馬建

摘要：本文基于數(shù)學(xué)多元表征下的主要三元表征數(shù)學(xué)圖形表征、數(shù)學(xué)符號(hào)表征、數(shù)學(xué)文字表征來(lái)解決難度較高的不等式整數(shù)解題目，提供兩大類別、五種解題方法，一題多解，拓寬學(xué)生的解題思路，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，并借助數(shù)學(xué)文字表征下的情景創(chuàng)新實(shí)例，總結(jié)此類問(wèn)題的解決辦法.

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；文字表征；圖形表征；符號(hào)表征；分離參數(shù)

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2024）12-0030-05

本文以高三復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的一道較難的考題作為例題，深入研究展示基于數(shù)學(xué)多元表征下的主要三元表征：數(shù)學(xué)圖形表征、數(shù)學(xué)符號(hào)表征、數(shù)學(xué)文字表征.同時(shí)用五大方法進(jìn)行了分離函數(shù)和分離參數(shù)，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)解題中數(shù)形結(jié)合的重要思想，達(dá)到數(shù)形完美統(tǒng)一，學(xué)生思維得到了遷移，數(shù)學(xué)思維和轉(zhuǎn)化的能力得到提高.

1 數(shù)學(xué)多元表征

在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域中，雖然人們經(jīng)常談到數(shù)學(xué)多元表征，卻并沒(méi)有統(tǒng)一的概念界定，但基本含義一致.歸納相關(guān)研究，本研究認(rèn)為數(shù)學(xué)多元表征，是指將同一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象用敘述性（言語(yǔ)化表征）和描繪性（視覺(jué)化表征）兩種本質(zhì)不同的多種形式表征.這包括兩層含義：其一，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象的表征至少出現(xiàn)敘述性表征和描繪性表征兩種本質(zhì)不同的表征；其二，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象的表征至少含有敘述性表征或描繪性表征的兩種或兩種以上的表征形式[1].

常見(jiàn)的數(shù)學(xué)多元表征有數(shù)學(xué)圖形表征、數(shù)學(xué)符號(hào)表征、數(shù)學(xué)文字表征、數(shù)學(xué)表格表征等形式.

2 數(shù)學(xué)圖形表征、符號(hào)表征、算法表征

2.1 選題概況

例1若不等式alnxx3+3x>2恰好有兩個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）.

A.0，4ln2B.4ln2，40ln2

C.4ln2，27ln3D.27ln3，40ln2

（題目來(lái)源：廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué)2023屆高三年級(jí)上學(xué)期11月模擬考試）

試題分析：批閱完試卷后，閱卷系統(tǒng)統(tǒng)計(jì)出考試數(shù)據(jù)（如表1），發(fā)現(xiàn)本題的得分率比較低，有將近三分之一的同學(xué)作答錯(cuò)誤.

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)，判斷不等式的整數(shù)解，在數(shù)學(xué)的圖形表征和符號(hào)表征下考查學(xué)生的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，屬于較難題.

2.2 第一大類四種解決辦法（數(shù)學(xué)圖形表征的運(yùn)用，不同形式的數(shù)形結(jié)合）

解法一分離出典型函數(shù)y=lnxx3，數(shù)形結(jié)合

設(shè)F（x）=lnxx3，g（x）=2-3x，則原不等式可化為：aF（x）>g（x）

接下來(lái)研究一下F（x）、g（x）的圖象和性質(zhì)：

F′（x）=1x·x3-3x2·lnxx6=1-3lnxx4，F(xiàn)′（3e）=0

在（0，3e）上，F(xiàn)′（x）>0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增；在（3e，+∞）上，F(xiàn)′（x）<0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞減；

所以，F(xiàn)（x）在x=3e時(shí)取得最大值，x→0時(shí)，F(xiàn)（x）→-∞；x→+∞時(shí)，F(xiàn)（x）→0.

F（x）、g（x）的圖象如圖1：

由圖象易知：當(dāng)a≤0時(shí)，顯然不符合題意（含有無(wú)數(shù)個(gè)整數(shù)解），

所以，考慮a>0的情況：

不等式aF（x）>g（x）恰好有兩個(gè)整數(shù)解，顯然x=1，已經(jīng)符合題意，且是第一個(gè)整數(shù)解，所以，x=2是第二個(gè)整數(shù)解，x=2之后的整數(shù)都不能符合題意，如圖2，

即：aF（2）>g（2）

aF（3）≤g（3）aln28>12

aln327≤1，解得：4ln2

解法二分離出典型函數(shù)y=lnxx2，數(shù)形結(jié)合

設(shè)F（x）=lnxx2，g（x）=2x-3，則原不等式可化為：aF（x）>g（x）.

接下來(lái)研究一下F（x）、g（x）的圖象和性質(zhì)：

F′（x）=1x·x2-2x·lnxx4=1-2lnxx3，F(xiàn)′（e）=0，

在（0，e）上，F(xiàn)′（x）>0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增；在（e，+∞）上，F(xiàn)′（x）<0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞減；

所以，F(xiàn)（x）在x=e時(shí)取得最大值，x→0時(shí)，F(xiàn)（x）→-∞；x→+∞時(shí)，F(xiàn)（x）→0.

F（x）、g（x）的圖象如圖3：

由圖象易知：當(dāng)a≤0時(shí)，顯然不符合題意（含有無(wú)數(shù)個(gè)整數(shù)解），

所以，考慮a>0的情況：

不等式aF（x）>g（x）恰好有兩個(gè)整數(shù)解，顯然x=1，已經(jīng)符合題意，且是第一個(gè)整數(shù)解，所以，x=2是第二個(gè)整數(shù)解，x=2之后的整數(shù)都不能符合題意，如圖4

即：aF（2）>g（2）

aF（3）≤g（3）aln24>1

aln39≤3，

解得：4ln2

解法三分離出典型函數(shù)y=lnxx，數(shù)形結(jié)合

設(shè)F（x）=lnxx，g（x）=2x2-3x，則原不等式可化為：aF（x）>g（x）.

接下來(lái)研究一下F（x）、g（x）的圖象和性質(zhì)：

F′（x）=1x·x-lnxx2=1-lnxx2，F(xiàn)′（e）=0，

在（0，e）上，F(xiàn)′（x）>0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增；在（e，+∞）上，F(xiàn)′（x）<0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞減；

所以，F(xiàn)（x）在x=e時(shí)取得最大值，x→0時(shí)，F(xiàn)（x）→-∞；x→+∞時(shí)，F(xiàn)（x）→0.

F（x）、g（x）的圖象如圖5：

由圖象易知：當(dāng)a≤0時(shí)，顯然不符合題意（含有無(wú)數(shù)個(gè)整數(shù)解），

所以，考慮a>0的情況：

不等式aF（x）>g（x）恰好有兩個(gè)整數(shù)解，顯然x=1，已經(jīng)符合題意，且是第一個(gè)整數(shù)解，所以，x=2是第二個(gè)整數(shù)解，x=2之后的整數(shù)都不能符合題意，如圖6.

即：aF（2）>g（2）

aF（3）≤g（3）aln22>2

aln33≤9，

解得：4ln2

解法四分離出基本函數(shù)y=lnx，數(shù)形結(jié)合

設(shè)F（x）=lnx，g（x）=2x3-3x2，則原不等式可化為：aF（x）>g（x）.

接下來(lái)研究一下F（x）、g（x）的圖象和性質(zhì)：

F′（x）=1x，在（0，+∞）上，F(xiàn)′（x）>0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增；

g′（x）=6x（x-1），在（0，1）上，g′（x）<0，g（x）單調(diào)遞減，在（1，+∞）上，g′（x）>0，g（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x=1時(shí)g（x）取得最小值-1.

F（x）、g（x）的圖象如圖7：

由圖象易知：當(dāng)a≤0時(shí)，顯然不符合題意（只有一個(gè)整數(shù)解）（如圖8），所以，考慮a>0的情況：

不等式aF（x）>g（x）恰好有兩個(gè)整數(shù)解，顯然x=1，已經(jīng)符合題意，且是第一個(gè)整數(shù)解，所以，x=2是第二個(gè)整數(shù)解，x=2之后的整數(shù)都不能符合題意，如圖9.

即：aF（2）>g（2）

aF（3）≤g（3）aln2>4

aln3≤27，

解得：4ln2

這個(gè)問(wèn)題的處理主要運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想方法.

數(shù)形結(jié)合思想，主要指的是數(shù)與形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，是數(shù)學(xué)符號(hào)表征和圖形表征相結(jié)合的具體體現(xiàn).數(shù)形結(jié)合是將數(shù)學(xué)的抽象語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系和直觀圖形、位置關(guān)系結(jié)合在一起，通過(guò)抽象思維與形象思維的結(jié)合，讓復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化，從而實(shí)現(xiàn)優(yōu)化解題途徑的目的[2].

所以，以形助數(shù)、以數(shù)輔形的數(shù)形結(jié)合思想，可以讓問(wèn)題更直觀地呈現(xiàn)，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和應(yīng)用，把復(fù)雜的代數(shù)問(wèn)題賦予靈活的變通形式.在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，數(shù)形結(jié)合可以快速分析題中數(shù)量之間的關(guān)系，啟迪了思維，拓寬了思路，能讓學(xué)生迅速找到解決問(wèn)題的方法，從而提高分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力和思維遷移能力.

2.3 第二大類解決辦法（數(shù)學(xué)圖形符號(hào)表征的運(yùn)用，分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)）

解法五分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)

原不等式alnxx3+3x>2，x>0可化為：alnx>2x3-3x2.

因?yàn)轭}目中不等式alnxx3+3x>2恰好有兩個(gè)整數(shù)解，而x∈（0，+∞），

所以，x∈（0，1）不存在整數(shù)解，當(dāng)x=1時(shí)得3>2顯然成立，符合題意，

所以第一個(gè)整數(shù)解為x=1，第二個(gè)整數(shù)解在（1，+∞）中產(chǎn)生.

當(dāng)x>1時(shí)，lnx>0，所以，原不等式可化為a>2x3-3x2lnx，

設(shè)F（x）=2x3-3x2lnx，x>1，則：

F′（x）=6x（x-1）lnx-（2x2-3x）（lnx）2=6x（x-1）［lnx-2x-36（x-1）］（lnx）2，

記g（x）=lnx-2x-36（x-1），則

g? ?′（x）=1x-16（x-1）2=（3x-2）（2x-3）6x（x-1）2，

g? ?′（32）=0，在（1，32）上，g′（x）<0，g（x）單調(diào)遞減，在（32，+∞）上，g′（x）>0，g（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x=32時(shí)g（x）取得最小值，g（x）≥g（x）min=g（32）=ln32>0.

所以，F(xiàn)′（x）>0在（1，+∞）上恒成立，F(xiàn)（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，

x→1時(shí)，F(xiàn)（x）→-∞；x=32時(shí)，F(xiàn)（x）=0；x=2時(shí)，F(xiàn)（x）=4ln2；x=3時(shí)，F(xiàn)（x）=27ln3.

因?yàn)榈诙€(gè)整數(shù)解在（1，+∞）中產(chǎn)生，所以，這個(gè)整數(shù)解只能是x=2，

所以4ln2

這個(gè)問(wèn)題的處理主要是運(yùn)用了分離參數(shù)的方法.

分離參數(shù)法：即將最值、值域、取值范圍、恒成立和存在性等問(wèn)題的參數(shù)與未知量分離于表達(dá)式的兩端，整理成類似k=f（x）或k

例2古希臘哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯曾說(shuō)過(guò)：“美的線型和其他一切美的形體都必須有對(duì)稱形式.”在中華傳統(tǒng)文化里，建筑、器物、書法、詩(shī)歌、對(duì)聯(lián)、繪畫幾乎無(wú)不講究對(duì)稱之美，如清代詩(shī)人黃柏權(quán)的《茶壺回文詩(shī)》（如圖10）以連環(huán)詩(shī)的形式展現(xiàn)，20個(gè)字繞著茶壺成一圓環(huán)，不論順著讀還是逆著讀，皆成佳作.數(shù)學(xué)與生活也有許多奇妙的聯(lián)系，如2020年02月02日20200202被稱為世界完全對(duì)稱日（公歷紀(jì)年日期中數(shù)字左右完全對(duì)稱的日期）.數(shù)學(xué)上把20200202這樣的對(duì)稱數(shù)叫回文數(shù)，兩位數(shù)的回文數(shù)共有9個(gè)（11，22，…，99），則共有多少個(gè)這樣的三位回文數(shù)（）.

A.64B.72C.80D.90

題目分析本題給出的題目?jī)?nèi)容特別多，有230個(gè)字左右，是數(shù)學(xué)文化知識(shí)和數(shù)學(xué)排列組合相結(jié)合的一道例題，學(xué)生拿到這題時(shí)第一感覺(jué)就是估計(jì)這道題是一道難題，光文字解釋就是這么多.這就需要同學(xué)們冷靜面對(duì)，把對(duì)解題有利的信息要加以篩選，重新用數(shù)學(xué)的文字表征來(lái)重塑這道題：把數(shù)字左右完全對(duì)稱（例如：20200202）的對(duì)稱數(shù)叫回文數(shù)，兩位數(shù)的回文數(shù)共有9個(gè)（11，22，…，99），則共有多少個(gè)這樣的三位回文數(shù)？

這樣學(xué)生就能夠明白：本題主要考查分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用.

解題的關(guān)鍵信息：三位回文數(shù)首尾要相同.

解析由題意，三位數(shù)的回文數(shù)以1為開(kāi)頭和結(jié)尾的有10個(gè)（中間為0～9這10個(gè)數(shù)字）；此外有以2，3，…，9分別開(kāi)頭和結(jié)尾的也都各有10個(gè)（中間為0～9這10個(gè)數(shù)字）；

由分類加法計(jì)數(shù)原理：綜上共有10+8×10=90個(gè)，故答案選D.

在作這樣的題目的時(shí)候，就要把外在文字表征轉(zhuǎn)換成內(nèi)在的數(shù)學(xué)表征，清晰地用數(shù)學(xué)的知識(shí)做題.

例3埃拉托斯特尼是古希臘亞歷山大時(shí)期著名的地理學(xué)家，他最出名的工作是計(jì)算了地球（大圓）的周長(zhǎng).如圖11，在賽伊尼，夏至那天中午的太陽(yáng)幾乎正在天頂方向（這是從日光直射進(jìn)該處一井內(nèi)而得到證明的）.同時(shí)在亞歷山大城（該處與賽伊尼幾乎在同一子午線上），其天頂方向與太陽(yáng)光線的夾角測(cè)得為7.2°.因太陽(yáng)距離地球很遠(yuǎn)，故可把太陽(yáng)光線看成是平行的.埃拉托斯特尼從商隊(duì)那里知道兩個(gè)城市間的實(shí)際距離大概是5 000斯塔蒂亞，按埃及的長(zhǎng)度算，1斯塔蒂亞等于157.5米，則埃拉托斯特尼所測(cè)得地球的周長(zhǎng)約為（）.

A.38 680千米B.39 375千米

C.41 200千米D.42 192千米

題目分析本題選自2022年的高三數(shù)學(xué)訓(xùn)練題.對(duì)于地理學(xué)得比較好的同學(xué)來(lái)說(shuō)，理解這道題是沒(méi)有問(wèn)題的，但是對(duì)于地理不太好的學(xué)生來(lái)說(shuō)，看到了地球的各種線，腦子里面就會(huì)亂成一團(tuán)麻，再加上各種復(fù)雜的人名和地名，簡(jiǎn)直沒(méi)法做.

閱讀題目后，需要從繁雜的題設(shè)中抽取有用信息，再進(jìn)行加工：由平行光線的作用，得到圓心角也為7.2°，在地球的大圓上，兩個(gè)城市之間的距離實(shí)際為大圓上的一段弧長(zhǎng)，接下來(lái)，求地球的周長(zhǎng)幾乎就用不到高中的數(shù)學(xué)知識(shí)，利用比例關(guān)系就可以直接求出地球的周長(zhǎng)了.實(shí)則考查比例的性質(zhì)、圓的周長(zhǎng)公式，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

解析由題意知，太陽(yáng)光線互為平行線，則亞歷山大城、賽伊尼與地球中心所成角和天頂方向與太陽(yáng)光線的夾角為同位角，則亞歷山大城、賽伊尼與地球中心所成角為7.2°，且亞歷山大城、賽伊尼間距離為5 000×157.5=787 500（米）=787.5千米，即亞歷山大城、賽伊尼與地球中心所成角的7.2°角所對(duì)的地球的大圓的弧長(zhǎng)為787.5千米.所以根據(jù)比例關(guān)系，地球周長(zhǎng)為787.57.2°×360°=39 375（千米），故答案選B.

近年來(lái)，文字閱讀型情境創(chuàng)新題在高考試卷中頻頻出現(xiàn)，這類根據(jù)材料提供的信息現(xiàn)場(chǎng)快速閱讀、理解和運(yùn)用的新題型，知識(shí)背景較為寬廣，知識(shí)跨度大，包含的信息也較多，它綜合考查了考生的閱讀理解、數(shù)據(jù)處理、分析推理、文字概括和書面表達(dá)及知識(shí)遷移等諸多方面的能力.這就要求學(xué)生要有良好的閱讀習(xí)慣，從閱讀中發(fā)現(xiàn)信息，找到有用信息后進(jìn)行歸納、抽象、概括并大膽地猜測(cè)、假設(shè)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型[4].

4 結(jié)束語(yǔ)

除了以上出現(xiàn)的幾個(gè)常見(jiàn)函數(shù)外，不妨看看下面這些函數(shù)的圖象，下面給出函數(shù)供研究和參考（圖12-圖17）：

4 結(jié)束語(yǔ)

本文主要基于數(shù)學(xué)圖形和符號(hào)表征，解決高三月考試卷中一道有難度的不等式整數(shù)解問(wèn)題的題目，用了數(shù)形結(jié)合與分離參數(shù)這兩大類別的五種方法解決了問(wèn)題，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的通性通法，也幫助學(xué)生拓廣了解題思路，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和解題能力.對(duì)于學(xué)生害怕的文字型情景創(chuàng)新題，要對(duì)它進(jìn)行拋繁去雜，留下枝葉，轉(zhuǎn)化為課堂所學(xué)的知識(shí)和問(wèn)題，再解決問(wèn)題.

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［責(zé)任編輯：李璟］