邵凱花 馬金萍 王青青 席保龍 石玉仁

DOI：10.16783/j.cnki.nwnuz.2024.03.005

收稿日期：2023-12-10;修改稿收到日期：2024-02-05

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目（12065022）

作者簡介：邵凱花（1997—），女，甘肅天水人，碩士研究生.主要研究方向為非線性物理.

E-mail：2859854460@qq.com

*通信聯(lián)系人，男，教授，博士，博士研究生導(dǎo)師.主要研究方向為非線性物理.

E-mail：shiyr@nwnu.edu.cn

摘要：數(shù)值研究PT對稱勢下具有自旋軌道耦合玻色-愛因斯坦凝聚體的能帶結(jié)構(gòu).用傅立葉配置法求解布洛赫能帶，分析PT對稱晶格勢的深度、虛部相對大小、自旋軌道耦合強度和拉比耦合強度對能帶結(jié)構(gòu)的影響.結(jié)果表明，第一、二能帶的上下邊沿隨晶格深度的增加而上升，但能帶寬度變窄；當(dāng)PT對稱晶格勢的虛部大于臨界值時，第一和第二能帶發(fā)生重疊；隨著自旋軌道耦合強度的增大，第一和第二能帶的上下邊界均減小；拉比耦合強度對能帶結(jié)構(gòu)也具有重要影響.

關(guān)鍵詞：玻色-愛因斯坦凝聚；PT對稱勢；自旋軌道耦合；能帶結(jié)構(gòu)

中圖分類號：O 145??? 文獻標(biāo)志碼：A??? 文章編號：1001-988Ⅹ（2024）03-0042-06

Band structures in spin-orbit coupled Bose-Einstein

condensate with PT symmetric potential

SHAO Kai-hua，MA Jin-ping，WANG Qing-qing，XI Bao-Long，SHI Yu-ren

（College of Physics and Electronic Engineering，Northwest Normal University，Lanzhou 730070，Gansu，China）

Abstract：The band structures in spin-orbit coupled Bose-Einstein condensate with PT symmetric potential are investigated numerically.The Bloch bands are obtained by the Fourier collocation method and the effects of the depth of PT symmetric lattice potential，the magnitude of imaginary part，the spin-orbit coupled strength and the Rabi coupling strength on band structures are analyzed.The results indicate that the upper and lower boundaries of the first and second bands increase with the increase of lattice depth，but the width of band becomes narrower.The first and second bands overlap when the imaginary part of the PT symmetric lattice potential is larger than the critical value.For the first and second bands，their upper and lower boundaries decrease with the increase of spin-orbit coupled strength.It is also found that the Rabbi coupling strength also has an important effect on the band structure.

Key words：Bose-Einstein condensate;PT symmetric potential;spin-orbit coupling;band structure

玻色-愛因斯坦凝聚（Bose-Einstein conden- sate， BEC）是指系統(tǒng)的溫度低于臨界溫度時，所有原子都聚集在最低能級上的宏觀量子現(xiàn)象［1］.1995年，Cornell等［2］通過激光冷卻和射頻蒸發(fā)冷卻技術(shù)首次在170 nK的低溫下獲得了87Rb原子的BEC.同年，Ketterle等［3］利用塞曼減速技術(shù)冷卻的原子束系統(tǒng)實現(xiàn)了23Na原子的BEC.之后，科學(xué)家們陸續(xù)實現(xiàn)了各種原子的BEC，使得其在物理研究中獲得了重要的地位.

在超冷原子氣體中，自旋軌道耦合（Spin-orbit coupling， SOC）的加入為探索新的量子現(xiàn)象提供了平臺.自2011年實驗上成功實現(xiàn)了帶有SOC的87Rb BEC［4］以來，激發(fā)了人們對量子相變、拓?fù)浼ぐl(fā)以及自旋電子器件等的興趣.實驗上BEC被外勢束縛，如光晶格勢［5］、諧振子勢［6］、同心耦合環(huán)形阱［7］、徑向周期阱［8］等.在光晶格周期勢中，非線性相互作用會明顯改變布洛赫帶的結(jié)構(gòu)，使能帶在第一布里淵區(qū)的邊界處呈現(xiàn)出燕尾形狀的環(huán)狀結(jié)構(gòu)［8］.并且，晶格勢和SOC的結(jié)合極大地擴展了冷原子的可調(diào)性，為研究BEC的相關(guān)物理特性提供了很好的平臺，例如Bloch 振蕩［9］、Landau-Zener 隧穿［10］、局域化等.

宇稱-時間（parity-time， PT）對稱是物理學(xué)的熱門研究領(lǐng)域.1998年，Bender等［11］提出了一個具有PT對稱的非厄米哈密頓量仍然具有完全實數(shù)的能譜.同時，非厄米系統(tǒng)中的PT對稱勢平衡了系統(tǒng)的增益和損耗.實驗中，增益可通過使用原子激光器將原子注入冷凝物來實現(xiàn)［12］，損耗采用激光束將原子激發(fā)到激發(fā)態(tài)，然后通過光子反沖將它們從凝聚物中噴射出來而實現(xiàn)［13］.隨著研究的進展，許多研究表明PT對稱性在各個領(lǐng)域具有豐富的研究內(nèi)容.2022年，Qin等［14］的研究表明，在PT對稱偽自旋1/2系統(tǒng)中，與動量相關(guān)的平衡增益和損耗可以合成虛SOC，可以改變系統(tǒng)的能譜.Zhang等［15］通過引入虛勢，從理論上研究了一維非厄米SOC Su-Schrieffer-Heeger模型的能帶結(jié)構(gòu).

本文考慮一準(zhǔn)二維SOC-BEC系統(tǒng)，用傅立葉配置法求解在PT對稱晶格勢下的線性能帶結(jié)構(gòu)，詳細(xì)研究系統(tǒng)中各物理參量（如晶格的深度、自旋軌道耦合強度、拉比耦合強度等）對能帶結(jié)構(gòu)的影響.

1? 理論模型與方法

1.1? 理論模型

將一準(zhǔn)二維SOC-BEC束縛在外勢中，經(jīng)無量綱處理后，在平均場近似下系統(tǒng)的動力學(xué)行為可用如下耦合Gross-Pitaevskii（GP）方程組描述［16］

iΨ↑t=［-2+V+g11Ψ↑2+

g12Ψ↓2］Ψ↑+iκ-Ψ↓+ΓΨ↓，

iΨ↓t=［-2+V+g21Ψ↑2+

g22Ψ↓2］Ψ↓+iκ+Ψ↑+ΓΨ↑，（1）

其中，Ψ↑↓=Ψ↑↓（r，t）表示波函數(shù);r=（x，y），g11，g22和g12分別表征原子種內(nèi)和種間相互作用強度，其具體表達式請參看文獻［16］;2=2x2+2y2是二維拉普拉斯算符;κ和Γ分別表示SOC強度和拉比耦合強度，±=/x±i/y.V為PT對稱晶格勢，可寫為［17］

V（x，y）=VR（x，y）+iVI（x，y），（2）

滿足V（x，y）=V*（-x，-y），即V（x，y）的實部VR為偶函數(shù)，虛部VI為奇函數(shù).這里我們選擇PT對稱晶格勢的實部和虛部分別為［18］

VR（x，y）=V0（cos2x+cos2y），（3）

VI（x，y）=V0×W0（sin（2x）+sin（2y）），（4）

其中，V0表示晶格深度，W0為PT對稱晶格勢虛部的相對大小.圖1為該周期晶格勢的實部和虛部的等值線圖，其在空間呈現(xiàn)明顯的周期結(jié)構(gòu).

1.2? 線性能帶結(jié)構(gòu)

若尋找方程（1）形式為

Ψ↑↓（x，y，t）=φ↑↓（x，y）e-iμt

的定態(tài)解，則化學(xué)勢μ和φ↑↓（x，y）滿足

μφ↑=（-2+V+g11φ↑2+

g12φ↓2）φ↑+iκ-φ↓+Γφ↓，

μφ↓=（-2+V+g12φ↑2+

g22φ↓2）φ↓+iκ+φ↑+Γφ↑.

（5）

由于φ↑↓（x，y）和V（x，y）均為周期函數(shù)，其有界解可用布洛赫定理φ↑↓（x，y）=eik·r

φ↑↓（x，y）表示，其中波矢k=（kx，ky）.若φ↑↓（x，y）為小量，則方程（5）中非線性項可以忽略，得到本征方程

μ（k）φ↑=-（+ik）2φ↑+Vφ↑+

iκ-φ↓+Γφ↓，

μ（k）φ↓=-（+ik）2φ↓+Vφ↓+

iκ+φ↑+Γφ↑.（6）

特征值μ（k）的集合構(gòu)成布洛赫帶（Bloch bands）.

1.3? 傅立葉配置法

一般情況下，很難得到本征方程（6）的精確解析解，可考慮對其進行數(shù)值求解，如有限差分法或傅立葉配置法等.傅立葉配置法是一種高精度的數(shù)值方法，在此做一簡要介紹.

首先，將無界域（x，y）∈R2截斷為有界域：-Lx/2≤x≤Lx/2，-Ly/2≤y≤Ly/2，其中Lx和Ly分別為x和y方向的區(qū)間寬度.然后，在此有界域上定義內(nèi)積

f，g=∫f（x，y）g*（x，y）dxdy，

這里“*”表示復(fù)共軛.設(shè)

φ↑↓（x，y）=∑+∞m=-∞∑+∞n=-∞a↑，↓mnei（nk0x+mk0yy），

V（x，y）=∑+∞m=-∞∑+∞n=-∞bmnei（nk0x+mk0yy），

其中

k0x=2πLx， k0y=2πLy，

bmn=1LxLy∫Lx/2-Lx/2∫Ly/2-Ly/2V（x，y）

ei（nk0x+mk0yy）dxdy.

代入本征方程（6），并對求和指標(biāo)進行截斷后，得

μa↑mn=（-（ink0x）2-（imk0y）2+2nkxk0x+

2mkyk0y+（k2x+k2y））a↑mn+

∑+Nyl=-Ny∑+Nxj=-Nxbm-l，n-ja↑ij+

（c1-κnk0x+iκmk0y）a↓mn，

μa↓mn=（-（ink0x）2-（imk0y）2+2nkxk0x+

2mkyk0y+（k2x+k2y））a↓mn+

∑+Nyl=-Ny∑+Nxj=-Nxbm-l，n-ja↓ij+

（c2-κnk0x+iκmk0y）a↑mn.

n=-Nx，…，-1，0，1，…，Nx;

m=-Ny，…，-1，0，1，…，Ny.

其中c1=Γ-κkx+iκky，c2=Γ-κkx-iκky.此時本征方程（6）便轉(zhuǎn)化為離散的矩陣形式

A=μ，

其中本征矢=a↑mna↓mn，矩陣A是（2Nx+1）×（2Ny+1）階稠密方陣.隨著Nx和Ny的增加，會導(dǎo)致存儲量和計算量急劇增加.在后面計算中，取Ny=Nx=20.

作為特例，圖2給出了V0=-4，W0=0.1，κ=Γ=0.5時的布洛赫能帶結(jié)構(gòu).從圖3中可以看到一系列帶隙將布洛赫能帶分隔開來.通常將位于最低布洛赫能帶下面的帶隙稱為半無限帶隙，其它帶隙依次稱為第一帶隙、第二帶隙等等.這些帶隙在系統(tǒng)中起著非常重要的作用.圖3中，半無限帶隙的區(qū)域約為μ<-5.42，第一帶隙區(qū)域約為0.484<μ<-4.47.

圖3a和3b分別是圖2a沿kx和ky方向的投影圖.從圖3可以看出，布洛赫能帶沿kx方向關(guān)于kx=0不對稱，而沿ky方向關(guān)于ky=0對稱.

（V0=-4，W0=0.1，κ=Γ=0.5）

in PT symmetric lattice potential

（V0=-4，W0=0.1，κ=Γ=0.5）

2? 數(shù)值結(jié)果及分析

下面我們系統(tǒng)地計算晶格深度V0，PT對稱晶格勢的虛部W0，SOC強度κ以及拉比耦合強度Γ的變化對能帶結(jié)構(gòu)的影響.

2.1? PT對稱晶格勢對能帶結(jié)構(gòu)的影響

數(shù)值結(jié)果表明，PT對稱晶格勢的深度V0與W0對能帶結(jié)構(gòu)有著明顯的影響.圖4給出了能帶結(jié)構(gòu)隨 V0的變化，所選參數(shù)為W0=0.1，κ=Γ=0.5.從圖4可以看出，當(dāng)晶格深度V0很小時，能帶結(jié)構(gòu)出現(xiàn)了交疊，此時只存在半無限帶隙，第一帶隙和第二帶隙均沒有打開.隨著晶格深度V0的增加，第一能帶的下邊沿和上邊沿均上升，但能帶寬度變窄.當(dāng)V0增大至2.37時，第一帶隙開始出現(xiàn)且其寬度隨V0的增大而增大.當(dāng)V0大于2.47時，第二帶隙開始出現(xiàn)，且逐漸變寬.

圖5給出了V0=-4，κ=Γ=0.5時能帶結(jié)構(gòu)隨W0的變化.從圖5可以看到，隨著W0的增大，

半無限帶隙的上邊沿逐漸增大.當(dāng)W0<0.4時，

時，第一能帶和第二能帶的寬度變化并不明顯，但第一帶隙和第二帶隙的寬度則隨W0的增大而明顯變窄.當(dāng)W0增大至臨界值0.4時，所有能帶出現(xiàn)交疊，此時只存在半無限帶隙.

2.2? 自旋軌道耦合強度對能帶結(jié)構(gòu)的影響

自旋軌道耦合強度κ也是影響能帶結(jié)構(gòu)的重要參數(shù)之一.圖6給出了能帶結(jié)構(gòu)隨κ的變化，所選參數(shù)為V0=-4，W0=0.1，Γ=0.5.從圖6可以看出，隨著κ的增大，第一能帶和第二能帶的上邊沿均逐漸減小，能帶整體向下移動，其寬度也逐漸變窄.但當(dāng)κ增加到一定值時，它們的寬度變化不再明顯.在此過程中，第一帶隙和第二帶隙始終存在.

2.3? 拉比耦合對能帶結(jié)構(gòu)的影響

圖7給出了V0=-4，W0=0.1，κ=0.5時拉比耦合強度Γ對能帶結(jié)構(gòu)的影響.從圖7可以看出，在所選參數(shù)條件下，第一能帶的上下邊沿均隨Γ的增大而減小，且兩邊沿大致呈平行狀.值得注意的是，當(dāng)Γ<0.32時，圖7所示的第一帶隙并不存在（事實上此時圖7所示第二帶隙應(yīng)稱為第一帶隙）.當(dāng)Γ>0.32時，系統(tǒng)產(chǎn)生圖7所示第一帶隙，且其寬度隨著Γ的增大而增大.但當(dāng)Γ足夠大時，第一帶隙的寬度變化不再明顯.圖7中所示第二帶隙的變化則與此有點相反.隨著Γ的增加，第二帶隙的寬度明顯變窄.當(dāng)Γ>0.96時，第二帶隙消失.該結(jié)果表明拉比耦合強度對于系統(tǒng)的帶隙結(jié)構(gòu)也有著重要的影響.在實驗中，可通過調(diào)節(jié)其值控制和改變系統(tǒng)的能帶結(jié)構(gòu).

3? 結(jié)論

數(shù)值研究了PT對稱晶格勢下準(zhǔn)二維SOC-BEC中的線性能帶結(jié)構(gòu).在平均場近似下，BEC的動力學(xué)行為可用耦合GP方程組來描述.用傅立葉配置法數(shù)值求解了不同參數(shù)下的能帶結(jié)構(gòu).結(jié)果表明，隨著晶格深度V0的增加，第一能帶的上下邊沿均上升，但能帶寬度變窄.PT對稱勢的虛部W0存在臨界值，當(dāng)W0小于臨界值時，第一能帶和第二能帶的寬度變化并不明顯；W0大于臨界值時所有能帶出現(xiàn)交疊.隨著SOC強度κ的增大，第一能帶和第二能帶的上邊沿均逐漸減小，能帶整體向下移動，其寬度也逐漸變窄.系統(tǒng)的能帶和帶隙結(jié)構(gòu)也受拉比耦合強度Γ的影響.故實驗中可通過調(diào)節(jié)這些參數(shù)來改變能帶結(jié)構(gòu).

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（責(zé)任編輯? 孫對兄）