李建英

(忻州師范學院，山西忻州 034000)

?

關于近獨立子統(tǒng)計分布導出的探討

李建英

(忻州師范學院，山西忻州 034000)

[摘要]本文采用Darwin-Fowler平均法和Gibbs統(tǒng)計系綜理論，由熵和巨正則分布分別導出近獨立子的三種統(tǒng)計分布，克服了Boltzmann概率法在數(shù)學上人為假設的缺點，為三種統(tǒng)計分布的正確性提供了堅實的理論基礎。

[關鍵詞]玻色-愛因斯坦分布；費米-狄拉克分布；麥克斯韋-玻耳茲曼分布

任一宏觀量都是在一定宏觀條件下所有可能達到的微觀運動狀態(tài)的相應微觀量的統(tǒng)計平均值，在這一觀點的前提下，有不同的求統(tǒng)計平均值的方法，如Boltzmann的概率法、Darwin-Fowler的平均法、Gibbs的統(tǒng)計系綜理論.對于近獨立子的三種統(tǒng)計分布律導出，絕大部分教材采用Boltzmann的概率法，在導出過程中都假設ωi>>1，ni>>1，并使用了Stirling近似公式，實際上所作的假設未必能滿足，因此這是嚴重的缺陷，采用Darwin-Fowler的平均法和Gibbs的統(tǒng)計系綜理論導出所述的分布律則不存在數(shù)學上人為假設的缺點，為它們的正確性提供了堅實的理論基礎.

1用Gibbs的統(tǒng)計系綜理論，由巨正則分布導出近獨立子的三種統(tǒng)計分布

考慮全同近獨立子體系的巨正則系綜，其布函數(shù)為

配分函數(shù)為

1.1Boss-Einstein分布律

玻色子的能級分布{ni}的總量子狀態(tài)數(shù)為

配分函數(shù)為

能級εi上的平均粒子數(shù)為

1.2Fermi-Dirac分布律

費米子遵守Pauli原理，ωi≥ni，能級分布{ni}的總量子狀態(tài)數(shù)為

巨正則配分函數(shù)為

能級εi上的平均粒子數(shù)為

1.3Maxwell-Boltzmann分布律

離域獨立子經(jīng)典體系，能級分布{ni}的總量子狀態(tài)數(shù)為

巨正則配分函數(shù)為

2用Darwin-Fowler的平均法，由熵引出三種統(tǒng)計分布

考慮一個具有恒定能量E0與恒定粒子數(shù)N0的很大的孤立系統(tǒng)，它由系統(tǒng)與其余很大的稱為媒質(zhì)的部分構(gòu)成，系統(tǒng)與媒質(zhì)可以交換能量與粒子.當系統(tǒng)的能量為E，粒子數(shù)為N時，媒質(zhì)的能量則為E0-E，粒子數(shù)為N0-N.當系統(tǒng)與媒質(zhì)處于熱平衡時，兩者的溫度T與化學勢μ相等.

設系統(tǒng)對應于能量E的狀態(tài)數(shù)為WE，為一小量，因此系統(tǒng)與媒質(zhì)所擁有的狀態(tài)數(shù)近似為媒質(zhì)所擁有的狀態(tài)數(shù)，W(N0-N，E0-E)，系統(tǒng)有N個粒子，能量為E的概率也就是媒質(zhì)有N0-N個粒子，能量為E0-E的概率，這個概率和狀態(tài)數(shù)W(N0-N，E0-E)成正比，即P(N，E)∝W(N0-N，E0-E).

現(xiàn)用媒質(zhì)的熵表示，則有

S(N0-N，E0-E)=kBlnW(N0-N，E0-E).

設N<

所以

若系統(tǒng)的能級E對應的狀態(tài)數(shù)WE≠1，則有

2.1Fermi-Dirac分布

現(xiàn)考慮由N個費米子構(gòu)成的孤立系統(tǒng)，總能量為E，它由一個小系統(tǒng)與大媒質(zhì)組成，取1個或0個費米子占據(jù)的單個量子態(tài)作為系統(tǒng)，取N個或N-1個費米子占據(jù)的其它量子態(tài)作為媒質(zhì).系統(tǒng)與媒質(zhì)可以交換一個粒子和能量ε.由于費米子服從泡利原理，所以，對應的媒質(zhì)所擁有的狀態(tài)數(shù)為W(N，E)或W(N-1，E-ε).熵為S(N，E)=kBlnW(N，E)或kBlnW(N-1，E-ε).

設系統(tǒng)的能量ε對應的狀態(tài)數(shù)WE=1，則系統(tǒng)有n個費米子，能量為nε的概率為

P(n，nε)∝W(N-n，E-nε).

或

2.2Boss-Einstein分布

現(xiàn)考慮玻色子系統(tǒng)，方法與費米子系統(tǒng)相同，差別在于對于費米子系統(tǒng)，n=0，1，而對玻色子系統(tǒng)，由于不受泡利原理制約，能量為ε的單個量子態(tài)允許有任意個玻色子占據(jù)，n=0，1，2，….

設系統(tǒng)的能量ε對應的狀態(tài)數(shù)WE=1，則系統(tǒng)有n個玻色子，能量為nε的概率為

P(n，nε)∝W(N-n，E-nε).

或

2.3Maxwell-Boltzmann分布—經(jīng)典情況

這是費米分布與玻色分布的共同極限情況，這就是經(jīng)典的玻耳茲曼分布.

3討論

(1)用Darwin-Fowler的平均法，在數(shù)學方法上比概率法嚴格；另外，由熵引出三種統(tǒng)計分布，更突出了熵概念在統(tǒng)計物理中的重要地位，是對熵概念的進一步深化.

(2)Gibbs的統(tǒng)計系綜理論，由巨正則分布導出近獨立子的三種統(tǒng)計分布，數(shù)學嚴謹，物理概念清晰，對獨立子體系與相依子體系都適用，是平衡態(tài)統(tǒng)計理論最完美的方法.

[參考文獻]

[1]高執(zhí)棣,郭國霖.統(tǒng)計熱力學導論[M].北京:北京大學出版社,2004.

[2]汪志誠.熱力學·統(tǒng)計物理[M].北京:高等教育出版社,2003.

[3]嚴燕來,葉慶好.大學物理拓展與應用[M].北京:高等教育出版社,2002.

[4]梁希俠,班士良.統(tǒng)計熱力學[M].呼和浩特:內(nèi)蒙古大學出版社,2000.

A Study on Derivating the Statistical Dstribution of Approximately Independent Partical

LI Jian-ying

(Xinzhou Teachers University, Xinzhou Shanxi 034000, China)

Abstract:In the artical,statistical distributions of the appximately independent partical are derivated from entropy and grand canonical distribution through Darwin-Fowler statistical average and Gibbs statistical ensemble theory. It overcomes the shortcomings of Boltzmann probability statistics that gives the man-made assumption in mathematics and provids the solid theoretical basis for the correctness of three statistical distributions.

Key words:Boss-Einstein distributions; Fermi-Dirac distributions; Maxwell-Boltzmann distributions

[中圖分類號]O21

[文獻標識碼]A

[文章編號]2095-7602(2016)04-0008-04

[作者簡介]李建英(1967- )，女，副教授，碩士，從事熱力學、統(tǒng)計物理和基礎物理實驗教學研究。

[基金項目]忻州師范學院基金項目“地方師范院校物理學專業(yè)實驗教學體系構(gòu)建和創(chuàng)新人才培養(yǎng)模式研究”(JGZD201511)。

[收稿日期]2015-12-30