周康

[摘要]章起始課具有統(tǒng)領(lǐng)整個(gè)章節(jié)、搭建知識(shí)架構(gòu)、發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)等重要作用．研究者以“圓錐曲線”的章起始課為例，從“創(chuàng)設(shè)情境，揭露現(xiàn)實(shí)意義”“材料分析，了解主要內(nèi)容”“探究定義，感知基本方法”“歸納總結(jié)，勾勒知識(shí)脈絡(luò)”“拓展延伸，開闊認(rèn)知空間”等方面展開教學(xué)設(shè)計(jì)與分析．與同行交流．

[關(guān)鍵詞]章起始課；核心素養(yǎng)；圓錐曲線

數(shù)學(xué)教材第一單元的第一課時(shí)基本上都與數(shù)學(xué)分支初始概念相關(guān)，不少教師因?yàn)檫@部分內(nèi)容相對(duì)簡單，且在高考試題中鮮少出現(xiàn)，因此課堂中常以“快進(jìn)”的模式處置．這種“重解題，輕結(jié)構(gòu)”的行為．導(dǎo)致學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解為碎片狀．難以建立完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，事實(shí)上．章起始課是溝通本章節(jié)知識(shí)的紐帶．是建構(gòu)完整知識(shí)體系、完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)．

教學(xué)簡錄

1．創(chuàng)設(shè)情境．揭露現(xiàn)實(shí)意義

多媒體播放我國自主研發(fā)的月球探測器嫦娥五號(hào)發(fā)射過程．讓學(xué)生從直觀中感知嫦娥五號(hào)的升空過程與應(yīng)用裝置.

設(shè)計(jì)意圖氣勢恢宏的嫦娥五號(hào)順利拉開了新章節(jié)的序幕，學(xué)生在這個(gè)充滿科技感的視頻中燃起了探究熱情與愛國情懷．為接下來研究圓錐曲線奠定了基礎(chǔ)．

2．材料分析，了解主要內(nèi)容

（1）問題導(dǎo)讀，名稱追溯.

要求學(xué)生自主閱讀教材的章引言．并思考如下問題．

問題1哪幾種曲線屬于圓錐曲線？圓錐曲線和圓錐有什么聯(lián)系？怎樣改變平面和圓錐軸線的夾角來獲得圓錐曲線？

如圖1所示．為了增強(qiáng)學(xué)生的理解，教師借助多媒體用動(dòng)畫的方式展示“當(dāng)平面和圓錐軸線的夾角α發(fā)生改變（截面不過定點(diǎn)）時(shí)，截口曲線是如何變化的”．

當(dāng)學(xué)生順利解決以上問題后．教師向?qū)W生介紹公元前200年左右，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（Apollo-nius）是如何借助幾何法系統(tǒng)研究圓錐曲線的.

設(shè)計(jì)意圖以問題導(dǎo)讀的方式引發(fā)學(xué)生理解什么是圓錐曲線．動(dòng)畫演示與史料滲透．意在深化學(xué)生對(duì)圓錐曲線由來的認(rèn)識(shí)．為后續(xù)深入探究奠定基礎(chǔ)．

（2）實(shí)例應(yīng)用，揭露性質(zhì).

問題2請(qǐng)列舉圓錐曲線可應(yīng)用在哪些方面？

圓錐曲線不僅廣泛應(yīng)用在人類生活與生產(chǎn)中．還應(yīng)用在科技研究中．在學(xué)生列舉的基礎(chǔ)上．教師分別介紹彗星、行星與人造天體在運(yùn)動(dòng)過程中所形成的軌跡，讓學(xué)生感知三者圍繞太陽運(yùn)動(dòng)所形成的軌跡各不一樣，揭露橢圓、雙曲線、拋物線等圓錐曲線的特性，由此引入著名的“開普勒三大定律”，以豐富學(xué)生的認(rèn)知體系.

此例成功驅(qū)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力．讓學(xué)生對(duì)圓錐曲線產(chǎn)生了研究興趣．此時(shí)教師趁熱打鐵．分別展示探照燈、橄欖球等生活物品，讓學(xué)生再次感知生活中無處不在的橢圓、拋物線等．

設(shè)計(jì)意圖從科研、生活、生產(chǎn)等出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生了解“為什么要學(xué)習(xí)圓錐曲線”“學(xué)的內(nèi)容是什么”，使學(xué)生從這些素材中初步感知圓錐曲線的特性與學(xué)習(xí)價(jià)值．以及更直觀地體會(huì)圓錐曲線的現(xiàn)實(shí)意義．對(duì)主要內(nèi)容形成大概印象．

3．探究定義，感知基本方法

受傳統(tǒng)教學(xué)理念與應(yīng)試教育的影響．當(dāng)下仍有些教師存在“考試至上”的心理．殊不知．這種理念會(huì)令課堂喪失生命力．學(xué)生會(huì)因?yàn)檎n堂過于枯燥而喪失學(xué)習(xí)興趣．長期的被動(dòng)學(xué)習(xí)會(huì)嚴(yán)重消減學(xué)生的學(xué)習(xí)效率．研究表明，在課堂上增加探究活動(dòng)，借助問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生的探究行為．不僅能增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)．還能讓課堂充滿智慧．師生則在富有生命力的課堂中實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長．

（1）探究類比，提煉定義．

探究1若一根繩子上拴一支鉛筆，將繩子的一端固定住，另一端的鉛筆最大邊界是什么形狀？

探究2如果將一根繩子的兩端固定住（固定點(diǎn)的距離小于繩長）．在繩子上套一個(gè)環(huán)．將鉛筆拴在這個(gè)環(huán)上．在這種背景下鉛筆活動(dòng)的最大邊界是什么形狀？

要求學(xué)生以小組合作學(xué)習(xí)的模式進(jìn)行操作探究．學(xué)生在互相配合的基礎(chǔ)上獲得相應(yīng)的結(jié)論．

問題3說說這兩個(gè)探究活動(dòng)的區(qū)別在哪兒？通過探究活動(dòng)的開展，嘗試總結(jié)橢圓的扁平程度與什么有關(guān)系？

問題4若探究2中固定兩根繩子的兩點(diǎn)距離大于或等于繩長．可畫出什么圖形？

設(shè)計(jì)意圖問題引領(lǐng)互動(dòng)．學(xué)生在豐富的探究活動(dòng)中進(jìn)一步深化對(duì)橢圓定義、繪制要領(lǐng)以及扁平程度的理解，初步感知探索橢圓的基本方法，為接下來的驗(yàn)證與應(yīng)用夯實(shí)基礎(chǔ)．

（2）雙球探究，驗(yàn)證定義．

探究3如圖2所示，在圓柱內(nèi)放兩個(gè)球．兩個(gè)球與圓柱側(cè)面均相切．借助多媒體的動(dòng)畫功能展示一個(gè)斜截圓柱的平面在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持橢圓的形狀.

在動(dòng)畫演示過程中．教師引導(dǎo)學(xué)生一起探索證明方法，并鼓勵(lì)學(xué)生基于合作交流展示結(jié)論，派一名代表到講臺(tái)上詳細(xì)介紹證明過程．順利完成以上環(huán)節(jié)之后．教師向?qū)W生滲透相應(yīng)的數(shù)學(xué)文化．詳細(xì)介紹此為數(shù)學(xué)家丹德林（Dandelin）的雙球證明法．（其實(shí)，丹德林還借助單球明確了截口曲線為拋物線的事實(shí)．若學(xué)生對(duì)此感興趣，則鼓勵(lì)學(xué)生課后查閱資料進(jìn)行了解．）

設(shè)計(jì)意圖這是一個(gè)驗(yàn)證定義的過程．通過數(shù)學(xué)家的研究方法的展示．成功啟發(fā)了學(xué)生的思維．使學(xué)生對(duì)橢圓產(chǎn)生了探索興趣．感知一個(gè)定義的形成是多么有趣．同時(shí)又遵循了數(shù)學(xué)獨(dú)有的嚴(yán)謹(jǐn)性與科學(xué)性，在探索中，學(xué)生的自主講解可進(jìn)一步鞏固對(duì)橢圓定義的認(rèn)識(shí)．不僅認(rèn)識(shí)到橢圓的來龍去脈，還能發(fā)展科學(xué)精神．感知每一個(gè)數(shù)學(xué)定義的背后都有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼撟C過程．

（3）方程推導(dǎo)，方法探索．

引導(dǎo)學(xué)生深入探索圓錐曲線方程的推導(dǎo)過程．可拔高學(xué)生的思維．讓學(xué)生進(jìn)入深度學(xué)習(xí)的狀態(tài)．由此提升實(shí)踐技能與創(chuàng)新意識(shí)，此處．側(cè)重圓錐曲線方程的推導(dǎo)方法的探索．引發(fā)學(xué)生自主探究與合作交流，充分凸顯學(xué)生是課堂真正的主人．學(xué)生主動(dòng)執(zhí)行教學(xué)任務(wù)．完成探究過程．不僅能完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)．還能有效提升核心素養(yǎng).

問題5圓的方程的推導(dǎo)是大家熟悉的過程．如果與之進(jìn)行類比．該怎樣借助坐標(biāo)系為圓錐曲線構(gòu)建方程呢？

設(shè)計(jì)意圖類比思想作為重要的數(shù)學(xué)思想之一，它幫助學(xué)生從已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)出發(fā)．通過知識(shí)或方法的遷移來探索新知，因此．類比思想的應(yīng)用屬于一個(gè)“從已知出發(fā)．探索新知”的過程．圓的方程的探索是學(xué)生熟悉的過程，以此為出發(fā)點(diǎn)．通過遷移法的應(yīng)用，學(xué)生能基于新舊知識(shí)的異同點(diǎn)發(fā)現(xiàn)端倪．為構(gòu)建橢圓的方程奠定基礎(chǔ)．

操作活動(dòng)：準(zhǔn)備圖釘、40厘米長的繩子、紙、筆等工具，為學(xué)生設(shè)定好圖釘之間為20厘米的距離．讓學(xué)生按照要求畫橢圓，邊畫邊思考．并與圓的方程的探索過程進(jìn)行類比，在合作探索的模式下推導(dǎo)橢圓的方程.

學(xué)生自主選建的平面直角坐標(biāo)系有兩類：①以兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2所在的直線作為橫軸，以線段F1，F(xiàn)2的中垂線作為縱軸；②以兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2所在的直線作為橫軸，以點(diǎn)F作為原點(diǎn).

展示：選擇典型的建系方式進(jìn)行投影展示，要求學(xué)生講解建系方法、列式、化簡等，類比不同方程的優(yōu)劣，引發(fā)學(xué)生反思．另外，要求學(xué)生分析和思考：若將以上探索過程中的具體數(shù)據(jù)更換成2a．2c．那么橢圓的方程是什么？

探索發(fā)現(xiàn)：橢圓的一般方程為特殊的二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0（*）．

設(shè)計(jì)意圖緊扣不同的建系方式，促使學(xué)生自主提煉數(shù)形結(jié)合思想，并讓學(xué)生在拓展延伸中進(jìn)行推測．在比較中進(jìn)行辨析，為形成辯證思維奠定基礎(chǔ).

問題6類比之前研究函數(shù)的過程，橢圓的方程同樣滿足（*）式，那么（*）式是否具備代表圓錐曲線方程的功效呢？

在這個(gè)問題的驅(qū)動(dòng)下．學(xué)生很快就想到用列舉法來分析，即借助“反比例函數(shù)”與“二次函數(shù)”來探索．具體方法為：xy-1=0是反比例函數(shù)y=1/x所對(duì)應(yīng)的方程；ax2+bx+c-y=0（a≠0）是二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）所對(duì)應(yīng)的方程．坐標(biāo)系的平移或旋轉(zhuǎn)（可用多媒體演示）可將它們變成標(biāo)準(zhǔn)方程，據(jù)此，推測出（*）式的系數(shù)在滿足特定關(guān)系時(shí)．可用來表示相應(yīng)的圓錐曲線，因此圓錐曲線又被稱為二次曲線．

設(shè)計(jì)意圖結(jié)合建構(gòu)主義理論．由舊知引發(fā)新知．讓學(xué)生從真正意義上明確“如何學(xué)”．圓錐曲線從“形”與“數(shù)”兩方面的展示．為形成統(tǒng)一定義奠定了基礎(chǔ)．

4．歸納總結(jié)，勾勒知識(shí)脈絡(luò)

問題7本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？用了什么數(shù)學(xué)思想和方法？請(qǐng)用導(dǎo)圖表示．

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生用語言與圖示等總結(jié)課堂所學(xué)，提煉出相應(yīng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)（見圖3），對(duì)本章節(jié)的知識(shí)體系有了初步認(rèn)識(shí)．

5．拓展延伸，開闊認(rèn)知空間

（1）若一個(gè)三角形的一條邊為6，周長為16，則這條已知邊所對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的曲線是怎樣的？要求學(xué)生基于平面直角坐標(biāo)系探索待求的曲線方程．

（2）查閱丹德林研究不同截口曲線的資料．探尋最簡方法．

設(shè)計(jì)意圖拓展問題的設(shè)計(jì)．意在開闊學(xué)生的思維．進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的探索欲，尤其是思考題的設(shè)計(jì)，彰顯了課堂的前后呼應(yīng)．為后續(xù)教學(xué)埋下了伏筆．

幾點(diǎn)思考

1．多種手段．豐富教學(xué)模式

章起始課具有統(tǒng)領(lǐng)整個(gè)章節(jié)的作用．因此教師不能將目光只聚焦于本節(jié)課核心知識(shí)的探索上．還應(yīng)從整體視角帶領(lǐng)學(xué)生通過多種方式感知單元知識(shí)結(jié)構(gòu)．為初步形成良好的探究方法奠定基礎(chǔ)．如本節(jié)課就應(yīng)用了合作交流、自主查閱資料、實(shí)踐操作等方式，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生在展示中充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的“探究性”特征．

嫦娥奔月、畫橢圓、數(shù)學(xué)史的滲透等．促使學(xué)生對(duì)圓錐曲線的來龍去脈有了深刻理解．讓章起始課實(shí)現(xiàn)了“起—啟”的變化，整個(gè)課堂緊緊圍繞“什么是圓錐曲線”“為什么要學(xué)圓錐曲線”“如何學(xué)”等問題而定位，在多種手段的并用下有效完成了教學(xué)任務(wù)．

2．實(shí)驗(yàn)探究，尊重?cái)?shù)學(xué)事實(shí)

數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科．從具體情境與實(shí)操活動(dòng)中抽象圓錐曲線的定義是尊重?cái)?shù)學(xué)事實(shí)的體現(xiàn)，雖然學(xué)生在日常生活中對(duì)橢圓的形狀已經(jīng)有了一定的感知．但對(duì)橢圓所滿足的幾何與代數(shù)特征并不了解，因此，教師借助丹德林的雙球模型展開教學(xué)．讓學(xué)生對(duì)橢圓的認(rèn)識(shí)由感性上升到理性．

3．以生為本．核心素養(yǎng)為綱

新課標(biāo)再三強(qiáng)調(diào)學(xué)生是課堂的主人，章起始課亦不例外．本節(jié)課的每個(gè)環(huán)節(jié)都將學(xué)生的自主思考、合作交流、操作實(shí)踐放在首位，教師只是起到組織與引導(dǎo)的作用，尤其是數(shù)學(xué)史的滲透．對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)文化具有重要意義．這是“以生為本”理念的體現(xiàn)，也是將核心素養(yǎng)作為教學(xué)綱領(lǐng)的表現(xiàn)．對(duì)發(fā)展學(xué)生的關(guān)鍵能力具有重要價(jià)值與意義．

總之．關(guān)注章起始課教學(xué)．可從鏈接章節(jié)素材、活化知識(shí)結(jié)構(gòu)、有機(jī)滲透數(shù)學(xué)文化等方面著手．實(shí)踐證明．章起始課是章節(jié)教學(xué)的“指南針”，對(duì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)具有重要意義．