識的趣味性.當然，這也是從傳統(tǒng)紙筆教學上升到技術(shù)應用的重要突破.

幾何畫板輔助教學的具體措施

1.探究知識形成過程，發(fā)展數(shù)學思維

新課標著重強調(diào)數(shù)學教學要凸顯出知識的形成與發(fā)展過程，幾何畫板的應用可再現(xiàn)概念、定理等的形成，深化學生的理解程度.教學中，教師可指導學生應用幾何畫板進行動手操作，通過對一些現(xiàn)象的觀察、度量、統(tǒng)計與分析，發(fā)現(xiàn)蘊含的規(guī)律，為概念的抽象奠定基礎(chǔ).

這種教學模式打破了傳統(tǒng)“教師講授—練習訓練—測試講評”的模式，形成了“呈現(xiàn)問題—實驗操作—觀察猜想—驗證—應用”的新型探究式學習模式.這一教學模式凸顯了學生在課堂中的主體地位，每個環(huán)節(jié)都由學生自主思考、交流而完成，教師只起到引導的作用.

因此，幾何畫板的介入是促使課堂轉(zhuǎn)型的重要契機，學生在自主操作、思考中激活思維，開闊眼界，提升素養(yǎng).

案例1 “平行線分線段成比例定理”的教學.

本節(jié)課的難度較大，對學生的思維要求較高.若采用“注入式”的教學模式，則難以讓學生從根本上掌握知識本質(zhì)，而讓學生親自動手測量、觀察、計算與總結(jié)，又會耗費大量的時間與精力，這就給教學帶來了難度.研究發(fā)現(xiàn)，對于本節(jié)課，借助幾何畫板進行授課，既能避開親自動手操作所耗費時間太多的問題，又能讓學生經(jīng)歷完整的探究過程，能激發(fā)學生的研究興趣，幫助學生建構(gòu)新知，形成長時記憶.

問題 如圖1，已知l1∥l2∥l3，分別求出AB∶BC，DE∶EF.

如圖1，應用幾何畫板作出符合問題條件的圖形，拖動平行線與截線的位置，并借助測量與計算功能來觀察變化過程中數(shù)據(jù)的情況.

觀察發(fā)現(xiàn)，只要不改變平行的關(guān)系，不論截線的位置怎樣變化，待求結(jié)論的兩組比的值均恒等不變.因為是從直觀上觀察到的結(jié)論，所以學生更容易理解，記憶起來也更加牢固、深刻.

繼續(xù)操作幾何畫板，改變原圖形，使得點A，D重合在一起，發(fā)現(xiàn)以上結(jié)論依然成立；再次改變圖形，使得點B，E重合在一起，以上結(jié)論同樣成立；隱藏l1，l2，l3，發(fā)現(xiàn)以上結(jié)論還是成立的.

以上探究過程，由學生自主操作、觀察、體驗、獲得結(jié)論，雖然用時不長，收獲卻不少.顯然，幾何畫板的應用打開了幾何教學之門，讓學生通過簡便的操作就發(fā)現(xiàn)這個問題的結(jié)論與圖形的變化并沒有關(guān)系.圖形變化規(guī)律在幾何畫板的輔助下自然呈現(xiàn)，由此帶給學生愉悅的學習體驗.

蘇霍姆林斯基認為，每個人的內(nèi)心深處，都希望自己是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者與探索者，這是一種根深蒂固的需要，尤其是在兒童的內(nèi)心深處，這種需要更強烈.強烈的求知欲與趣味橫生的探究過程，不僅讓學生體驗到了數(shù)學學習的樂趣，還有效啟發(fā)了學生的思維.

2.揭示圖形變化規(guī)律，感知數(shù)量關(guān)系

在運動過程中保持給定的幾何關(guān)系是幾何畫板的重要功能，這種功能將圖形的變化規(guī)律完整地表示了出來，能讓學生從直觀可視的效果中感知圖形各個量之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系.因此，幾何畫板的應用，不僅為學生提供了別樣的視覺盛宴，更為數(shù)學教學提供了技術(shù)支持.

案例2 “三角形”的解題教學.

問題 已知△ABC與△CDE均為等邊三角形.（1）如果點B，C，D位于同一直線上，那么AD與BE的長度相等嗎？（2）將△CDE圍繞點C旋轉(zhuǎn)大于0°小于360°后，AD與BE的長度相等嗎？

對于本題，若自己作圖思考，從初中生的認知水平來說，很難一次就弄明白.而借助幾何畫板的演示功能，則能將圖動態(tài)地展示出來.學生通過對直觀化的圖形的觀察，即可發(fā)現(xiàn)結(jié)論正確與否.

幾何畫板呈現(xiàn)出的情形為：如圖2，不論將△CDE按照題設(shè)條件圍繞點C怎樣旋轉(zhuǎn)（除了點A，C，D在一條直線上這種情況），△BCE與△ACD恒為全等的關(guān)系，因此AD與BE的長度也是恒等不變的關(guān)系.

幾何畫板的介入成功地激發(fā)了學生的探索欲，讓學生在圖形的動態(tài)演示中獲得了問題的結(jié)論，并感知到幾何畫板是探索幾何圖形之間關(guān)系的重要輔助工具.

為了讓學生通過幾何畫板更好地感知幾何圖形間的數(shù)量關(guān)系，教師可在此處加以變式，以拓寬學生的思維，讓學生進一步感受知識的寬度與深度，也體驗幾何畫板對數(shù)學學習的便利.

變式 如圖3，已知△ABC與△CDE都是等腰直角三角形.

（1）若點A，C，E位于同一條直線上，那么AD與BE相等嗎？

（2）倘若將△CBE圍繞點C旋轉(zhuǎn)一定的角度，那么AD與BE相等嗎？

學生自主操作幾何畫板，很快就發(fā)現(xiàn)這個問題的條件雖然發(fā)生了變化，但與原題竟然驚人的相似.當學生作圖并按照題設(shè)條件旋轉(zhuǎn)圖形時，發(fā)現(xiàn)本題很簡單.

學生的興奮之情溢于言表，幾何畫板的應用讓原本枯燥乏味的問題變得靈動且富有生命力，活躍了課堂氣氛的同時，起到了激趣啟思的作用.

3.動態(tài)演示數(shù)學問題，簡化問題難度

一些學生覺得初中數(shù)學難，究竟難在何處呢？調(diào)查發(fā)現(xiàn)，學生所謂的難，基本都在于難以理解知識的推理過程，尤其是動態(tài)幾何中的軌跡問題成了部分學生的“死穴”.科學、合理地應用幾何畫板來作圖，可讓學生在動態(tài)演示下追蹤到圖形的軌跡，簡化復雜的圖形形成過程以及知識的推導過程，有效突破學生思維的障礙點[2].

借助幾何畫板動態(tài)演示數(shù)學問題一般有如下兩類：

第一類，應用幾何畫板展示幾何圖形的運動或變化，也就是讓學生從圖形某一元素的變化中獲得函數(shù)模型.解決這類問題的重點在于將動態(tài)的問題轉(zhuǎn)化成靜止的問題，常見的有點動、線動、面動、平移、旋轉(zhuǎn)、翻折問題等.

第二類，用動態(tài)的觀念來分析與解決幾何問題，探索幾何圖形在運動時伴隨圖形位置與數(shù)量關(guān)系“變”與“不變”的特性.這一類型包括用動態(tài)的觀念進行猜想、驗證，獲得結(jié)論的過程.

解決動態(tài)幾何問題的關(guān)鍵，在于從理論知識出發(fā)，借助幾何畫板的工具性功能，在動靜結(jié)合中發(fā)現(xiàn)解決問題的關(guān)鍵.這與分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想等有著密不可分的聯(lián)系.

案例3 “動點問題”的教學.

問題 如圖4，已知四邊形ABCD為一個菱形，其中AB = 4，∠ ABC = 60°，E為AB邊上的一個動點，如果過點B作直線EC的垂線， F為垂足，求點E從點A運動到點B時，點F的運動路徑的長度.

想要求點F的運動路徑的長度，首先要明確點F的運動軌跡，這也是學生思維的障礙點.通過紙筆畫圖，學生很難從真正意義上理解它的運動軌跡，但借助幾何畫板的動態(tài)演示功能，可將圖形的變化過程以及點F的運動軌跡直觀、完整地展示出來.

從學生認知發(fā)展的規(guī)律來看，學習者在學習開始階段只是一名參與者，而后通過對事件的觀察與分析，可抽象出事件的數(shù)學符號，從而更加有效地參與具體的教學活動.此為教育與心理的理論基礎(chǔ)，也是將幾何畫板融合到教學中的重要依據(jù).因此，幾何畫板的動態(tài)演示功能不僅能簡化問題的難度，更重要的是能促進學生認知的發(fā)展，為建構(gòu)完整的認知體系奠定基礎(chǔ).

總之，將信息技術(shù)與數(shù)學教學深度融合勢在必行，幾何畫板的各種功能與優(yōu)勢突破了傳統(tǒng)教學的靜止狀態(tài)，為課堂添加了更多靈性與智慧，為學生的學習提供了更多便利.幾何畫板的介入體現(xiàn)了數(shù)學課堂的活力與生命力，這是一種自由、開放、智慧的數(shù)學美.

參考文獻：

[1]陶維林.幾何畫板新版特色與實用技巧[M].北京：清華大學出版社，2003.

[2]劉勝利.21世紀高等教育院校教材“幾何畫板”課件制作教程（第三版）[M] .北京：科學出版社，2010.