［摘? 要］ 在核心素養(yǎng)背景下，發(fā)展學(xué)力是教學(xué)的根本. 實(shí)踐證明，支持高中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的教學(xué)理論有元認(rèn)知理論、建構(gòu)主義理論和情境認(rèn)知理論等. 研究者以“基本不等式的證明”教學(xué)為例，分別從以下幾方面進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)與分析：歷史情境，初步抽象概念；問題驅(qū)動，探索概念關(guān)系；深入探索，探究證明方法；挖掘背景，揭露幾何意義；知識應(yīng)用，解決實(shí)際問題.

［關(guān)鍵詞］ 深度學(xué)習(xí)；核心素養(yǎng)；基本不等式

布魯納研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)存在淺層學(xué)習(xí)與深度學(xué)習(xí)兩大類，兩者為相對的關(guān)系. 深度學(xué)習(xí)指通過學(xué)習(xí)活動將新知內(nèi)化、吸收、應(yīng)用的一種方式［1］. 新課標(biāo)視域下的數(shù)學(xué)教學(xué)需要將深度學(xué)習(xí)理念與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展有機(jī)地融合在一起，此為促進(jìn)學(xué)生終身可持續(xù)發(fā)展的有效措施.

深度學(xué)習(xí)的理論基礎(chǔ)

1. 元認(rèn)知理論

元認(rèn)知理念由弗萊維爾提出，是指元認(rèn)知主體對自身認(rèn)知系統(tǒng)的內(nèi)省情況，通俗來說，元認(rèn)知就是“認(rèn)知內(nèi)的認(rèn)知”，屬于認(rèn)知主體對自我體驗(yàn)的覺察、觀察與調(diào)節(jié)過程. 該理論與深度學(xué)習(xí)理論一致，都在教學(xué)框架的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)結(jié)新舊知識，幫助學(xué)生積累豐富的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，循序漸進(jìn)地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維以及創(chuàng)新意識，為提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力與核心素養(yǎng)奠定基礎(chǔ).

2. 情境認(rèn)知理論

20世紀(jì)80年代，情境認(rèn)知理論初步成型，它認(rèn)為一切學(xué)習(xí)活動都產(chǎn)生于具體情境中，個體參與實(shí)踐，和他人、環(huán)境互相作用是學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)［2］. 情境認(rèn)知理論強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要在合理的情境中獲取知識，同時(shí)依靠自己或和他人合作來解決復(fù)雜的問題，提升自身的社會參與度. 深度學(xué)習(xí)同樣注重和他人合作共同解決問題，因此兩種理論是互相融合、相輔相成的關(guān)系.

教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)目標(biāo)是教學(xué)的方向標(biāo)，其重要性不言而喻. 本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)的設(shè)定應(yīng)從發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的角度出發(fā)，以學(xué)生為主體，對應(yīng)本節(jié)課的知識、技能以及各項(xiàng)能力，通過可觀可感的行為動詞來具體描述學(xué)生在課堂中的行為要求.

具體教學(xué)目標(biāo)設(shè)定為：從情境出發(fā)，探索核心概念；基于特殊到一般的數(shù)學(xué)思想輔助，借助基本不等式的抽象發(fā)展數(shù)據(jù)分析能力；通過各種證明方法探索基本不等式，提升邏輯推理能力；解決實(shí)際問題，拔高思維，樹立學(xué)習(xí)信心.

教學(xué)過程

1. 歷史情境，初步抽象概念

情境 以畢達(dá)哥拉斯學(xué)派關(guān)于“算術(shù)中項(xiàng)、調(diào)和中項(xiàng)、幾何中項(xiàng)”為情境素材，引導(dǎo)學(xué)生感知古往今來人類對數(shù)學(xué)的探索從未停歇，基于“兩個正數(shù)a，b所產(chǎn)生的兩個量與”為學(xué)生揭露本節(jié)課的教學(xué)主題——探索與及其之間的關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖 史料的底蘊(yùn)不僅能增添課堂的文化氣息，還能激發(fā)學(xué)生對“兩個量與”的探索興趣，為引出算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)等奠定基礎(chǔ). 如此設(shè)計(jì)，可讓學(xué)生對其前身有一個明確的認(rèn)識，從而更好地理解算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的內(nèi)涵與外延，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的發(fā)展.

2. 問題驅(qū)動，探索概念關(guān)系

問題1 猜想和誰大誰小.

生1：取a=1，b=4代入計(jì)算，可見大于.

生2：取a=b=1代入計(jì)算，則=.

……

學(xué)生經(jīng)過一番探討，初步達(dá)成共識：若a，b為正數(shù)，則≤（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號）.

設(shè)計(jì)意圖 特殊到一般是重要的數(shù)學(xué)思想，如此設(shè)計(jì)不僅解決了問題，還有效發(fā)展了學(xué)生的“三會”與建模能力.

3. 深入探索，探究證明方法

問題2 眾所周知，特殊情況下獲得的結(jié)論不一定準(zhǔn)確，想要確定其科學(xué)性，還要進(jìn)一步證明. 現(xiàn)在請大家思考該怎樣去證明.

生3：可以用“作差比較法”來證明≥.

師：可以將證明過程板演一遍嗎？

生3：可以. 因?yàn)?=·［（）2-2·+（）2］=（-）2≥0，所以≥.

師：看起來不錯，但總覺得哪里有所欠缺，有沒有同學(xué)可以補(bǔ)充一下？

生4：生3的證明過程不夠完整，應(yīng)該在開端添上“a>0，b>0”這個條件，最后還要添上“當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號”這句話.

師：不錯，這就是我們常說的“作差比較法”. 是否還有其他證明方法呢？

生5：可以將生3的證明過程倒過來進(jìn)行證明，具體為：因?yàn)椋?）2≥0，所以a-2·+b≥0，即a+b≥2·，≥，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號.

師：非常好！這一證明方法就是我們俗稱的“綜合法”. 其實(shí)還有一種類似的證明方法：欲證≥，僅需證明a+b≥2，也就是證明a-2+b≥0，即證（-）2≥0. 顯然最后一個不等式是成立的，因此不等式≤是成立的，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號. 此為“分析法”. 即從待證明的結(jié)論出發(fā)，通過一步一步地探索，找出該結(jié)論成立的充分條件，由此來確認(rèn)該結(jié)論是成立的. 值得注意的是，證明過程格式要規(guī)范.

設(shè)計(jì)意圖 帶領(lǐng)學(xué)生以“作差比較法”為起點(diǎn)，符合學(xué)生的認(rèn)知水平，滿足個體差異的需求. 學(xué)生通過自主思考與探索可自主獲得“綜合法”. 考慮到“分析法”的邏輯關(guān)系比較復(fù)雜，學(xué)生難以把控，因此筆者選擇以示范的方式進(jìn)行教學(xué).

4. 挖掘背景，揭露幾何意義

展開歷史畫卷，可以看到中華民族擁有豐厚的文化底蘊(yùn)，接下來筆者帶領(lǐng)學(xué)生基于基本不等式的歷史背景，逐層探索基本不等式的幾何意義. 如借助趙爽弦圖展開教學(xué)，具體過程如下：

借助多媒體展示第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)（見圖1）與趙爽的大方圖（見圖2），在圖示下方附上《周髀算經(jīng)》中關(guān)于勾股定理的詞句，基于此對基本不等式的幾何意義展開探索與分析.

以圖考之，倍弦實(shí)，滿外大方，而多黃實(shí). 黃實(shí)之多，即勾股差實(shí). 以差實(shí)減之，開其余，得外大方. 大方之面，即勾股并也.

5. 知識應(yīng)用，解決實(shí)際問題

例題1 若已知x，y均大于0，求證：+≥2.

例題2 已知函數(shù)y=x+，x∈（-2，+∞），該函數(shù)的最小值是多少？

習(xí)題 （1）求證：不等式+a≥2（a>0）.

（2）在x>1時(shí)，函數(shù)y=+x的最小值是多少？

設(shè)計(jì)意圖 本節(jié)課為基本不等式的起始課，因此教學(xué)重點(diǎn)放在知識背景與概念形成上，關(guān)于具體問題的解決比較少，點(diǎn)到為止即可.

教學(xué)思考

1. 關(guān)注情境導(dǎo)入

高中數(shù)學(xué)容量大、難度大、抽象性強(qiáng)，想讓學(xué)生心甘情愿地投入新章節(jié)的學(xué)習(xí)中，最好的辦法就是“激趣”. 情境作為激趣的重要手段，是調(diào)動課堂學(xué)習(xí)氛圍的重要抓手. 究竟該如何設(shè)計(jì)好情境，成功“激趣啟思”呢？這是踐行深度學(xué)習(xí)理念首先要思考的問題. 實(shí)踐證明，以學(xué)生感興趣的內(nèi)容作為情境材料，可讓學(xué)生深入到問題的探索中來，為提高教學(xué)實(shí)效奠定基礎(chǔ).

本節(jié)課在元認(rèn)知理論與情境認(rèn)知理論的輔助下，將畢達(dá)哥拉斯學(xué)派所探索的內(nèi)容作為情境素材，成功吸引了學(xué)生的注意力，讓學(xué)生自主投入“與”的探索中. 這種導(dǎo)入方式有趣、有料，充滿著文化底蘊(yùn)，值得倡導(dǎo).

2. 關(guān)注探究的切入點(diǎn)

解決核心問題是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重點(diǎn)，但數(shù)學(xué)體系龐大，一節(jié)課可能涉及大量的知識點(diǎn)，若想在課堂時(shí)間內(nèi)兼顧到每一個知識點(diǎn)是不可能的，只有找準(zhǔn)核心，以核心知識作為探究的切口，進(jìn)行縱橫聯(lián)系的深入探索，才能達(dá)到深度學(xué)習(xí)的目的［3］. 那么，究竟該怎么找準(zhǔn)探究的切入點(diǎn)呢？這對教師來說是一個挑戰(zhàn). 首先，教師應(yīng)充分了解學(xué)情，從小切口設(shè)計(jì)問題，便于學(xué)生理解新知，探尋到合適的研究方向；其次，切入點(diǎn)的問題需要具備探究性，學(xué)生的思維本身就具有很大彈性，探究性強(qiáng)的問題可充分挖掘?qū)W生的潛能，讓學(xué)生進(jìn)入深度學(xué)習(xí)的狀態(tài).

本節(jié)課的每一個探究活動都有明確的方向，如上文的問題驅(qū)動，就讓學(xué)生在明確的指向下對概念間的關(guān)系進(jìn)行分析，對“若a，b為正數(shù)，則≤（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號）”達(dá)成共識，并在此過程中充分感知特殊到一般的思想.

3. 應(yīng)用史料可提升嚴(yán)謹(jǐn)習(xí)慣

學(xué)生在課堂中接觸到的每一個概念、法則等都經(jīng)歷了漫長的歲月，教師將豐富的史料滲透在課堂中，可讓學(xué)生對知識點(diǎn)的源頭產(chǎn)生明確認(rèn)識，體會每一個知識的形成是多么不易，由此感悟數(shù)學(xué)家們嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)精神，提升學(xué)生文化素養(yǎng)的同時(shí)，也能促使學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣.

從本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)來看，不論是課堂伊始的情境導(dǎo)入，還是后續(xù)“幾何意義”的揭露，都應(yīng)用了大量的數(shù)學(xué)史料，學(xué)生遨游在豐富的數(shù)學(xué)文化中，不僅對基本不等式的證明產(chǎn)生了更加深刻的理解，還進(jìn)一步增加了認(rèn)知寬度，為深度學(xué)習(xí)創(chuàng)造了條件. 同時(shí)，這些史料的應(yīng)用，也促使學(xué)生從基本不等式的探索中獲得了科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明習(xí)慣. 這些習(xí)慣的養(yǎng)成是踐行深度學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是形成必備技能、提高學(xué)習(xí)效率的保證.

4. 反思促進(jìn)師生共同體的構(gòu)建

教學(xué)是一個循序漸進(jìn)的過程，也是構(gòu)建師生共同體的過程. 深度學(xué)習(xí)理念指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)教學(xué)需要關(guān)注師生的協(xié)作情況，但高中知識錯綜復(fù)雜，一不小心就會掉入“題海戰(zhàn)術(shù)”的泥潭，學(xué)生在這種狀態(tài)下難以突破自我認(rèn)知的局限，很難從真正意義上獲得舉一反三的能力. 加強(qiáng)師生、生生之間的交流，建構(gòu)師生共同體則能發(fā)散學(xué)生的思維，讓學(xué)生基于深度學(xué)習(xí)理念下完善知識體系.

在本節(jié)課的每一個教學(xué)環(huán)節(jié)中，筆者與學(xué)生積極進(jìn)行互動與交流，整個教學(xué)環(huán)境和諧、舒適，學(xué)生在筆者的指導(dǎo)下主動進(jìn)入了深入探索狀態(tài)，不僅有效發(fā)展了學(xué)生的“四基”與“四能”，還拉近了學(xué)生與筆者之間的距離. 當(dāng)然，師生共同體的構(gòu)建，也讓教師體會了教學(xué)的成就感. 因此，這是一節(jié)教學(xué)相長的課堂.

總之，深度學(xué)習(xí)作為發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要方法，其有效性得到了廣大教育工作者的一致肯定，但在具體實(shí)施時(shí)，需要結(jié)合本班學(xué)生的實(shí)際學(xué)情與當(dāng)?shù)氐慕逃尘暗燃皶r(shí)調(diào)整教學(xué)方案. 實(shí)踐證明，深度學(xué)習(xí)視域下的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要從點(diǎn)滴做起，將學(xué)生打造成思維敏捷、勇于質(zhì)疑、大膽猜想、樂于探究的創(chuàng)新人才.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 董奇.元認(rèn)知與思維品質(zhì)關(guān)系性質(zhì)的相關(guān)、實(shí)驗(yàn)研究［J］. 北京師范大學(xué)學(xué)報(bào)：社會科學(xué)版，1990（5）：51-58.

［2］ 張舒郴，董君武. 指向深度學(xué)習(xí)的新型教學(xué)流程探索——以高中數(shù)學(xué)教學(xué)為例［J］. 上海教育科研，2021（08）：76-80.

［3］ 李保臻，孟彩彩，鞏鎧瑋. 基于深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)研究［J］.教學(xué)與管理，2021（25）：62-64.

作者簡介：彭科（1978—），本科學(xué)歷，中學(xué)數(shù)學(xué)高級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作.