陳玉麗

［摘 要］數(shù)學(xué)概念的掌握程度直接影響學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。在核心素養(yǎng)導(dǎo)向下，初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)要走出“說教式”的誤區(qū)，采取問題導(dǎo)學(xué)策略，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。文章以“二次根式”教學(xué)為例，探討問題導(dǎo)學(xué)法在初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的運(yùn)用策略。

［關(guān)鍵詞］數(shù)學(xué)概念；問題導(dǎo)學(xué)；二次根式

［中圖分類號(hào)］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號(hào)］? ? 1674-6058（2024）11-0008-03

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》特別強(qiáng)調(diào)促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解。數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，如何有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，是當(dāng)前初中數(shù)學(xué)教學(xué)面臨的重要問題。問題導(dǎo)學(xué)法是一種以問題為核心，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究和學(xué)習(xí)的教學(xué)方法，其在多個(gè)學(xué)科領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用。本文以“二次根式”教學(xué)為例，探討問題導(dǎo)學(xué)法在初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的運(yùn)用策略，以期為初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)提供新的思路和方法。

“二次根式”是蘇科版教材八年級(jí)下冊第12章的起始課，在本章中具有非常重要的地位，是把握本章各類題型的關(guān)鍵突破口。在此之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了與“二次根式”相關(guān)的一系列概念，如平方根、實(shí)數(shù)等。因此，在這一節(jié)課的教學(xué)中，教師運(yùn)用問題導(dǎo)學(xué)法為學(xué)生搭建思維平臺(tái)，使他們主動(dòng)參與到“二次根式”的學(xué)習(xí)過程中。

一、借助問題導(dǎo)入，引導(dǎo)溫故知新

在初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，借助問題導(dǎo)入可引導(dǎo)學(xué)生溫故知新，深化學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與應(yīng)用。因此，教師應(yīng)靈活運(yùn)用問題導(dǎo)入法，創(chuàng)設(shè)具有啟發(fā)性的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考、分析、解決問題。

在本節(jié)課中，筆者這樣設(shè)計(jì)導(dǎo)入環(huán)節(jié)：

師：上學(xué)期，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了有關(guān)“平方根”的知識(shí)，接下來老師要考一考你們，什么數(shù)的平方是[25]？[25]的平方根是多少？

生1：±[5的平方是25。]

生2： 25的平方根有兩個(gè)，一個(gè)是[5]，另一個(gè)是[-5]。

師：平方與開平方之間存在怎樣的關(guān)系？

生3：它們之間是互逆的。

師：18的平方根和算術(shù)平方根分別是多少？

生4：18的平方根[是±18]，它的算術(shù)平方根是[18。]

師：看來這一些問題都難不倒大家。那么，誰能說一說什么是平方根？

生5：可以先假設(shè)[x2=a]，則[x]就是[a]的平方根，也是二次方根。

師：現(xiàn)在式子中出現(xiàn)了一個(gè)[a]，你能否描述[a]的特征，并說明為什么。

生6：[a≥0]。在之前的規(guī)律總結(jié)中可以知道任意數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)。

師：現(xiàn)在老師又有一個(gè)新問題，正數(shù)[a]的算術(shù)平方根應(yīng)該是多少？

生7[：a]。

上述教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師所設(shè)計(jì)的問題逐級(jí)深入，目的是引導(dǎo)學(xué)生回顧、梳理舊知，為接下來的教學(xué)活動(dòng)的順利推進(jìn)奠定基礎(chǔ)，為學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)做好充分的準(zhǔn)備。

二、運(yùn)用問題導(dǎo)學(xué)，促進(jìn)概念形成

概念形成是數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié)。讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成過程，有利于加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解。問題導(dǎo)學(xué)是一種以問題為核心，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究和學(xué)習(xí)的教學(xué)模式。教師通過設(shè)置一定的問題情境，引發(fā)學(xué)生思考和探究。將問題導(dǎo)學(xué)應(yīng)用于初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)，可以有效引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。

在本課的第二個(gè)環(huán)節(jié)中，筆者通過問題導(dǎo)學(xué)法引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷二次根式概念的探究過程。

1.提出導(dǎo)學(xué)問題

問題1：一個(gè)正方形的面積為4，它的邊長是多少？如果要用帶根號(hào)的式子進(jìn)行表示，你認(rèn)為應(yīng)該怎么表示？假如正方形的面積為[S]，邊長又應(yīng)該怎樣表示？

問題2：一個(gè)長方形的面積為10，已知長為寬的2倍，如何求解長與寬？請嘗試使用帶根號(hào)的式子進(jìn)行解答。

問題3：已知小球的初速度為零，它從距離地面為[h]的高度自由下落，經(jīng)歷時(shí)間[t]后到達(dá)地面。根據(jù)已知條件可以得出[h]關(guān)于[t]的數(shù)學(xué)表達(dá)式為[h=5t2]。應(yīng)該如何表達(dá)[t]關(guān)于[h]的數(shù)學(xué)表達(dá)式？當(dāng)[h]分別為0，20，40，55時(shí)，[t]分別是多少？同樣使用帶根號(hào)的式子進(jìn)行解答。

2.引導(dǎo)學(xué)生探究

將學(xué)生分成小組，每個(gè)小組4～5人，每組選擇兩個(gè)問題進(jìn)行合作探究，小組成員進(jìn)行討論和協(xié)作，共同完成探究任務(wù)。教師巡視指導(dǎo)，提供必要的幫助。

3.組織反饋交流

師：哪一組同學(xué)來匯報(bào)問題1的探究結(jié)果？

生1：一個(gè)正方形的面積為4，它的邊長為2，也就是[4]。一個(gè)正方形的面積為S，它的邊長為[S]。

師：你們又是如何解答問題2的呢？

生2：可以先設(shè)長方形的寬為[x]，由此可知長方形的長為[2x]，[S長=2x2=10]，進(jìn)而解得[x2=5]，若使用帶根號(hào)的式子進(jìn)行解答，則長為2[5]，寬為[5]。

師：問題3有一定的難度，哪一組同學(xué)已經(jīng)解出來了？請派代表說一說。

生3：想要求解[t]關(guān)于[h]的數(shù)學(xué)表達(dá)式，可以根據(jù)已知條件將[h]與[t]的位置互換，由此可以得出[t=h5]。當(dāng)[h]分別為0，20，40，55時(shí)，[t]分別為0，[4]，[8]，[11]。

上述教學(xué)環(huán)節(jié)中，借助問題導(dǎo)學(xué)的目的就是引導(dǎo)學(xué)生對二次根式進(jìn)行自主探究，促使他們嘗試使用帶根號(hào)的式子進(jìn)行解答，使他們能夠深刻體會(huì)一般形式的數(shù)字和帶根號(hào)的數(shù)字之間的聯(lián)系，為接下來的深入學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。同時(shí)，以問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)，能夠更好地調(diào)動(dòng)學(xué)生參與學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)生養(yǎng)成良好的獨(dú)立思考習(xí)慣。

三、創(chuàng)設(shè)探究平臺(tái)，探究概念性質(zhì)

在初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師可借助問題鏈為學(xué)生創(chuàng)設(shè)探究平臺(tái)，使學(xué)生在問題層層深入的引導(dǎo)下，不斷激發(fā)求知欲望，產(chǎn)生創(chuàng)新研究的意識(shí)，從而發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

二次根式是一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式，其中包含一個(gè)被開方數(shù)和一個(gè)根號(hào)符號(hào)。二次根式具有一些重要的性質(zhì)，這些性質(zhì)對于幾何學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、物理學(xué)等領(lǐng)域都有著重要的應(yīng)用價(jià)值。

在這一節(jié)課中，筆者這樣引導(dǎo)學(xué)生探究二次根式的性質(zhì)：

師：通過前面的學(xué)習(xí)，你現(xiàn)在能說一說[2]的具體意義嗎？

生1：[2]可以看成是2的算術(shù)平方根。

師：現(xiàn)在有這樣一個(gè)表達(dá)式（[2]）2，你認(rèn)為應(yīng)該如何計(jì)算？

生2：在計(jì)算這個(gè)表達(dá)式時(shí)可以對比算術(shù)平方根的意義，我認(rèn)為[（2）2=2]。

師：請大家繼續(xù)計(jì)算（[4]）2，（[9]）2，（[0.01]）2，（[30]）2。

（學(xué)生很快就給出了具體的答案，教師進(jìn)行相應(yīng)評價(jià)。）

師：那么，你能否嘗試列舉具有相同特征的其他式子？

（學(xué)生在小組內(nèi)舉例驗(yàn)證并交流。）

師：在這些式子中，又存在怎樣的規(guī)律？能不能用字母進(jìn)行表示？

生3：我認(rèn)為可以用[（a）2=a]來表示。

生4：我覺得不對，這里的[a是]有取值范圍的。

師： [a的]取值范圍是多少呢？

生4：不能是負(fù)數(shù)。

師：那么應(yīng)該怎樣對這個(gè)式子進(jìn)行完善呢？

生5：當(dāng)[a≥0]時(shí)，[（a）2=a]。

師（板書）：這一式子得以成立的算理是什么？

生6：通過求解算術(shù)平方根，我們可以發(fā)現(xiàn)它與平方運(yùn)算是互逆的，而且平方結(jié)果都是非負(fù)數(shù)，所以[a]必然是非負(fù)數(shù)。

本教學(xué)環(huán)節(jié)是以上一教學(xué)環(huán)節(jié)的概念習(xí)得為基礎(chǔ)，要求學(xué)生完成觀察、舉例，并自主猜想二次根式的性質(zhì)，然后進(jìn)行科學(xué)說理，形成深刻理解。為使學(xué)生深刻理解二次根式的性質(zhì)，為學(xué)生打開二次根式的性質(zhì)的探究之旅，教師不斷追問，引導(dǎo)學(xué)生基于定義推導(dǎo)出重要性質(zhì)。在這個(gè)過程中，學(xué)生經(jīng)歷了由特殊到一般的探究過程，自主推導(dǎo)出了二次根式的性質(zhì)，對二次根式有了更加深刻的理解。

四、進(jìn)行適度拓展，促進(jìn)概念內(nèi)化

在初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，幫助學(xué)生深入理解和內(nèi)化數(shù)學(xué)概念是教師的重要任務(wù)。然而，由于初中生的認(rèn)知水平有限和思維能力尚不成熟，要實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)概念的深入理解和內(nèi)化并不容易。因此，教師可以進(jìn)行適度拓展，以促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的內(nèi)化。

教學(xué)中，筆者給學(xué)生呈現(xiàn)以下題目：給定兩個(gè)二次根式 [a]和[b]，其中[a]和[b]均為整數(shù)，求[a+b]的值。讓學(xué)生先獨(dú)立思考，然后在小組內(nèi)交流。對于這一道題，學(xué)生要根據(jù)已有的知識(shí)進(jìn)行分類討論：（1）如果[a]和[b]均為完全平方數(shù)，即[a=m2]，[b=n2]，其中[m]和[n]均為整數(shù)，那么 [a+b=m+n]。（2）如果[a]和[b]中只有一個(gè)為完全平方數(shù)，假設(shè)[a=m2]，其中[m]為整數(shù)，而[b]不是完全平方數(shù)，那么[ a+b=m+b]。（3）如果[a]和[b]都不是完全平方數(shù)，則可以使用數(shù)值逼近的方法來求 [a+b]的值。對于第三種情況，可以引入牛頓迭代法的相關(guān)內(nèi)容，以此拓寬學(xué)生的學(xué)習(xí)視野，為他們的后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

適度拓展是促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念進(jìn)行內(nèi)化的有效方法。通過提供多樣化的教學(xué)材料，采用啟發(fā)式教學(xué)方法，對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行適度深化和拓展，可以幫助學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)學(xué)概念，提高他們的思維能力和解決問題能力。因此，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行適度拓展，以促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的內(nèi)化。

五、設(shè)計(jì)層次性練習(xí)，引導(dǎo)方法遷移

在初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中設(shè)計(jì)層次性練習(xí)，有助于學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)概念，提高他們的理解能力和思維能力。教師可以設(shè)計(jì)不同類型的練習(xí)，有效引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決問題，提高他們的解決問題能力。在這過程中，教師可以采取及時(shí)反饋、多樣化教學(xué)和強(qiáng)化實(shí)踐等方法，有效設(shè)計(jì)層次性練習(xí)，提高練習(xí)質(zhì)量。

1.基礎(chǔ)性練習(xí)

求使下列二次根式有意義的未知數(shù)[x]的取值范圍。

[x2-3x+4]? ?[3y-1+1-3y]

[x+4x-4] [y-10=1]

2.變式性練習(xí)

（1）已知[x-5+y+9]=0，[yx]的值是多少？

（2）已知[2x+1+3x-2y+（x+y+z）2=0]， [x、y、z]的值分別是多少？

3.提高性練習(xí)

已知[a]滿足[2003-a+a-2003=a]，求[a-2003]2的值。

上述練習(xí)的思維含量豐富，三道練習(xí)題的設(shè)計(jì)關(guān)注了三個(gè)不同的視角：（1）使二次根式有意義的前提是什么？其中涉及哪些重要知識(shí)點(diǎn)？（2）當(dāng)多個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零時(shí)，如何確定其取值？（3）如何深挖二次根式的隱含條件，進(jìn)而計(jì)算出正確的結(jié)果？

總之，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)思維的生長點(diǎn)。問題導(dǎo)學(xué)法在“二次根式”教學(xué)中具有重要的作用，通過問題的引導(dǎo)，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和好奇心，提高學(xué)生解決問題的能力。在核心素養(yǎng)導(dǎo)向下，教師要多樣化設(shè)計(jì)概念教學(xué)，為學(xué)生搭建良好的思維平臺(tái)，促使學(xué)生自主思考、挖掘潛能、發(fā)展思維。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?］

［1］? 馬霞.初中數(shù)學(xué)課堂中問題導(dǎo)學(xué)法的運(yùn)用策略［J］.中學(xué)課程輔導(dǎo)，2023（21）：39-41.

［2］? 黃福君.淺談問題導(dǎo)學(xué)法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用［J］.試題與研究，2023（12）：69-71.

［3］? 吳婷.問題導(dǎo)學(xué)視角下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)方法探究［J］.教師，2023（6）：30-32.

［4］? 陳東欣.巧設(shè)問題，創(chuàng)建活力四射的初中數(shù)學(xué)課堂［J］.亞太教育，2022（9）：136-138.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）