楊玉燦

摘要：“參數(shù)方程”是高中數(shù)學(xué)理科的重點(diǎn)內(nèi)容，也是理科數(shù)學(xué)高考的考查內(nèi)容之一；考試題目出現(xiàn)在試卷第22題（選做題），分值為10分.高考考查的知識點(diǎn)主要包括直線、圓和橢圓的參數(shù)方程，在第一輪復(fù)習(xí)時，要研究高考命題的難度和類型，有針對性地展開復(fù)習(xí)

關(guān)鍵詞：參數(shù)方程；高三數(shù)學(xué);第一輪復(fù)習(xí);課例

1考點(diǎn)分析

參數(shù)方程是理科數(shù)學(xué)選修4-4的內(nèi)容，主要包括：參數(shù)方程的概念、直線的參數(shù)方程、圓的參數(shù)方程、橢圓的參數(shù)方程等.同時，參數(shù)方程也是高考數(shù)學(xué)理科考查的內(nèi)容，題目出現(xiàn)在高考試卷的第22題.筆者對新疆2018年至2022年高考數(shù)學(xué)試卷中有關(guān)“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”考查的知識點(diǎn)列表（表1）統(tǒng)計如下：

備注：①直線的參數(shù)方程；②圓的參數(shù)方程；③橢圓的參數(shù)方程；④雙曲線的參數(shù)方程；⑤拋物線的參數(shù)方程.

新疆高考所用的試卷為新課標(biāo)全國卷Ⅱ或全國乙卷.筆者研究了近五年的高考理科數(shù)學(xué)試卷第22題（1）（2），其中（1）考查曲線（包括直線）的參數(shù)方程，（2）考查曲線的極坐標(biāo)方程.通過2018年至2022年五年的考卷，分析試卷的命題方向及其解題類型與方法，旨在為加高三第一輪復(fù)習(xí)提供幫助.

2題型總結(jié)

在高三第一輪復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容時，一方面要了解參數(shù)的幾何意義，另一方面還要掌握參數(shù)方程的形式及其基本應(yīng)用.筆者根據(jù)自己多年的教學(xué)經(jīng)驗，總結(jié)出參數(shù)方程的基本應(yīng)用有如下6種類型，僅供讀者參考.

2.1類型1：參數(shù)方程與普通方程的互化

例1填空（參數(shù)方程化為普通方程）：

（1）曲線C1：x=4cosθ，y=4sinθ（θ為參數(shù)）的普通方程為＿＿＿＿；

（2）曲線C2：x=t+1t，y=t－1t（t為參數(shù)）的普通方程為＿＿＿＿.

分析：本題為2020年高考第22題的改編，直接消去參數(shù)即可得普通方程.

解析：（1）曲線C1：x=4cosθ，y=4sinθ（θ為參數(shù)）方程組中的兩個式子兩邊平方后

相加，得x2+y2=16，即曲線C1的普通方程.

（2）曲線C2：x=t+1t，y=t－1t（t為參數(shù)）中的兩個式子兩邊平方后

相減，得x2－y2=4，即曲線C2的普通方程.

例2把下列的普通方程化為參數(shù)方程：

（1）x2+y2=9;

（2）x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）.

解析：

（1）曲線C1：x=3cosα，y=3sinα（α為參數(shù)）.

（2）曲線C2：x=acosα，y=bsinα（a>b>0，α為參數(shù)）.

[BP（]分析：例2（1）和（2）均可以通過平方法消去參數(shù)，所得方程即為曲線的普通方程，但要注意變量x，y的取值范圍.[BP）]

點(diǎn)評：參數(shù)方程與普通方程兩種形式的互化體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

2.2類型2：求直線與曲線的參數(shù)方程

例3如圖1，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M是圓O：x2+y2=1上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為N，試求線段MN中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線.

分析：本題可以利用求曲線方程的“五步法”求出曲線的參數(shù)方程.

解析：設(shè)P（x，y），M（x0，y0），則N（x0，0）.

由點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn)，可得x=x0，y=y02.

因為M是圓O上的任意一點(diǎn)，

又圓O：x2+y2=1的參數(shù)方程為x=cosθ，y=sinθ（θ為參數(shù)），所以x0=cosθ，y0=sinθ.

所以點(diǎn)P的參數(shù)方程為x=cosθ，y=12sinθ（θ為參數(shù)），

普通方程為x2+4y2=1，點(diǎn)P的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓.

點(diǎn)評：本題是求曲線的參數(shù)方程，結(jié)合所給的圖形，設(shè)出參數(shù)θ，建立關(guān)于參數(shù)θ的方程，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

2.3類型3：利用參數(shù)方程解決函數(shù)的最值問題

例4已知實數(shù)x，y滿足（x－2）2+（y－1）2=1，試求：

（1）S=x+y的最值；（2）T=x2+y2的最值.

解析：（1）將（x－2）2+（y－1）2=1化為參數(shù)方程

x=2+cosα，y=1+sinα（α為參數(shù)，α∈［0，2π）），代入S=x+y，得

S=（2+cosα）+（1+sinα）

=3+2sinα+π4.

所以，當(dāng)α=π4時，S取得最大值3+2；當(dāng)α=5π4時，S取得最小值3－2.

（2）結(jié)合（1）中的參數(shù)方程，得

T=x2+y2

=（2+cosα）2+（1+sinα）2

=6+25sin（α+φ）.

由于tanφ=2，因此當(dāng)sinα=55，cosα=255

時，T取得最大值6+25，當(dāng)

sinα=-55，cosα=-255

時，T取得最小值6－25.

點(diǎn)評：本題是利用圓的參數(shù)方程，通過“三角換元”轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題.這也是我們求最值常用的三角換元法.對于（2）也可以用“幾何法”求解，式子x2+y2的幾何意義是原點(diǎn)到圓（x-2）2+（y-1）2=1上點(diǎn)的距離的平方.

2.4類型4：利用參數(shù)方程解決曲線上的點(diǎn)到直線距離的最值問題

例5在橢圓C：x29+y24=1上求一點(diǎn)M，使其到直線l：x+2y－10=0的距離最短，并求出這個最短距離.

解析：利用橢圓C的參數(shù)方程可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3cosα，2sinα），則點(diǎn)

M到直線l的距離

d=|3cosα+4sinα－10|5=5|sinα+φ－2|.

當(dāng)sinα+φ=1時，點(diǎn)M到直線l的距離最短.由于tanφ=34，

因此sinα=45，cosα=35時，點(diǎn)M95，85，最短距離為5.

點(diǎn)評：先把橢圓的普通方程化為參數(shù)方程，再把點(diǎn)M到直線l的距離轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的三角函數(shù)的最值問題.

本題也可以采用平移相切法來處理.

本題采用三角換元法解題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的化歸思想.

2.5類型5：利用參數(shù)方程解決弦長問題

例6求直線C1：x=1+tcos60°，y=tsin60°（t為參數(shù)）被圓C2：x2+y2=1所截得的弦長.

解析：將直線C1：x=1+tcos60°，y=tsin60°（t為參數(shù)）代入x2+y2=1，整理，得

t2+t=0，解得t1=0，t2=－1.

所以，截得的弦長為|t2－t1|=1.

點(diǎn)評：根據(jù)參數(shù)t的幾何意義，|t|為直線上的點(diǎn)到點(diǎn)（1，0）的距離，可知|t2－t1|為直線被圓截得的弦長.

2.6類型6：曲線（包括直線）的參數(shù)方程的綜合性應(yīng)用問題

例7已知曲線C的參數(shù)方程為x=1+2t，y=at2（其中t為參數(shù)，a∈R），點(diǎn)M（5，4）在曲線C上.

（1）求常數(shù)a的值；（2）寫出曲線C的普通方程.

解析：（1）曲線C的參數(shù)方程x=1+2t，y=at2（t為參數(shù)）可化為普通方程4y=a（x－1）2.

由點(diǎn)M（5，4）在曲線C上，得

4×4=a（5－1）2，即a=1.

（2）由（1）知，曲線C的普通方程為（x－1）2=4y.

例8已知直線C1：x=1+tcosα，y=tsinα（t為參數(shù)），圓C2：x=cosθ，y=sinθ（θ為參數(shù)）.

（1）當(dāng)α=π3時，求C1與C2的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；

（2）過原點(diǎn)O作直線C1的垂線，垂足為A，P為OA的中點(diǎn)，當(dāng)角α發(fā)生變化時，試求動點(diǎn)P的軌跡.

解析：（1）當(dāng)α=π3時，可得直線C1的普通方程y=3（x－1）.圓C2：x=cosθ，y=sinθ（θ為參數(shù)）的普通方程為x2+y2=1.

由x2+y2=1，y=3（x-1），解得x1=12，y1=－32，或x2=1，y2=0.所以C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為12，－32和（1，0）.

（2）因為C1的普通方程為

xsinα－ycosα－sinα=0，①

所以過坐標(biāo)原點(diǎn)且垂直于C1的直線方程為

xcosα+ysinα=0.②

聯(lián)立①②，可得A（sin2α，－sinαcosα）.

當(dāng)角α發(fā)生變化時，點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程為

x=12sin2α，y=－12sinαcosα（α為參數(shù)）.

消去參數(shù)α，可得點(diǎn)P的軌跡的普通方程

x－142+y2=116.

故點(diǎn)P的軌跡是圓心為14，0，半徑為14的圓.

點(diǎn)評：本題考查了直線與圓的參數(shù)方程以及直線與圓的位置關(guān)系.

3結(jié)束語

本課例列舉了參數(shù)方程的六種題型，通過本節(jié)課的教學(xué)，幫助學(xué)生厘清參數(shù)方程的題型特征與解題方法，學(xué)會分析與思考解參數(shù)方程相關(guān)問題的通性與通法.本文中根據(jù)近五年高考第22題列表統(tǒng)計與分析，幫助老師和學(xué)生了解高考有關(guān)參數(shù)方程命題的方向，另外，通過對這些題型的探究與解析，幫助學(xué)生學(xué)會分析其他數(shù)學(xué)難題，拓展參數(shù)方程的應(yīng)用范圍.由于“參數(shù)方程”在高考數(shù)學(xué)中特殊而重要的地位，因此在第一輪復(fù)習(xí)時，要研究高考命題的難度和類型，從而有針對性地進(jìn)行第一輪復(fù)習(xí)，且要注意復(fù)習(xí)的實效性，切實讓學(xué)生弄懂學(xué)會，在應(yīng)對高考或“?？肌睍r，信心滿滿，游刃有余！并在此過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理等核心數(shù)學(xué)素養(yǎng).