陸莉婷

[摘要]良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是掌握學(xué)習(xí)方法、提高教學(xué)效率的基礎(chǔ)．研究者從數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)與CPFS結(jié)構(gòu)的概念與聯(lián)系出發(fā)，分別從以下四個(gè)方面例談教學(xué)設(shè)計(jì)與思考：思維導(dǎo)圖提煉CPFS結(jié)構(gòu)；激發(fā)式教學(xué)發(fā)展CPFS結(jié)構(gòu)；問(wèn)題鏈推進(jìn)CPFS結(jié)構(gòu)；多變式設(shè)計(jì)完善CPFS結(jié)構(gòu)．

[關(guān)鍵詞]CPFS結(jié)構(gòu)；認(rèn)知結(jié)構(gòu)；核心素養(yǎng)

隨著新課改的推進(jìn)．基礎(chǔ)教育飛速發(fā)展，各種新的教育理念也陸續(xù)進(jìn)入大家的視野．如今的數(shù)學(xué)教育更關(guān)注學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，在影響核心素養(yǎng)發(fā)展的諸多因素中，認(rèn)知結(jié)構(gòu)起著關(guān)鍵性的作用．為此筆者對(duì)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展進(jìn)行了大量研究，發(fā)現(xiàn)從CPFS結(jié)構(gòu)著手設(shè)計(jì)教學(xué)對(duì)促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展具有重要意義.

核心概念

1．認(rèn)知結(jié)構(gòu)

認(rèn)知結(jié)構(gòu)是指學(xué)生腦海中的知識(shí)結(jié)構(gòu)，如對(duì)知識(shí)理解的深度、寬度、感知覺(jué)、思維等均屬于認(rèn)知結(jié)構(gòu)的范疇．學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是探索新知的源泉．

認(rèn)知結(jié)構(gòu)的特性有：①能動(dòng)性，認(rèn)知結(jié)構(gòu)與知識(shí)結(jié)構(gòu)有著質(zhì)的區(qū)別，知識(shí)結(jié)構(gòu)是客觀存在的內(nèi)容，不受主觀因素影響．而認(rèn)知結(jié)構(gòu)卻是學(xué)習(xí)者經(jīng)過(guò)主觀改造后形成的知識(shí)結(jié)構(gòu)．屬于心理與知識(shí)融合的產(chǎn)物．具有高度的主觀能動(dòng)性．②整體性．認(rèn)知結(jié)構(gòu)是學(xué)習(xí)者將所學(xué)內(nèi)容有機(jī)地整合在一起構(gòu)建而來(lái)的．新知學(xué)習(xí)就是完善原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程；③發(fā)展性．心理學(xué)家認(rèn)為人的認(rèn)知需要經(jīng)歷同化、順應(yīng)與平衡三個(gè)階段，隨著認(rèn)知水平的不斷改造、重組與深化，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到有效發(fā)展．

2．CPFS結(jié)構(gòu)

CPFS結(jié)構(gòu)由概念域、概念系、命題域、命題系所組成，其作用主要是揭露概念與命題之間的聯(lián)系．CPFS結(jié)構(gòu)對(duì)學(xué)習(xí)產(chǎn)生的影響主要有：①促進(jìn)理解．學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中不斷發(fā)展與整合CPFS結(jié)構(gòu)，對(duì)問(wèn)題的理解就逐漸加深．大腦中所構(gòu)建的知識(shí)體系也愈發(fā)完善．②整體把握知識(shí)結(jié)構(gòu)，隨著CPFS結(jié)構(gòu)的不斷完善，學(xué)生可從邏輯上重新認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念與命題等．實(shí)現(xiàn)新舊知識(shí)的有機(jī)融合，基于“再發(fā)現(xiàn)”與“再認(rèn)識(shí)”完善認(rèn)知結(jié)構(gòu).

3．CPFS結(jié)構(gòu)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)的聯(lián)系

CPFS結(jié)構(gòu)可代表大多數(shù)數(shù)學(xué)知識(shí)體系．幫助學(xué)生更好地理解與掌握新知．促進(jìn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)完善．在實(shí)際教學(xué)中．教師可有意識(shí)地發(fā)展學(xué)生的CPFS結(jié)構(gòu)，提升學(xué)生自主構(gòu)建知識(shí)的能力．鑒于數(shù)學(xué)的邏輯性較強(qiáng)．想要從真正意義上掌握其本質(zhì)須對(duì)知識(shí)做到融會(huì)貫通．CPFS結(jié)構(gòu)就是一種邏輯清晰、節(jié)點(diǎn)明確、聯(lián)系緊密的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，便于學(xué)生理解、記憶與提取信息．因此．關(guān)注CPFS結(jié)構(gòu)的發(fā)展對(duì)完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)具有重要意義.

基于CPFS結(jié)構(gòu)的教學(xué)設(shè)計(jì)

實(shí)踐發(fā)現(xiàn)．在數(shù)學(xué)課堂中優(yōu)化與完善學(xué)生的CPFS結(jié)構(gòu)可從思維導(dǎo)圖、激發(fā)式教學(xué)、問(wèn)題鏈與多變式設(shè)計(jì)等方面著手．讓學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)沿著“點(diǎn)一線一面一體”發(fā)展．實(shí)現(xiàn)思維的網(wǎng)格化與立體化．

1．思維導(dǎo)圖提煉CPFS結(jié)構(gòu)

思維導(dǎo)圖是一種以圖象與文字共同組成的記憶鏈工具，在如今的學(xué)科教學(xué)中應(yīng)用得較多．它不僅能激活左腦中關(guān)于文字、數(shù)字與邏輯的內(nèi)容．還能激活右腦中關(guān)于空間、線條與圖象的內(nèi)容．雙側(cè)大腦同時(shí)工作，更利于認(rèn)知結(jié)構(gòu)的構(gòu)建．在教學(xué)中，教師有意識(shí)地引導(dǎo)并鼓勵(lì)學(xué)生借助思維導(dǎo)圖認(rèn)識(shí)教學(xué)內(nèi)容．可進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解程度．幫助學(xué)生更好地把握新知．

案例1“函數(shù)的單調(diào)性”的教學(xué).

函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題．可從它的概念與題型出發(fā)．借助思維導(dǎo)圖將其中各個(gè)節(jié)點(diǎn)內(nèi)容提煉出來(lái)，形成直觀可視的圖形，便于長(zhǎng)久記憶，為靈活應(yīng)用夯實(shí)基礎(chǔ)．思維導(dǎo)圖的應(yīng)用可以進(jìn)一步完善了學(xué)生的元認(rèn)知結(jié)構(gòu)．讓學(xué)生對(duì)命題間的CPFS結(jié)構(gòu)有更加清晰的了解（見(jiàn)圖1）.

2．激發(fā)式教學(xué)發(fā)展CPFS結(jié)構(gòu)

激發(fā)式教學(xué)是指從學(xué)生的興趣點(diǎn)出發(fā)，結(jié)合學(xué)生的思維與意愿來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)．?dāng)?shù)學(xué)本就源于生活．生活中的很多現(xiàn)象都可以用數(shù)學(xué)來(lái)揭示．如銀行貸款、分割田地、氣溫變化趨勢(shì)等問(wèn)題．將這些豐富的生活問(wèn)題應(yīng)用到課堂中．一方面可以激發(fā)學(xué)生的探索欲．另一方面可以提高學(xué)生的生活能力．幫助學(xué)生更好地內(nèi)化新知．

案例2“數(shù)列”的教學(xué).

為了便于學(xué)生更好地理解數(shù)列現(xiàn)象，教師可借助數(shù)學(xué)史上著名的“兔子問(wèn)題”來(lái)激發(fā)學(xué)生的探索欲：一般情況下．兔子生長(zhǎng)2個(gè)月就具備繁殖能力，假定1對(duì)成熟的兔子每月能生1對(duì)小兔子（一雄一雌，且均成活），由1對(duì)新出生的兔子開(kāi)始，求1年后一共有多少對(duì)兔子，過(guò)第1個(gè)月，兔子還沒(méi)有繁殖能力，因此兔子仍是1對(duì)；過(guò)第2個(gè)月，開(kāi)始第1次繁殖，此時(shí)共有2對(duì)兔子；過(guò)第3個(gè)月，第1對(duì)兔子又生下1對(duì)小兔子．但第2對(duì)兔子還沒(méi)有繁殖能力，此時(shí)共有3對(duì)兔子．以此類推．具體情況見(jiàn)表1．

觀察表1呈現(xiàn)的數(shù)據(jù)．發(fā)現(xiàn)兔子的總對(duì)數(shù)1，1，2，3，5，…是一個(gè)特征明顯的數(shù)列．即任意前兩項(xiàng)相鄰數(shù)字的和都等于后面一項(xiàng)，這是一組有趣的數(shù)據(jù)．在生活實(shí)際中遇到的概率是怎樣的呢？有沒(méi)有什么方法可以用來(lái)描述這組數(shù)據(jù)呢？這兩個(gè)問(wèn)題成功激發(fā)了學(xué)生的探索內(nèi)驅(qū)力．學(xué)生對(duì)此充滿了研究興趣．

為了讓學(xué)生更寬泛地理解數(shù)列，還可以借助我國(guó)數(shù)學(xué)史上的經(jīng)典名言“一尺之棰．日取其半．萬(wàn)世不竭”．此言源于生活．通俗易懂．卻蘊(yùn)含著深刻的數(shù)學(xué)極限思想，“一尺之棰，日取其半”構(gòu)成了無(wú)窮遞縮的等比數(shù)列．假設(shè)木棰的長(zhǎng)度Z為1．那么從第一天開(kāi)始往后．其長(zhǎng)度排列在一起形成了一個(gè)無(wú)窮數(shù)列：1／2，1／4，1／8，…，1／2n（n為正整數(shù)）．

上述兩個(gè)案例都應(yīng)用學(xué)生感興趣的素材作為教學(xué)起點(diǎn)，一方面為學(xué)生自主構(gòu)建CPFS結(jié)構(gòu)奠定基礎(chǔ)，另一方面起到滲透數(shù)學(xué)文化的作用，學(xué)生通過(guò)這兩個(gè)素材的探索與研究，能有效促進(jìn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成與發(fā)展．為核心素養(yǎng)的形成夯實(shí)了基礎(chǔ)．

3．問(wèn)題鏈推進(jìn)CPFS結(jié)構(gòu)

眾所周知，問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)則為不斷提出問(wèn)題與解決問(wèn)題的過(guò)程．縱觀整個(gè)數(shù)學(xué)史的發(fā)展．每一次“質(zhì)”的飛躍都是因?yàn)榻鉀Q了一個(gè)或一類新問(wèn)題．由此可以看出．問(wèn)題始終是激發(fā)創(chuàng)造、推動(dòng)學(xué)科發(fā)展的原動(dòng)力．如無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)．就源于打破了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派所提出的“宇宙間所有現(xiàn)象均為有理數(shù)”的結(jié)論．無(wú)理數(shù)的提出不僅擴(kuò)充了數(shù)系．推動(dòng)了數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展．還解釋了一些之前無(wú)法解釋的現(xiàn)象.

以問(wèn)題為中心的課堂是促進(jìn)師生、生生雙邊積極互動(dòng)的基礎(chǔ)，高質(zhì)量的問(wèn)題可有效啟發(fā)學(xué)生的思維．讓學(xué)生對(duì)探索內(nèi)容產(chǎn)生好奇心．提高學(xué)習(xí)成效，問(wèn)題鏈一般圍繞核心問(wèn)題由淺入深地設(shè)計(jì)一串小問(wèn)題為學(xué)生的思維搭建“腳手架”．讓學(xué)生通過(guò)對(duì)問(wèn)題的逐個(gè)突破．從而對(duì)知識(shí)形成獨(dú)特的見(jiàn)解，提高思維能力，這是推進(jìn)CPFS結(jié)構(gòu)形成于核心素養(yǎng)發(fā)展的關(guān)鍵．

案例3“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式”的教學(xué).

為了有效提高學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．讓學(xué)生基于CPFS結(jié)構(gòu)從深層次理解等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．教師在教學(xué)時(shí)可借助問(wèn)題鏈激發(fā)學(xué)生的思維，讓深度學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生．

問(wèn)題1木材廠堆放了一堆圓木，從側(cè)面來(lái)看，圓木由上到下的數(shù)量分別為1，2，3，…，10．求這堆圓木的數(shù)量．

問(wèn)題2據(jù)說(shuō)，10歲的高斯用下面的方法迅速計(jì)算出了1+2+3+…+100的和：（1+100）+（2+99）+…+（50+51）=101×50=5050．如果讓你計(jì)算1+2+3+-+98+99的和，你會(huì)怎么計(jì)算？

生1：（1+2+3+…+99+100）-100.

生2：（1+2+3+…+98）+99．

生3：（1+2+3+…+98+99+99+98+…+2+1）÷2．

生4：0+1+2+…+98+99．

生5：設(shè)S=1+2+…+99，S=99+98+…+2+1，則2S=（1+99）+（2+98）+…+（98+2）+（99+1），所以S=（100×99）÷2=4950．

問(wèn)題3若想計(jì)算1+2+3+…+（n-1）+n的和，以上幾位同學(xué)的算法，哪種更簡(jiǎn)便？

學(xué)生一致認(rèn)為最后一種方法更簡(jiǎn)便，其他幾種方法相對(duì)煩瑣，計(jì)算量大且容易出錯(cuò)．基于此．為了進(jìn)一步幫助學(xué)生構(gòu)建“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式”．教師可繼續(xù)以問(wèn)題鏈的形式與學(xué)生互動(dòng).

問(wèn)題4嘗試用最后一種方法求1+2+3+…+（n-1）+n的和．

問(wèn)題5這個(gè)待求數(shù)列存在什么特點(diǎn)？（是公差為1的等差數(shù)列）

問(wèn)題6通過(guò)以上問(wèn)題的解決．你有什么發(fā)現(xiàn)或結(jié)論？（等差數(shù)列的和可用首項(xiàng)、末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)來(lái)計(jì)算）

問(wèn)題7嘗試將以上求和問(wèn)題進(jìn)行推廣，形成一般形式．假設(shè)數(shù)列{an}是一個(gè)等差數(shù)列，其公差為d．首項(xiàng)為a1，用以上方法嘗試求Sn=a1+a2+a3+…an-1+an．

學(xué)生經(jīng)合作探索與交流，獲得結(jié)論為：Sn=（a1+an）n/2.

問(wèn)題8若把通項(xiàng)公式an=a1+（n-1）d代入上述結(jié)論，可獲得Sn的新形式嗎？（Sn=na1+[n（n-1）/2]d）

問(wèn)題9結(jié)合以上推理過(guò)程與結(jié)論，完成如下練習(xí)……

問(wèn)題鏈的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生循序漸進(jìn)、由淺入深地探索新知．學(xué)生的探索意識(shí)與探索能力隨著問(wèn)題的逐漸深入而成熟，認(rèn)知結(jié)構(gòu)也逐漸趨于完善．在探索過(guò)程中．有些學(xué)生也會(huì)自主生成一些問(wèn)題，教師可將有探索價(jià)值的問(wèn)題延伸開(kāi)來(lái)．順應(yīng)學(xué)生的思維進(jìn)行拓展分析，使得課堂動(dòng)態(tài)生成．同時(shí)．CPFS結(jié)構(gòu)在問(wèn)題鏈的牽引下愈發(fā)豐滿．學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)也愈發(fā)完善．

4．多變式設(shè)計(jì)完善CPFS結(jié)構(gòu)

多變式教學(xué)是指借助問(wèn)題情境讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問(wèn)題．在問(wèn)題的探索中建構(gòu)新知的教學(xué)方法，學(xué)生在這種教學(xué)模式下可通過(guò)多種渠道獲得新知．因此這是一種降低學(xué)習(xí)難度的方法．也是一種凸顯學(xué)生為課堂主體的教學(xué)方法，多變式設(shè)計(jì)完善CPFS結(jié)構(gòu)對(duì)教師的專業(yè)素養(yǎng)有較高的要求．具體表現(xiàn)在如下兩個(gè)方面．

（1）了解學(xué)情.

課前．教師要在研讀新課標(biāo)與教材的基礎(chǔ)上“備學(xué)生”，只有充分了解學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)才能創(chuàng)設(shè)出恰當(dāng)?shù)那榫骋l(fā)學(xué)生課堂參與的積極性．同時(shí)．教師還要了解學(xué)生的思維習(xí)慣，盡可能預(yù)見(jiàn)學(xué)生在知識(shí)的探索過(guò)程中出現(xiàn)的各種可能，當(dāng)然．課堂是動(dòng)態(tài)變化的．就算基于精心預(yù)設(shè)的背景下，也很難做到面面俱到，這就要求教師擁有過(guò)硬的專業(yè)素養(yǎng)來(lái)靈活應(yīng)對(duì)課堂中的突發(fā)情況，這些突發(fā)情況往往是促使課堂動(dòng)態(tài)生成的契機(jī)，對(duì)拔高學(xué)生的思維具有重要意義．

（2）巧設(shè)情境.

情境是多變式教學(xué)的背景．恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境能成功激發(fā)學(xué)生的思維．挖掘?qū)W生的潛能．引發(fā)學(xué)生思考．學(xué)生置身于豐富的情境中積極探索．教師可在適當(dāng)時(shí)機(jī)給予點(diǎn)撥，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際表現(xiàn)調(diào)控課堂．如數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)小故事、生活熱點(diǎn)等，都是引發(fā)學(xué)生思考的好情境．情境展示除了教師的口頭描述外．還可以借助多媒體的播放功能、幾何畫板的演示功能等，讓學(xué)生在視覺(jué)化情境中感知學(xué)科魅力．

例如“解三角形”的教學(xué)．就可以通過(guò)生活實(shí)際情境如計(jì)算河兩岸建筑物的距離，激發(fā)學(xué)生的興趣，帶領(lǐng)學(xué)生從多個(gè)角度出發(fā)探索結(jié)論：如等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的探索，可以借助一些小故事揭露原理．提高課堂探索氛圍；再如線性規(guī)劃問(wèn)題的教學(xué)．可以借助多媒體展示科學(xué)技術(shù)的高超之處，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)學(xué)科的趣味性與實(shí)用性等．

多變式設(shè)計(jì)，不僅可以豐富課堂，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲．還能完善學(xué)生的CPFS結(jié)構(gòu)．讓學(xué)生對(duì)知識(shí)做到“知其然且知其所以然”，使學(xué)生的認(rèn)知在豐富的教學(xué)手段中得以長(zhǎng)效發(fā)展．

總之，結(jié)合學(xué)情、教情與考情選擇不一樣的教學(xué)方式．不僅能讓抽象的數(shù)學(xué)變得趣味十足．還能讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科產(chǎn)生親近感．從而更加樂(lè)學(xué)、善學(xué)．因此，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中關(guān)注CPFS結(jié)構(gòu)的構(gòu)建．是完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵．