趙艷輝 唐作明 廖春艷 李娜

摘?要：數(shù)學學科是一個推理嚴謹?shù)难堇[邏輯知識體系，知識的發(fā)生和發(fā)展都有其內(nèi)在的邏輯關系。本文主要基于師范專業(yè)認證指標體系中對學科素養(yǎng)的要求，從數(shù)學學科的角度探討在數(shù)學專業(yè)核心課程的教學中“理解數(shù)學教學”的重要性，以具體的數(shù)學知識為載體從三個不同方面來“理解數(shù)學教學”，培育學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，更好地做實“師范專業(yè)認證”。

關鍵詞：師范專業(yè)認證；理解數(shù)學教學；數(shù)學核心素養(yǎng)

中圖分類號：G642??文獻標識碼：A

Abstract：Mathematics?is?a?rigorous?deductive?logic?knowledge?system，and?the?occurrence?and?development?of?knowledge?have?inherent?logical?relationships.This?article?is?mainly?based?on?the?requirements?for?subject?literacy?in?the?normal?professional?certification?indicator?system，and?explores?the?importance?of?"understanding?mathematics?teaching"?in?the?teaching?of?core?courses?of?mathematics?majors?from?the?perspective?of?mathematics?subjects.Using?specific?mathematical?knowledge?as?a?carrier，"understanding?mathematics?teaching"?is?carried?out?from?three?different?aspects?to?cultivate?students'?mathematical?core?literacy?and?better?implement?"normal?professional?certification".

Keywords：Normal?professional?certification；Understanding?mathematics?teaching；Mathematical?core?literacy

2017年10月，教育部下發(fā)了《普通高等學校師范類專業(yè)認證實施辦法（暫行）》［1］及相關文件，認證以“學生中心、產(chǎn)出導向、持續(xù)改進”為基本理念。目前數(shù)學師范專業(yè)的教學主要以傳授數(shù)學學科知識為主，強調(diào)學生對數(shù)學知識的系統(tǒng)掌握，在課堂教學中主要存在以下問題：（1）缺乏問題意識，課堂教學中教師主要是陳述教學內(nèi)容，沒有設計合理的問題情境，引導學生主動提出問題少，對學生提出問題的能力培養(yǎng)不足。（2）教學過程重結(jié)果輕過程，關注知識背景和應用少，導致學習過程不完整。（3）重解題技能技巧輕數(shù)學思想方法的概括和提煉，導致機械模仿多、獨立思考少，沒有數(shù)學思維或數(shù)學思維層次不高。這些都忽視了學生作為準教師的核心素養(yǎng)的培育，只注重了“教什么”的問題，對“怎么教”“為什么這樣教”的問題沒有給予足夠的關注，導致培養(yǎng)出來的未來師資核心素養(yǎng)不足，缺乏解決實際問題的能力。

對于數(shù)學專業(yè)師范生的數(shù)學核心素養(yǎng)的培育研究及案例，大多數(shù)都是基于高中數(shù)學核心素養(yǎng)討論高等數(shù)學的教學研究及案例，如文獻［2］—［4］。文獻［5］根據(jù)教師核心素養(yǎng)內(nèi)涵要求，提出了促進師范生核心素養(yǎng)生成與發(fā)展的持續(xù)改進建議和對策。根據(jù)師范專業(yè)認證指標體系中對學科素養(yǎng)的要求，數(shù)學專業(yè)師范生應具有較扎實的數(shù)學基礎和較強的數(shù)學語言表達能力及數(shù)學思維能力，掌握數(shù)學學科的思想方法，具備數(shù)學研究或運用數(shù)學知識解決實際問題的初步能力，為此本文將從以下三個方面探討如何正確理解“數(shù)學教學”，以保證數(shù)學專業(yè)師范生核心素質(zhì)要求的達成。

1?理解數(shù)學問題比數(shù)學證明更重要

數(shù)學課堂教學的本質(zhì)是教學生學會思考，所以，好的數(shù)學課堂一定是有學生思維參與的課堂，而不僅僅是學生的行為參與。學生的思維參與度越高，課堂教學效果越好，而思維始于問題，所以，數(shù)學課堂教學一定要通過設計切近學生思維最近發(fā)展區(qū)的問題鏈（串）來一步一步催生出學生的思維智慧，要讓學生在問題鏈（串）的引導下自己生發(fā)出好的想法，尋找到好的結(jié)論。數(shù)學學習離不開數(shù)學定理、公式、法則，而對這些內(nèi)容的學習通常采用的是直接給出數(shù)學定理、公式、法則的內(nèi)容，然后給出證明，有時甚至連證明都沒有，直接告訴學生，要求學生記住。如果在數(shù)學定理、公式、法則的學習過程中為學生建立一個從已學知識到問題目標之間的思維導圖，以問題為導向，逐步引導學生思維的方向和方法，通過自主、合作、探究的學習方式與啟發(fā)、討論、參與的教學方式，建立起已學知識點到問題終點之間的邏輯思維鏈接，使學生親身經(jīng)歷研究一個數(shù)學對象的基本過程，不僅能幫助學生理解和掌握數(shù)學定理、公式、法則，而且在這一過程中學生能慢慢掌握一些數(shù)學思維方法和研究數(shù)學問題的方法。

案例1：在“數(shù)學分析”課程的“格林公式”教學中，可以設置如下問題：

格林公式［6］：若函數(shù)P（x，y）、Q（x，y）在閉區(qū)域D上連續(xù)，且有連續(xù)的一階偏導數(shù)，則有：

D（Qx-Py）dxdy=∮LPdx+Qdy（1）

這里L為區(qū)域D的邊界曲線，分段光滑，并取正向。

問題1：GPS面積測量儀的原理是什么？

分析：數(shù)學來源于生活，數(shù)學的發(fā)展離不開社會生產(chǎn)生活的實際需要。反過來，數(shù)學的發(fā)展又能更好地促進科技的發(fā)展，改善人們的生活。引導學生學會用數(shù)學的眼光思考問題，學會將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，提高數(shù)學學習興趣。結(jié)合二重積分的幾何意義（可以用來求平面區(qū)域的面積）和第二型曲線積分的計算方法，將問題1轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題2。

問題2：平面閉區(qū)域上的二重積分是否可以通過沿閉區(qū)域邊界曲線上的曲線積分來表示？如圖1。

分析：引導學生回憶微積分基本定理。

∫baF′（x）dx=F（b）-F（a）?（牛頓萊布尼茨公式）（2）

思考牛頓萊布尼茨公式的本質(zhì)？

其本質(zhì)為“將對區(qū)間內(nèi)部的積分轉(zhuǎn)化成對區(qū)間邊界上的積分”的偉大思想。

問題2即為以下數(shù)學式子：

D（?）dxdy=∫LPdx+∫LQdy（3）

仔細觀察（3）式并思考：牛頓萊布尼茲公式左邊被積函數(shù)是一元函數(shù)，且是右邊函數(shù)的導數(shù)Ｆ′（x）。則對于（3）式，左邊被積函數(shù)是二元函數(shù)，那么它應該是右邊函數(shù)的偏導數(shù)形式。

問題3：它們是對x的偏導數(shù)，還是對y的偏導數(shù)呢？

分析：觀察（3）式，結(jié)合曲線積分的計算方法和二重積分的計算方法，P（x，y）應該對y求偏導數(shù)，Q（x，y）應該對x求偏導數(shù)，所以（3）式左邊的被積函數(shù)應含有兩個偏導數(shù)：P（x，y），Q（x，y）。

問題4：（3）式等號兩邊之間有什么對應關系？

分析：公式（3）左邊被積表達式中含Q的項應該與公式右邊被積表達式中含Q的項相對應，含P的項應該與含P的項相對應，即：

DP（x，y）dxdy∫LPdx，DQ（x，y）dxdy∫LQdy

問題5：你能寫出（3）式的具體表達式并給出嚴謹證明嗎？

問題6：證明中需要先解決什么問題？

分析：第二型曲線積分有方向，而二重積分沒有方向，所以先解決積分曲線中的方向。

案例1中，最能體現(xiàn)思維智慧的是將第二型曲線積分與二重積分聯(lián)系起來。根據(jù)微積分基本定理，通過設計層層遞進的思維邏輯問題鏈，引導學生思維不斷深入，實現(xiàn)啟發(fā)思維的最高境界。從實際生活中引入問題1，貼近生活，體現(xiàn)了數(shù)學的實用價值。問題2引導學生思維創(chuàng)新，實現(xiàn)了學生思維的自我超越。問題3、4引導學生有理有據(jù)、合情合理地進行數(shù)學思考，找到解決問題的思路和方法。問題5、6引導學生運用數(shù)學語言進行嚴謹?shù)臄?shù)學表達，培養(yǎng)學生邏輯推理、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)，做實“學生中心”的“師范專業(yè)認證”工作。

2?理解數(shù)學過程比數(shù)學結(jié)論更重要

數(shù)學教材中有大量的數(shù)學結(jié)論，有的學生對這些數(shù)學結(jié)論盡管記憶很準確，但在真正解題時，卻經(jīng)常感到束手無策，其根本的原因是學生對記住的知識不理解，不清楚知識發(fā)生發(fā)展和形成過程中所運用的思維方法。如關于重要極限式limx→0sinxx=1的學習，很多教師都會強調(diào)此極限式需要滿足兩個條件：（1）是00型極限式。（2）函數(shù)是sin□□的形式，其中□里的表達式相同。然后進行大題量的重復訓練來幫助學生掌握此極限式，致使很多學生一直弄不清為什么要滿足兩個條件。

案例2：重要極限式limx→0sinxx=1的學習。

問題1：怎樣建立sinx與x之間的聯(lián)系？其中x是什么？

分析：聯(lián)想到三角函數(shù)的學習通常都與單位圓有關，x是圓心角的弧度數(shù)，運用數(shù)形結(jié)合思想構(gòu)造如圖2的圖形。

問題2：在圖2中sinx與x分別與什么幾何量有關？怎樣得到sinxx？

分析：當0

1

問題3：在其他象限（4）式還成立嗎？如當-π2

分析：因為xsinx與1cosx都是偶函數(shù)，所以（4）式成立；由夾逼性即知極限式成立。

此問題串的妙處在于設問的指向不是數(shù)學結(jié)論即“是什么”，而是推理過程即“為什么”。指向數(shù)學結(jié)論的設問只能實現(xiàn)考查學生記憶力的目標，而指向推理過程的設問，其考查目標是思維智慧。所以，數(shù)學教學要通過教過程來發(fā)展學生的思維智慧和數(shù)學能力，問題解決要由教“是什么”轉(zhuǎn)向教“為什么”。問題1和問題2將高等數(shù)學中的知識與初等數(shù)學知識建立聯(lián)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，強調(diào)數(shù)學學習更重要的是掌握具體知識中蘊藏的數(shù)學思想方法，培育數(shù)學核心素養(yǎng)。問題3將問題2推廣，體現(xiàn)了特殊與一般的數(shù)學思想。而且由不等式“sinx

3?理解數(shù)學思想比數(shù)學知識更重要

數(shù)學思想有兩種：“一是數(shù)學產(chǎn)生以及數(shù)學發(fā)展過程中所必須依賴的那些思想。二是學習過數(shù)學的人所具備的思維特征?！保?］思想方法是找到解題方法的方法，一個數(shù)學思想可以生發(fā)多種解題方法，一種解題方法可以解決大量的具體問題，所以，數(shù)學教學一定要高度重視引導學生感悟和領會數(shù)學思想方法，以實現(xiàn)數(shù)學知識和方法更好地遷移運用。

在“數(shù)學分析”課程的學習過程中，極限思想和微分思想、定積分思想是三個非常重要的數(shù)學思想，也是核心概念。極限思想貫穿“數(shù)學分析”課程始終，是最基本的思想；多元函數(shù)積分學部分由于積分類型多、積分區(qū)域的復雜性及計算公式多等因素使很多學生頭痛焦慮。但如果理解了定積分思想的內(nèi)涵，用定積分思想統(tǒng)領全局，多元函數(shù)積分學的計算就明朗多了。一元函數(shù)的定積分通過“分割”“取點”“求和”“取極限”四個步驟實現(xiàn)“化整為零，積零為整”的思想，“以直代曲”“以不變代變”是定積分思想的核心。以“分割”“取點”“求和”“取極限”四個步驟反映的基本思想為紐帶，通過類比、推廣、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法的運用，形成了多元函數(shù)的重積分、曲線積分和曲面積分的概念，這樣使多元函數(shù)的重積分、曲線積分和曲面積分等不同形式的積分有了統(tǒng)一的定義方式，再根據(jù)相關內(nèi)容的邏輯順序，利用微積分基本定理的思想通過格林公式、高斯公式和斯托克斯公式將多元函數(shù)的積分學內(nèi)容相互溝通，使整個積分學部分形成一個邏輯嚴密的有機整體，加深對“數(shù)學分析”積分學部分的整體認識，使定積分思想得到螺旋上升式的重復，不斷提升學生的數(shù)學抽象核心素養(yǎng)，做實“產(chǎn)出導向”的“師范專業(yè)認證”工作。

4?總結(jié)

數(shù)學是思維的科學，數(shù)學的研究對象是數(shù)量關系和空間形式，人類對數(shù)量關系和空間形式的研究方法主要是思維和計算，思維的方法主要有抽象概括、邏輯推理、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論、特殊與一般等，對這些思維方法的靈活運用是一個人的數(shù)學智慧與思維能力的體現(xiàn)。而計算的基礎也是思維，且計算本身也是一種思維活動，所以，思維是數(shù)學學科最本質(zhì)的特征，所以在具體數(shù)學知識的學習過程中和具體問題解決的實踐中，要注重思維訓練，使學生學會數(shù)學思維方法，能進行嚴謹?shù)倪壿嬐评?，掌握?shù)學運算的方法和技巧，發(fā)展思維能力，培育理性精神。

培育學生的數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學教育的根本價值追求，因為只有素養(yǎng)才能使學生形成可持續(xù)的自主發(fā)展能力。數(shù)學核心素養(yǎng)的形成需要以數(shù)學知識為載體，這就要求數(shù)學教師在平時的課堂教學中要理解數(shù)學教學的內(nèi)涵，以恰當適切的教學方式引導學生學會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界，培育學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，做實師范專業(yè)認證工作。

參考文獻：

［1］教育部.教育部關于印發(fā)《普通高等學校師范類專業(yè)認證實施辦法（暫行）》的通知［EB/OL］.（20171026）［20171102］.http：//www.moe.gov.cn/srcsite/A10/s7011/201711/t20171106_318535.html.

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［7］史寧中.漫談數(shù)學基本思想［J］.中國大學教學，2011（7）：911.

基金項目：湖南省普通高等學校教學改革研究項目：“師范專業(yè)認證背景下數(shù)學專業(yè)師范生核心素養(yǎng)的培育研究”（項目編號：HNJG20210195）；湖南科技學院校級線下一流課程《數(shù)學分析》（項目編號：湘科院教發(fā)［2019］66號，序號10）；湖南省普通高等學校教學改革研究項目（項目編號：HNJG20231109）

作者簡介：趙艷輝（1969—?），女，漢族，湖南益陽人，碩士，教授，研究方向：高等數(shù)學教育教學。