摘 要：教師備課的第一要義是仔細(xì)閱讀教材，適當(dāng)處理（加工）教材，從而創(chuàng)生教學(xué)內(nèi)容，組織教學(xué)過程，促進(jìn)學(xué)生有效學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)教學(xué)中，“用教材教”時(shí)，特別需要關(guān)注單元結(jié)構(gòu)的重組、課時(shí)邏輯的重構(gòu)、學(xué)習(xí)素材的改造、練習(xí)資源的調(diào)整。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)教材；用教材教

教材是依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)編寫，提供教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的學(xué)科材料。但是，教材內(nèi)容并不等同于教學(xué)內(nèi)容，甚至也不能完全反映課程標(biāo)準(zhǔn)的要求。所以，教師備課的第一要義是仔細(xì)閱讀教材，適當(dāng)處理（加工）教材，從而創(chuàng)生教學(xué)內(nèi)容，組織教學(xué)過程，促進(jìn)學(xué)生有效學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)教學(xué)如何“用教材教”（從教材到教學(xué)）？筆者在實(shí)踐中做了一些探索，本文與各位同行分享處理教材的四種視角。

一、重組單元結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)教材一般是分為一個(gè)個(gè)外部相對獨(dú)立、內(nèi)部緊密聯(lián)系的單元來架構(gòu)的?！坝媒滩慕獭睍r(shí)，首先要利用整體的眼光和全局性思維，站在學(xué)科知識系統(tǒng)的高度，通讀整本教材，俯瞰各個(gè)單元，結(jié)合知識之間的聯(lián)系，把握學(xué)習(xí)狀況，適當(dāng)?shù)刂亟M以優(yōu)化單元結(jié)構(gòu)。其實(shí)，不同版本教材的單元結(jié)構(gòu)往往都會(huì)呈現(xiàn)出一定的差異。比如，浙教版初中數(shù)學(xué)教材將實(shí)數(shù)內(nèi)容的教學(xué)緊接著有理數(shù)內(nèi)容的教學(xué)之后，引導(dǎo)學(xué)生較早完成實(shí)數(shù)內(nèi)容的整體建構(gòu)；人教版初中數(shù)學(xué)教材將實(shí)數(shù)內(nèi)容的教學(xué)安排在有理數(shù)內(nèi)容教學(xué)的一年后，充分考慮了學(xué)生的認(rèn)知水平。通常，不同的單元結(jié)構(gòu)各有優(yōu)劣，教師可以根據(jù)自己的理解，結(jié)合學(xué)生學(xué)習(xí)、學(xué)校安排等實(shí)際情況，重組所使用教材的單元結(jié)構(gòu)，特別是重組單元教學(xué)的課時(shí)安排。

【案例1】浙教版初中數(shù)學(xué)八年級下冊《反比例函數(shù)》單元結(jié)構(gòu)重組

與其他版本初中數(shù)學(xué)教材不同，浙教版初中數(shù)學(xué)教材在“一次函數(shù)”內(nèi)容后，先安排“反比例函數(shù)”內(nèi)容，再安排“二次函數(shù)”內(nèi)容。浙教版初中數(shù)學(xué)教材中，《反比例函數(shù)》單元安排了6個(gè)課時(shí)（詳見表1），從學(xué)科體系的角度完整呈現(xiàn)了反比例函數(shù)的課程內(nèi)容。但事實(shí)上，由于反比例函數(shù)與一次函數(shù)具有密切的聯(lián)系，作業(yè)和考試中關(guān)于函數(shù)的綜合應(yīng)用題層出不窮；同時(shí)，反比例函數(shù)具有優(yōu)美的幾何特性，使得它容易與很多幾何圖形面積計(jì)算產(chǎn)生聯(lián)系，也導(dǎo)致作業(yè)和考試中出現(xiàn)較多的有關(guān)反比例函數(shù)的面積問題。此外，建立反比例函數(shù)模型解決問題的難點(diǎn)在于建模過程，但是教材中只安排了從一道簡單的例題中析出建立模型解決問題的一般步驟，因此這個(gè)過程也需要加強(qiáng)。基于這樣的思考，可以對本單元的課時(shí)安排進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹亟M調(diào)整（詳見表1）。這樣，充分考慮學(xué)生的認(rèn)知，將反比例函數(shù)的性質(zhì)分為3個(gè)課時(shí)學(xué)習(xí)，同時(shí)滲透與一次函數(shù)的關(guān)系，既讓學(xué)生理清研究函數(shù)性質(zhì)的視角，又讓新舊知識融會(huì)貫通。

二、重構(gòu)課時(shí)邏輯

課時(shí)是教學(xué)的基本單位。數(shù)學(xué)教材在單元結(jié)構(gòu)下，會(huì)大致劃定并具體編寫各個(gè)課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容。“用教材教”時(shí)，落到課時(shí)內(nèi)容后，也要仔細(xì)分析知識點(diǎn)之間的聯(lián)系和學(xué)生的認(rèn)知過程，適當(dāng)?shù)刂貥?gòu)以優(yōu)化教學(xué)邏輯，從而幫助學(xué)生更自然地（比如從已知到未知、從簡單到復(fù)雜、從感性到理性、由此及彼、由表及里等）展開探究學(xué)習(xí)，充分理解知識意義和結(jié)構(gòu)，感悟?qū)W習(xí)方法和規(guī)律。

【案例2】浙教版初中數(shù)學(xué)八年級上冊《等腰三角形性質(zhì)定理（1）》課時(shí)邏輯重構(gòu)

本課時(shí)的標(biāo)題是“等腰三角形的性質(zhì)定理”。教材編寫時(shí)，先介紹等腰三角形的基本性質(zhì)（等邊對等角），后呈現(xiàn)兩道例題：解答例1可以得到等邊三角形的性質(zhì)（每個(gè)內(nèi)角都是60°），例2要求證明等腰三角形的一個(gè)特殊性質(zhì)（兩個(gè)底角的角平分線相等）。課后還配備了若干性質(zhì)定理的鞏固練習(xí)?？梢姡滩牡木幣彭樞蚴?，從等腰三角形切換到等邊三角形，再從等邊三角形切換到等腰三角形。這樣，不利于學(xué)生形成特殊三角形的研究思路。因此，筆者重構(gòu)了本課時(shí)的教學(xué)邏輯：如圖1所示，從等腰三角形的定義出發(fā)，研究等腰三角形的性質(zhì)，從整體到局部，從邊到角再到例2的特殊線段；然后將等腰三角形特殊化，得到等邊三角形，讓學(xué)生類比等腰三角形的性質(zhì)研究等邊三角形的性質(zhì)；同時(shí)，在每一種圖形性質(zhì)獲得后穿插練習(xí)進(jìn)行鞏固。這種教學(xué)邏輯既體現(xiàn)了“幾何教學(xué)要教類比”的理念，又讓學(xué)生掌握了幾何圖形性質(zhì)的研究方法。

三、改造學(xué)習(xí)素材

數(shù)學(xué)教材中，學(xué)習(xí)素材主要是指引導(dǎo)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)新知（比如概念、定理、公式、法則等陳述性知識以及方法、策略等程序性知識）的情境、問題、任務(wù)、例題等文本內(nèi)容，以及幫助學(xué)生理解建構(gòu)新知的解釋說明性文本內(nèi)容。受到篇幅和呈現(xiàn)形式的限制，教材中的學(xué)習(xí)素材通常不夠豐富，而且是靜態(tài)的、整體的結(jié)果性內(nèi)容。因此，教師在教學(xué)時(shí)需要對其適當(dāng)改造，基于素材的編寫意圖（作用和目的），根據(jù)實(shí)際情況，將其豐富化、動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)、逐步呈現(xiàn)等，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中增強(qiáng)學(xué)習(xí)體驗(yàn)，經(jīng)歷探究發(fā)現(xiàn)、交流提升的學(xué)習(xí)過程，從而充分理解知識的來龍去脈、含義、價(jià)值，感悟知識背后的思想方法，將知識內(nèi)化為能夠遷移運(yùn)用的能力。

【案例3】浙教版初中八年級下冊《平均數(shù)》一課學(xué)習(xí)素材改造

浙教版初中數(shù)學(xué)八年級下冊《數(shù)據(jù)分析初步》單元分為3個(gè)課時(shí)，教學(xué)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)、方差與標(biāo)準(zhǔn)差等統(tǒng)計(jì)量。第一課時(shí)《平均數(shù)》主要內(nèi)容是算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算公式以及加權(quán)平均數(shù)。介紹算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算公式前，為了讓學(xué)生感受用樣本估計(jì)總體，教材安排了一則合作學(xué)習(xí)的素材：

某果農(nóng)種植的100棵蘋果樹即將收獲。果品公司在付給果農(nóng)定金前，需要估計(jì)這些蘋果樹的總產(chǎn)量。

（1）果農(nóng)隨機(jī)摘下20個(gè)蘋果，稱得總質(zhì)量為4千克。這20個(gè)蘋果的平均質(zhì)量是多少千克？

（2）果農(nóng)從100棵蘋果樹中隨機(jī)選出10棵，數(shù)出每棵樹上的蘋果個(gè)數(shù)，得到以下數(shù)據(jù)（單位：個(gè)）：154，150，155，155，159，150，152，155，153，157。你能估計(jì)出平均每棵樹的蘋果個(gè)數(shù)嗎？

（3）根據(jù)上述兩個(gè)問題，你能估計(jì)出這100棵蘋果樹的總產(chǎn)量嗎？

如果直接讓學(xué)生根據(jù)這一素材進(jìn)行合作學(xué)習(xí)，學(xué)生只是做兩道習(xí)題，經(jīng)歷計(jì)算的過程，無法感受為什么要用樣本估計(jì)總體以及怎樣用樣本估計(jì)總體。為了讓學(xué)生經(jīng)歷用樣本估計(jì)總體的過程，可以將教材中一并呈現(xiàn)的素材以問題鏈的形式漸次展開——

提問：（出示果園中碩果累累場景的圖片）某果農(nóng)種植的100棵蘋果樹即將收獲，果品公司在付給果農(nóng)定金前，需要對這些蘋果樹的總產(chǎn)量進(jìn)行估計(jì)。為此，需要了解哪些數(shù)據(jù)？如何估計(jì)？

預(yù)設(shè)：蘋果總產(chǎn)量=100×每棵樹的蘋果數(shù)量×每個(gè)蘋果的質(zhì)量。

追問：如何估計(jì)每棵蘋果樹的蘋果數(shù)量？

預(yù)設(shè)：可以選擇100棵中的10棵，計(jì)算這10棵蘋果樹蘋果數(shù)量的平均數(shù)。

追問：如何估計(jì)每個(gè)蘋果的質(zhì)量？

預(yù)設(shè)：可以選擇20個(gè)蘋果，稱一下總質(zhì)量，求平均數(shù)。

提問：根據(jù)以上過程，你認(rèn)為如何計(jì)算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)？

……

這里，首先提出“估計(jì)果園總產(chǎn)量”的現(xiàn)實(shí)問題；在學(xué)生提出總體解決方案“蘋果總產(chǎn)量=100×每棵樹的蘋果數(shù)量×每個(gè)蘋果的質(zhì)量”的基礎(chǔ)上，通過兩個(gè)追問，讓學(xué)生思考如何估計(jì)蘋果數(shù)量和質(zhì)量，從中感受用樣本估計(jì)總體以及獲取樣本數(shù)據(jù)、計(jì)算平均數(shù)的必要性。由此便可自然地引出計(jì)算平均數(shù)的問題，給出平均數(shù)計(jì)算的符號表達(dá)，介紹算術(shù)平均數(shù)的概念、寫法、讀法。

四、調(diào)整練習(xí)資源

數(shù)學(xué)教材中的練習(xí)題，是編寫者精心挑選的幫助學(xué)生鞏固新知的重要資源。但由于教材使用的周期比較長，很多練習(xí)題無法及時(shí)更新。而實(shí)際上，練習(xí)題的設(shè)計(jì)非常靈活，變化非常豐富。同時(shí)，不同學(xué)校、班級、學(xué)生的學(xué)習(xí)情況也有很大的差異。因此，對于教材的練習(xí)資源，教師要適當(dāng)進(jìn)行豐富化和層次性的調(diào)整，既幫助學(xué)生學(xué)會(huì)舉一反三、靈活運(yùn)用新知，也給不同水平的學(xué)生提供更具有針對性的幫助。

【案例4】浙教版初中數(shù)學(xué)七年級上冊《等式的基本性質(zhì)》一課練習(xí)資源調(diào)整

本節(jié)課，教材提供了分層練習(xí)，主要是難度各異的運(yùn)用等式的基本性質(zhì)進(jìn)行式子變形和解方程的習(xí)題，但是忽視了等式的基本性質(zhì)中“相同的數(shù)或式”包括的“相等”的情況，也缺少具有一定綜合性的拓展練習(xí)。這樣，會(huì)讓學(xué)生片面地認(rèn)為“相同的數(shù)或式”僅僅是形式完全相同的情況，也不利于學(xué)生在更廣闊的領(lǐng)域內(nèi)體會(huì)等式基本性質(zhì)的應(yīng)用價(jià)值。因此，教師對教材提供的練習(xí)資源進(jìn)行了調(diào)整，設(shè)計(jì)了基礎(chǔ)、變式、拓展三組練習(xí)，幫助學(xué)生充分理解等式的基本性質(zhì)，學(xué)會(huì)運(yùn)用等式的基本性質(zhì)。具體練習(xí)如下：

第1題和第2題是基礎(chǔ)練習(xí)，分別是“已知等式和變化過程寫結(jié)果”“已知等式和變化結(jié)果找過程”的問題，讓學(xué)生明確等式基本性質(zhì)1和等式基本性質(zhì)2的具體作用，在具體問題中能夠根據(jù)變形的目的合理選擇等式的基本性質(zhì)進(jìn)行變形。其中，第2題還需要應(yīng)用等式的傳遞性，可以幫助學(xué)生理解等式的基本性質(zhì)中“相同的數(shù)與式”也包括“相等的數(shù)與式”，為學(xué)生以后理解“用加減消元法解二元一次方程組”“兩邊平方解根式方程”等奠定基礎(chǔ)。因?yàn)槭侵苯討?yīng)用等式的基本性質(zhì)，所以體現(xiàn)的是工具性理解^［1］。

第3題是變式練習(xí)，也是“已知等式和變化結(jié)果找過程”的問題，但是要找的過程比較長，需要多次、綜合應(yīng)用等式的基本性質(zhì)，同時(shí)反映的解方程過程，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)解方程預(yù)埋伏筆。因?yàn)檫^程比較長，并且從一個(gè)等量關(guān)系變成了一個(gè)未知量的值的形式，所以體現(xiàn)的是關(guān)系性理解^［2］。

第4題是拓展練習(xí)，改編自教材的例題“已知2x-5y=0，且y≠0，判斷下列等式是否成立并說明理由。（1）2x=5y；（2）x/y=5/2”，本質(zhì)上也是“已知等式和變化結(jié)果找過程”的問題。改編時(shí)，關(guān)鍵是賦予代數(shù)關(guān)系以幾何模型，并且增加過渡變量，要求學(xué)生多次、綜合應(yīng)用等式的基本性質(zhì)找到合適的代數(shù)關(guān)系，解決問題。因?yàn)榭缭搅藢W(xué)科領(lǐng)域，進(jìn)行了情境包裝，所以體現(xiàn)的是圖式（結(jié)構(gòu)）性理解^［3］。

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