周仕敏

【摘要】直觀想象是數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)提出的六大核心素養(yǎng)之一，近幾年的全國(guó)高考也對(duì)直觀想象進(jìn)行了重點(diǎn)考查.三角形是最基本的平面圖形，借助其幾何圖形來解決問題也是基本手段.

【關(guān)鍵詞】幾何直觀；解三角形；解題技巧

幾何直觀是數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)提出的核心概念之一，是指利用圖形描述和分析問題，借助它把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果.利用正余弦定理解任意三角形是高中數(shù)學(xué)基本且重要的知識(shí)，常見的模型和解題辦法在平時(shí)的教學(xué)中都是反復(fù)強(qiáng)調(diào)，沒想到在一輪復(fù)習(xí)時(shí)還會(huì)遇到這樣一個(gè)問題.

例1? （2017年北京卷）在△ABC中，已知A=π3，c=37a.

（1）求sinC的值；

（2）若a=7，求△ABC的面積.

關(guān)注第（2）問.

學(xué)生1? 由大前提和第（1）問所得，該三角形已知∠A和∠C，這時(shí)候通常求出第三個(gè)角B.又因?yàn)閍=7，c=3，所以選擇面積公式S△ABC=12acsinB，問題得解.

具體為：由c

所以C∈0，π2，cosC=1314.

sinB=sinπ3+C=8314，

S△ABC=12acsinB=63.

兩步轉(zhuǎn)化順利完成，沒有遇到困難.

學(xué)生2? 分析，該三角形已知A=π3，a=7，c=3，要求三角形面積，想選擇面積公式S△ABC=12bcsinA，只要求出b即可.問題轉(zhuǎn)化為三邊和一個(gè)角的關(guān)系，通過余弦定理a2=b2+c2－2bccosA，得b2－3b－40=0，解得b=8或－5（舍去）.同樣得到△ABC的面積為63.

學(xué)生3? 我的方法與學(xué)生2類似，先求出b，再求面積.但是我選擇的余弦定理公式為c2=a2+b2－2abcosC，得b2－13b+40=0，解得b=8或5.這樣就會(huì)得到雙解，為什么會(huì)這樣？如何舍去b=5？

教師沒有簡(jiǎn)單地否定學(xué)生選擇的不合適，更沒有粗暴要求學(xué)生3按照學(xué)生2的思路去處理就沒有這個(gè)問題了，而是在下節(jié)課時(shí)展示學(xué)生3的過程，帶領(lǐng)大家一起來討論.

學(xué)生4? 在△ABC中，可由sinB=8314>32=sinA，得B>A，所以b>a=7，舍去b=5.

學(xué)生5?? 因?yàn)锳=π3，A是銳角，所以a2a2－c2=40，舍去b=5.

學(xué)生6? 驗(yàn)一下：當(dāng)b=5時(shí)，由cosA=b2+c2－a22bc=－12，得A=2π3，舍去；

當(dāng)b=8時(shí)，由cosA=12，得A=π3，符合題意.

教師? 感謝學(xué)生3給我們提出了一個(gè)這么有價(jià)值的問題，同學(xué)們處理得很好！都成功地排除了不合題意的解，但如果能選擇的話，我們希望能避開多解的情況.接下來，我們來探討能否避開.解法1和解法2面對(duì)的解三角形問題，都是已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角，求第三邊.這樣的三角形的解的情況可以通過作圖來研究.具體如下.

解法1? 在△ABC中，已知A=π3，a=7，c=3，作圖1，圓弧與直線AC有兩個(gè)交點(diǎn)，分別位于A點(diǎn)兩側(cè)，對(duì)應(yīng)b=8和－5，舍去－5.

解法2? 在△ABC中，已知sinC=3314，a=7，c=3，作圖2，圓弧與直線CA有兩個(gè)交點(diǎn)，均位于C點(diǎn)右側(cè)，對(duì)應(yīng)b=5和8這兩解.從圖2中我們可以看到，當(dāng)b=5時(shí)，∠CA′B為鈍角，與題意不符；當(dāng)b=8時(shí)，∠CAB為銳角，符合題意.

圖1

圖2

從以上兩圖中，我們發(fā)現(xiàn)，在這種問題中，我們用余弦定理來求第三邊時(shí)，應(yīng)選擇比較大的角，可以有效避開多解的問題.

學(xué)生們恍然大悟.

反思? “用圖形來判斷這類三角形的解的個(gè)數(shù)”在知識(shí)梳理有，但是學(xué)生感覺解題中很少用到，探究它的興趣缺乏，這個(gè)知識(shí)點(diǎn)形同虛設(shè).而在本題的探究中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形的直觀感受印象深刻，還通過觀察總結(jié)了做題經(jīng)驗(yàn)，激活了這個(gè)知識(shí)點(diǎn).

教師緊跟著給了一個(gè)練習(xí)：

（2018年北京卷）在△ABC中，a=7，b=8，cosB=－17.

（1）求A；

（2）求AC邊上的高.

圖3

學(xué)生反饋? 第（1）問可得A=π3，如圖3所示，要求BD，可在Rt△ABD中解決，先求出AB邊；而求AB邊可在△ABC中利用余弦定理；此時(shí)已知A和B，選較大角不會(huì)產(chǎn)生多解，所以應(yīng)該由余弦定理b2=a2+c2－2accosB，得c2+2c－15=0，解得c=3或－5（舍去），即AB=3，從而BD=3sinA=332.

教師? 學(xué)以致用，很好！

美國(guó)教育家蘇娜丹戴克說：“告訴我，我會(huì)忘記，做給我看，我會(huì)記住，讓我參加，我就會(huì)完全理解.”教師在教學(xué)中對(duì)學(xué)生進(jìn)行啟迪、誘導(dǎo)，盡量讓學(xué)生在實(shí)踐中去獲得知識(shí)，從而留下美好而深刻的印象.

在后來的一節(jié)課上又遇到這樣一個(gè)問題：

（2019年全國(guó)卷III=3＼*ROMAN理科第18題）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知asinA+C2=bsinA.

（1）求B；

（2）若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍.

第（1）問求得B=π3，解答過程略.第（2）問由S△ABC=12acsinB=34a，后面不知道該如何走了.

教師? 接下來如果能求出a的范圍，問題就解決了.限定條件有哪些？怎么用？小組討論一下.（對(duì)于走邊和走角的傳統(tǒng)解法此處不贅述）一個(gè)學(xué)生提出來：“老師，畫張圖就解決了！”由銳角三角形的限定條件，如圖4所示，C點(diǎn)有兩個(gè)極限位置C1，C2，分別使得C和A為直角，解得BC1=12，BC2=2，可得12

圖4

教師肯定了學(xué)生2的想法，并協(xié)助他完成了上述思路的表述.

結(jié)語

在教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成畫圖的好習(xí)慣，借助基本圖形、信息技術(shù)等方法培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀性.教師把幾何直觀運(yùn)用得越充分，學(xué)生的直觀表達(dá)就越清晰，領(lǐng)悟能力就越強(qiáng)，分析問題和解決問題的能力也越強(qiáng).