程玉林 吳境川 蔡華遠(yuǎn)

摘要：規(guī)則下的概念教學(xué)要通過問題驅(qū)動，讓學(xué)生自主探索、創(chuàng)造規(guī)則、發(fā)明規(guī)則，讓規(guī)則隨著思維的生長自然地生長出來，從而建立概念.在這一過程中，學(xué)生能感受到數(shù)學(xué)概念的生長過程和數(shù)學(xué)概念形成的必要性、必然性、客觀性、合理性.

關(guān)鍵詞：規(guī)則下的概念教學(xué)；函數(shù)的奇偶性；生長數(shù)學(xué)

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2024）12-0059-03

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的起點，是學(xué)生認(rèn)識的根本，是數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵，它在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)教學(xué)中具有舉足輕重的作用[1].然而在實際的數(shù)學(xué)教學(xué)中，并沒有把概念教學(xué)放在它應(yīng)有的位置上.通常是“三個例子、一個概念、八項注意”.這樣的數(shù)學(xué)概念教學(xué)，不但給學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)造成認(rèn)知上的障礙，而且還喪失了數(shù)學(xué)概念的教學(xué)功能，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成.如何讓數(shù)學(xué)概念教學(xué)為學(xué)生身心成長助力，讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地生根，因此數(shù)學(xué)概念教學(xué)十分重要.

1 規(guī)則下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)理解

發(fā)明不同于科學(xué)發(fā)現(xiàn)，發(fā)明主要是創(chuàng)造出過去沒有的事物.規(guī)則就是制定規(guī)矩，它應(yīng)該屬于發(fā)明.所以，規(guī)則下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)，重點是制定相應(yīng)概念準(zhǔn)則.但是在平時的教學(xué)中，往往將規(guī)則下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)，變成直接地告訴學(xué)生應(yīng)該遵守的規(guī)則并讓其按照規(guī)則進(jìn)行操作，且只是在操作中理解規(guī)則的教學(xué)，更有甚者不追求理解，只要會操作就可以.這樣的數(shù)學(xué)概念教學(xué)就是一個執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)的過程，它是一個簡單化的思維過程，顯然這樣來設(shè)計規(guī)則下的概念課，定是白白浪費了可貴的教學(xué)資源.這就是華羅庚先生所說的“入寶山而空返”.現(xiàn)在的問題是，如何入寶山而不空返呢？卜以樓認(rèn)為，讓學(xué)生主動地構(gòu)建規(guī)則制定標(biāo)準(zhǔn)，并且讓學(xué)生在生活實踐中有自己的思考，這是一種“制定標(biāo)準(zhǔn)”的“管理者”的思維[2].請注意一個是“執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)”的“打工仔”的思維，另一個是“制定標(biāo)準(zhǔn)”的“管理者”思維，這兩種思維方式?jīng)芪挤置?

2 教學(xué)設(shè)計與說明

2.1 給情境：導(dǎo)入新課

同學(xué)們，我們生活在美的世界中，有許多對美的感受，今天我們就來談一談其中的對稱美，請同學(xué)們想一想哪些東西會給你對稱美的認(rèn)識呢？函數(shù)來源于生活，函數(shù)中的對稱美又是什么樣的呢？這就是我們本節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容：函數(shù)的奇偶性.（學(xué)生先舉例，教師后在屏幕上給出一組圖片：蝴蝶，喜字，故宮太和殿，雪花晶體.）

觀察1：觀察函數(shù)f（x）=x2和g（x）=2-|x|的圖象，它們有什么共同特征？（引導(dǎo)學(xué)生從對稱性方面觀察）

說明：給情境.通過以上的圖例和觀察給出問題情境，讓學(xué)生運用自己的智力和思維來解決.

2.2 建規(guī)則：奇偶性的符號化定義

探究一：我們來繼續(xù)研究函數(shù)f（x）=x2和g（x）=2-|x|.從圖象上，我們已經(jīng)看出它們的圖象是關(guān)于y軸對稱的.類似于函數(shù)的單調(diào)性，大家能用數(shù)學(xué)語言描述“函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱”這一特征嗎？

問題1：觀察f（x）=x2圖象和課本表3.2-1，你發(fā)現(xiàn)函數(shù)的解析式具有什么特征了嗎？

師生活動：通常情況下，學(xué)生會從表格中觀察到一些數(shù)值的變化情況，如：

f（-3）=9=f（3），

f（-2）=4=f（2），

f（-1）=1=f（1），

…………

學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x的取值互為相反數(shù)的時候，其函數(shù)值總是相等的.

追問1：這種數(shù)值的變化情況具有一般性嗎？對任意的x都成立嗎？

追問2：這種對任意的x都滿足的規(guī)律，我們可以通過什么方式準(zhǔn)確地表達(dá)出來？（這時教師要引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系全稱量詞的表述形式）

追問3：大家嘗試通過量詞的表述，把這個函數(shù)的對稱關(guān)系表達(dá)出來.

問題2：對于函數(shù)f（x）=x2圖象關(guān)于y軸對稱，這說明函數(shù)f（x）=x2圖象上任意兩個點橫坐標(biāo)如果互為相反數(shù)，那么這兩個點相應(yīng)的函數(shù)值相等，即f（-x）=f（x）.反之，如果函數(shù)f（x）=x2對任意的自變量x都有f（-x）=f（x），則函數(shù)的圖象是否關(guān)于y軸對稱？

說明：建規(guī)則.這個環(huán)節(jié)一定要舍得花時間，讓學(xué)生做這個看起來與考試無關(guān)，可事實上，它不僅與考試有關(guān)，更與人的成長有關(guān)，它是一個人的核心素養(yǎng)的行為展現(xiàn).“探究一”學(xué)生會遇到困難，這個沒有關(guān)系，讓學(xué)生帶著疑惑繼續(xù)進(jìn)行下面的思考和研究，這樣他獲得的感受會更深.對于問題2利用數(shù)學(xué)畫板展示函數(shù)圖象關(guān)于y軸的對稱關(guān)系，展示將整體的對稱關(guān)系用任意點的形式動態(tài)表達(dá)，讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)直觀上升到數(shù)學(xué)抽象，用語言進(jìn)行描述，進(jìn)而用符號語言準(zhǔn)確的表達(dá).反之，學(xué)生會遇到困難，引導(dǎo)學(xué)生要證明函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，就是相當(dāng)于證明任一點關(guān)于y軸對稱點也在圖象上.

追問：你能將上面由具體函數(shù)得到的關(guān)系，推廣到一般的圖象關(guān)于y軸對稱的函數(shù)上嗎？

師生活動：學(xué)生不難得到“x∈I，都有f（-x）=f（x）”，但是教師要引導(dǎo)學(xué)生注意函數(shù)的定義域，逐步完善，并總結(jié)出偶函數(shù)的定義[3].

一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為I，如果x∈I，都有-x∈I，且f（-x）=f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù).

2.3 偶函數(shù)定義的鞏固與辨析

追問：你能再舉出幾個偶函數(shù)的例子嗎？（學(xué)生舉例）

問題3：函數(shù)f（x）=x2，x∈-1，2是偶函數(shù)嗎？偶函數(shù)的定義域有什么特征？

說明：下定義.引導(dǎo)學(xué)生共同討論后，會達(dá)成比較相同的意見與結(jié)論.得出偶函數(shù)的定義.

2.4 奇函數(shù)的定義和鞏固辨析

探究二：觀察函數(shù)f（x）=x和g（x）=1x的圖象，它們有什么共同特征嗎？同學(xué)們能用數(shù)學(xué)符號語言來描述這一特征嗎？

類比偶函數(shù)的研究，考慮下面這幾個問題：

問題4：完成課本表3.2-2，你發(fā)現(xiàn)函數(shù)的解析式具有什么特征了嗎？

問題5：對于函數(shù)f（x）=x，圖象關(guān)于原點對稱，表明函數(shù)圖象上橫坐標(biāo)互為相反數(shù)的點相應(yīng)的函數(shù)值相反，即f（-x）=-f（x）.反之，如果函數(shù)f（x）=x對任意的自變量x有f（-x）=-f（x），那么函數(shù)的圖象是否關(guān)于坐標(biāo)原點對稱呢？

問題6：類似于偶函數(shù)的定義，請同學(xué)們給出奇函數(shù)的定義？奇函數(shù)的定義域有什么特征？

追問：奇偶性是函數(shù)的局部性質(zhì)嗎？

問題7：有了奇（偶）函數(shù)的定義，請問有哪些需要注意的地方？

說明：生長數(shù)學(xué)視角下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)必須關(guān)注好、選擇好、應(yīng)用好生長的種子.所謂“種子”是那些反復(fù)強化的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.讓這些數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗在學(xué)生的腦海里烙上深深的印記，就是埋下了種子，等到學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力到位了，數(shù)學(xué)潛能也就自然而然地發(fā)揮出來了，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也就自然而然地養(yǎng)成了.

2.5 再運用：函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

例1判斷下列函數(shù)的奇偶性

（1）f（x）=x4；（2）f（x）=x5；（3）f（x）=xx-1；

（4）f（x）=x+1；（5）f（x）=|x-2|.

變式練習(xí)：

判斷對錯：

（1） 若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，則f（x）=f（-x）；

（2） 若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，則f（x）=f（-x）；

（3） 奇函數(shù)的圖象一定過原點；

（4） 奇函數(shù)f（x）在x=0上有意義，則f（0）=0；

（5） 奇函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對稱；

（6） 偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；

（7） 若f（x）為奇函數(shù)且f（1）=3，則f（-1）=-3.

說明：函數(shù)奇偶性的再運用，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生自主構(gòu)建了規(guī)則，那么學(xué)生就很容易遵守規(guī)則了.例6和變式練習(xí)就是對學(xué)生進(jìn)行遵守規(guī)則的訓(xùn)練.

2.6 課堂小結(jié)

（1）這節(jié)課我們研究了函數(shù)的什么性質(zhì)？從哪兩個方面研究的？用了什么方法研究的？

（2）什么是偶函數(shù)？什么是奇函數(shù)？它們的圖象有什么特征？

（3）判斷函數(shù)奇偶性有幾種方法？具體步驟？

說明：本課小結(jié)不僅體現(xiàn)了奇偶性的概念、基本性質(zhì)、圖象特征等知識點的回歸，還滲透了數(shù)學(xué)思想方法.這是研究函數(shù)性質(zhì)的一般過程的學(xué)習(xí)方法的總結(jié)，是對學(xué)生思考、推理過程的總結(jié)，也是對函數(shù)奇偶性概念規(guī)則的構(gòu)建過程的總結(jié).3 結(jié)束語

規(guī)則下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)是這樣的：給情境-建規(guī)則-下定義-再運用.即用問題驅(qū)動來激發(fā)學(xué)生的發(fā)明創(chuàng)造，來構(gòu)建解決數(shù)學(xué)問題的規(guī)則，獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，從而把學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)內(nèi)化為一種自覺的思維形式.規(guī)則下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)，課堂上學(xué)生要努力做到經(jīng)歷具體的問題情境，妥善運用創(chuàng)新意識數(shù)學(xué)邏輯思維，尋找解決數(shù)學(xué)問題的規(guī)則和方法.同時不斷調(diào)整優(yōu)化數(shù)學(xué)概念的規(guī)則和方法，直至發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的規(guī)則和方法，最終建立數(shù)學(xué)概念.規(guī)則下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)關(guān)鍵就是構(gòu)建利于學(xué)生思維的數(shù)學(xué)活動，進(jìn)而讓學(xué)生進(jìn)行發(fā)明創(chuàng)造.

參考文獻(xiàn)：

[1]卜以樓.生長數(shù)學(xué)：卜以樓初中數(shù)學(xué)教學(xué)主張[M].西安：陜西師范大學(xué)出版總社，2018（6）.

[2] 王紅兵，卜以樓.生長過程：概念教學(xué)的本質(zhì)標(biāo)志[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017（07）：27-29.

[3] 吳艷芹，馬杰.暢言智慧課堂下的“函數(shù)奇偶性”主題教學(xué)設(shè)計[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2023（04）：8-11.

［責(zé)任編輯：李璟］