陳立云

摘要：本文主要分析核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的高中數(shù)學(xué)解題，以期為促進(jìn)高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)改革提供參考與借鑒.

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng)；高中數(shù)學(xué)；解題

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2024）12-0065-03

教師需重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)解題思維與能力的培養(yǎng)，立足于核心素養(yǎng)導(dǎo)向，不斷強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的靈活應(yīng)用，進(jìn)而幫助學(xué)生取得理想成績.鑒于此，對(duì)核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的高中數(shù)學(xué)解題研究具有一定的現(xiàn)實(shí)意義與教育價(jià)值.

1 核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的高中數(shù)學(xué)解題

高中數(shù)學(xué)解題思維與能力的培養(yǎng)對(duì)促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展具有重要作用.但相比于其他學(xué)科而言，高中數(shù)學(xué)學(xué)科的知識(shí)點(diǎn)眾多，具有分布范圍廣泛、知識(shí)抽象等特征，且學(xué)習(xí)難度較大.大部分學(xué)生在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解題時(shí)都會(huì)遇到各種困難與問題，若無法有效克服困難、及時(shí)解決問題，則會(huì)影響學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)效果.核心素養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的重要參考依據(jù)，在解題教學(xué)中灌輸核心素養(yǎng)能夠使學(xué)生逐漸掌握適應(yīng)社會(huì)發(fā)展應(yīng)具備的素質(zhì)和能力，同時(shí)學(xué)會(huì)利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)問題.

2 核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的高中數(shù)學(xué)解題培養(yǎng)

新高考背景下，高中數(shù)學(xué)教師在解題教學(xué)時(shí)必須充分立足于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，全面培養(yǎng)學(xué)生綜合素質(zhì)與能力.數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、化歸思想、方程思想是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象以及數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的重要途徑，教師應(yīng)在教學(xué)時(shí)合理滲透這些解題思想，提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力.

2.1 數(shù)形結(jié)合思想在解答集合題目中的應(yīng)用

集合知識(shí)是整個(gè)高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系的基礎(chǔ)，在解答集合題目時(shí)，往往會(huì)涉及抽象度較高的運(yùn)算或概念，對(duì)于部分邏輯思維或抽象思維能力不強(qiáng)的學(xué)生而言具有一定難度.因此，需要結(jié)合實(shí)際情況，引導(dǎo)學(xué)生以多元化手段對(duì)此類問題進(jìn)行分析與解答，如運(yùn)用數(shù)形結(jié)合知識(shí)以更加直觀、清晰的方式梳理集合題目中所給條件，盡可能將抽象的條件轉(zhuǎn)化為具體條件，鍛煉學(xué)生靈活解決問題的能力，以此提升學(xué)生的高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

例1某高中向高一年級(jí)開放了三門選修課，分別為圍棋課、書法課以及繪畫課，某班有40名學(xué)生自愿報(bào)名參加選修課，具體報(bào)名情況如下：該班級(jí)中的40名學(xué)生每人至少選擇了一門選修課；在沒有選擇繪畫課的學(xué)生群體中，選擇書法課的人數(shù)為選擇圍棋課人數(shù)的2倍；只選擇繪畫課的學(xué)生人數(shù)比剩余的學(xué)生選擇繪畫課的多1人；在只選擇一種選修課的學(xué)生群體中，有一半學(xué)生并未選擇繪畫課.

問題1：只選擇書法課的學(xué)生人數(shù)為多少？

問題2：選擇繪畫課的學(xué)生人數(shù)為多少？

分析已知條件錯(cuò)綜復(fù)雜，若以傳統(tǒng)的計(jì)算方式或分析方式則無法確保學(xué)生快速、精準(zhǔn)地理清思路.此時(shí)，學(xué)生可以結(jié)合實(shí)際情況運(yùn)用數(shù)形結(jié)合手段對(duì)該類題目進(jìn)行分析，即分別將選擇圍棋課、書法課以及繪畫課的學(xué)生分別視為一個(gè)集合.以韋恩圖方式將題目中所給數(shù)據(jù)信息以及所繪制的集合進(jìn)行關(guān)聯(lián)，以此快速明確各類信息之間的關(guān)系，如圖1所示，集合圖.

解設(shè)集合A為選擇繪畫選修課的學(xué)生；集合B為選擇書法選修課的學(xué)生；集合C為選擇圍棋選修課的學(xué)生，而其中的a、b、c、d、e、f、g，分別代表僅選擇繪畫課的學(xué)生、僅選擇書法課的學(xué)生、僅選擇圍棋課的學(xué)生、選擇繪畫課與書法課的學(xué)生、選擇繪畫課與圍棋課的學(xué)生、選擇書法課與圍棋課的學(xué)生、選擇三種選修課的學(xué)生.然后根據(jù)題目中所給條件可以得出方程組：a+b+c+d+e+f+g=40

b+f=2（c+f）

a=b+c

d+e+g=a-1.最終解得a=11，b=10，c=1，a+d+e+f=21，d+e+g=10[1].綜上，可以得出只選擇書法課的學(xué)生人數(shù)為10人，選擇繪畫課的學(xué)生人數(shù)為21人.

2.2 分類討論思想在解答高中數(shù)列問題中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)問題中難免會(huì)存在分類討論，此時(shí)學(xué)生需要結(jié)合實(shí)際情況以分類討論思想對(duì)此類問題進(jìn)行解答.以數(shù)列問題為例，在分類討論數(shù)列相關(guān)問題時(shí)存在通項(xiàng)公式的不確定性、公差和公差比的不確定性等，尤其是對(duì)于部分分別考慮奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)公式的數(shù)列，在實(shí)際解答過程中需要明確偶數(shù)項(xiàng)、奇數(shù)項(xiàng)之間潛在的關(guān)系，確保所形成的推理邏輯有據(jù)可依，使整個(gè)推理流程清晰明確、嚴(yán)謹(jǐn)正確[2].

例2已知數(shù)列1，2x，3x2，4x3，…，求它的前n項(xiàng)和.

分析通過對(duì)題目分析，可以發(fā)現(xiàn)本題并沒有明確指出數(shù)列為等比數(shù)列，所以，在分類討論時(shí)還需要考慮x=0這一情況.

解假設(shè)Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1，

當(dāng)x=0時(shí)，Sn=1；

當(dāng)x=1時(shí)，Sn=1+2+3+…+n=n（n+1）2；

當(dāng)x≠0且x≠1時(shí)，

由Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1，

得xSn=x+2x2+…+（n-1）xn-1+nxn，

兩式相減：（1-x）Sn=1+x+x2+…+xn-1-nxn=1-xn1-x-nxn，

∴Sn=1-xn-nxn（1-x）（1-x）2.

綜上所述：

Sn=1，（x=0）

n（n+1）2，（x=1）

1-xn-nxn（1-x）（1-x）2，（x≠0，x≠1）

2.3 化歸思想在解答高中平面向量與三角函數(shù)問題中的應(yīng)用

例3已知向量a=（2sinx，cos2x-sin2x），向量b=（3cosx，1），且x∈R.函數(shù)f（x）=a·b的最小正周期為π，若在△ABC中f（B）=-2，BC=3，sinB=3sinA，求BC·BA的值.

分析該題屬于綜合性題目，主要考查學(xué)生對(duì)向量相關(guān)知識(shí)與三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)的掌握程度.在解答該題目時(shí)需要學(xué)生利用化歸思想，根據(jù)具體要求靈活運(yùn)用三角函數(shù)、向量等高中數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而化難為易完成解題［3］.

解設(shè)△ABC中A、B、C三個(gè)角分別對(duì)應(yīng)的邊為a、b、c，已知f（x）=a·b=23sinxcosx+cos2x-sin2x=3sin2x+cos2x=2sin（2x+π6），f（B）=-2，可以得出2sin（2B+π6）=-2，又因?yàn)锽∈（0，π），∴B=2π3.由BC=3，可以得出a=3，又因?yàn)閟inB=3sinA，所以b=3，a=3.利用正弦定理可得3sinA=3sin2π3，進(jìn)而計(jì)算出sinA=12.由于A的取值范圍是（0，π3），所以A=π6，所以c=π6，c=a=3.故BC·BA=cacosB=3×3×cos2π3=-32.

2.4 方程思想在解答高中導(dǎo)數(shù)問題中的應(yīng)用

例4已知兩實(shí)數(shù)m、n分別滿足方程式lnx+x-2=0、ex+x-2=0，則函數(shù)y=xln|x|+m+n的極大值為（）.

A.2-eB.2+1eC.1+1eD.1+e

解析通過對(duì)題目進(jìn)行分析可知，ex+x-2=0、lnx+x-2=0，∴ex=2-x、lnx=2-x，又因?yàn)閥=ex與y=lnx互為反函數(shù)，因此圖象關(guān)于y=x對(duì)稱.由x=y

x=2-y，得：x=y=1.又因?yàn)閷?shí)數(shù)m、n分別為y=lnx，y=ex和y=2-x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以m+n=2，則函數(shù)為y=lnx|x|+2，此時(shí)去掉絕對(duì)值可以得到f（x）=xlnx+2，x＞0

xln-x+2，x＜0

當(dāng)x＞0時(shí)，f ′（x）=1+lnx，可以得到當(dāng)x∈（0，1e）時(shí)，f ′（x）＜0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（1e，+∞）時(shí)，f ′（x）＞0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞增[4].因此，f（x）在x=1e取得極小值，題目中并未給出該選項(xiàng)，故不滿足題意.

當(dāng)x＜0時(shí)，f ′（x）=1+ln （-x），可以得到當(dāng)x∈（-∞，-1e）時(shí)，f ′（x）＞0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈-1e，0時(shí)，f ′（x）＜0，所以f（x）單調(diào)遞減.因此，f（x）在x=-1e處時(shí)取得最大值，此時(shí)f（-1e）=2+1e.所以正確選項(xiàng)為B.

在解答高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)問題時(shí)，運(yùn)用方程思想進(jìn)行解答的方式較為常見.由于導(dǎo)數(shù)問題本身具有較強(qiáng)的復(fù)雜性與邏輯性，需要在實(shí)際解題前以宏觀視角對(duì)整個(gè)問題進(jìn)行分析與挖掘.

3 核心素養(yǎng)導(dǎo)向下提高高中數(shù)學(xué)解題思維與能力的方法3.1 理解與掌握數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，做好歸納與整理

數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間具有一定的潛在聯(lián)系，為幫助學(xué)生系統(tǒng)化地理解與掌握數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，教師應(yīng)立足于大單元概念，借助思維導(dǎo)圖、流程圖等現(xiàn)代化教育教學(xué)工具，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)歸納與整理數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，進(jìn)而使學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)有深層次的理解，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用轉(zhuǎn)化.

3.2 總結(jié)與反思解題過程，做好梳理與優(yōu)化

通過總結(jié)與反思解題過程，能夠讓學(xué)生再次思考解題步驟方法，進(jìn)而梳理出最佳的解題流程，達(dá)到校驗(yàn)與優(yōu)化解題的目的.同時(shí)，在總結(jié)與反思期間，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能夠得到進(jìn)一步的啟發(fā)，進(jìn)而對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用有更深的理解，并對(duì)掌握舉一反三的解題思想與技巧十分有利.

4 結(jié)束語

在核心素養(yǎng)導(dǎo)向下，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)解題思維與能力的培養(yǎng).具體可以從強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等方面開展高中數(shù)學(xué)解題培養(yǎng)，同時(shí)從理解與掌握數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，做好歸納與整理、總結(jié)與反思解題過程，做好梳理與優(yōu)化兩方面，不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題思維與能力，進(jìn)而有效促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展，提高學(xué)生解題效率和質(zhì)量.

參考文獻(xiàn)：

[1]季金斌.核心素養(yǎng)視角下的高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)策略[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（教育理論），2022（3）：38-40.

[2] 楊永梅.基于核心素養(yǎng)下的高中生數(shù)學(xué)解題能力的培養(yǎng)[J].考試周刊，2020（27）：89-90.

[3] 李玉華.高中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在解題能力中的培養(yǎng)[J].魅力中國，2020（34）：46.

[4] 唐向前.在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中運(yùn)用設(shè)問滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[J].數(shù)學(xué)大世界（上旬版），2020（6）：70.

［責(zé)任編輯：李璟］