［摘? 要］ 數(shù)學(xué)概念是構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系的核心，其在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的價(jià)值是不言而喻的. 在概念教學(xué)中，教師要摒棄“講授+記憶”的單一教學(xué)模式，重視引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念形成過(guò)程，讓學(xué)生通過(guò)觀察、思考、交流等活動(dòng)逐漸明晰概念的本質(zhì)，達(dá)成知識(shí)內(nèi)化的目的. 同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)經(jīng)歷由具體到抽象、由抽象到概括等過(guò)程提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，發(fā)展關(guān)鍵能力.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)概念；形成過(guò)程；抽象素養(yǎng)

函數(shù)是一個(gè)重要概念，其具有高度的抽象性和概括性，若教學(xué)中僅僅給出函數(shù)概念讓學(xué)生記憶，學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解只可能是一知半解的，不利于概念本質(zhì)的掌握，影響學(xué)習(xí)能力的提升和思維能力的發(fā)展. 因此，在函數(shù)概念的教學(xué)中，教師應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念形成的過(guò)程，通過(guò)親身經(jīng)歷讓學(xué)生深刻理解概念，明晰概念的本質(zhì)，掌握概念的研究方法，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

教學(xué)過(guò)程

1. 創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)習(xí)探究欲

問(wèn)題1 對(duì)于函數(shù)大家并不陌生，在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)，你們能列舉出幾個(gè)函數(shù)嗎？

生1：y=x，y=，y=x2.

師：很好，結(jié)合以上實(shí)例，請(qǐng)敘述一下函數(shù)的概念. （教師點(diǎn)名讓學(xué)生敘述）

生2：有兩個(gè)變量x和y，對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，則稱y是x的函數(shù).

師：很好，也就是說(shuō)一個(gè)變量隨著另一個(gè)變量變化而變化，兩個(gè)變量之間是一種依賴關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖 從學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生回顧兩個(gè)變量之間的依賴關(guān)系，為接下來(lái)新概念的學(xué)習(xí)做鋪墊.

問(wèn)題2 y=1是函數(shù)嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由.

生齊聲答：不是，這個(gè)式子只有一個(gè)變量，不符合函數(shù)的定義.

問(wèn)題3 y=x和y=是函數(shù)嗎？它們是同一個(gè)函數(shù)嗎？

問(wèn)題給出后，教師讓學(xué)生思考、交流. 根據(jù)函數(shù)的概念，一致認(rèn)為它們是函數(shù)，不過(guò)對(duì)于是否為同一個(gè)函數(shù)卻產(chǎn)生了分歧：有的學(xué)生認(rèn)為y=化簡(jiǎn)后就是y=x，所以兩個(gè)函數(shù)為同一個(gè)函數(shù)；有的學(xué)生認(rèn)為不是同一個(gè)函數(shù)，但不能給出合適的理由.

師：對(duì)于問(wèn)題2和問(wèn)題3，其結(jié)果到底如何呢？等我們學(xué)習(xí)了今天的內(nèi)容再來(lái)回答.

設(shè)計(jì)意圖 上述兩個(gè)問(wèn)題（問(wèn)題2和問(wèn)題3）利用初中的函數(shù)定義很難回答，由此引發(fā)了學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)了學(xué)生的探究欲. 在此過(guò)程中，教師沒(méi)有直接對(duì)學(xué)生給出的結(jié)果進(jìn)行正面的評(píng)價(jià)，而是制造懸念，從而有效吸引了學(xué)生的注意力，把課堂推向了高潮.

2. 從具體到抽象，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

情境1 估計(jì)人口數(shù)量變化趨勢(shì)是制定人口政策和經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展規(guī)劃的重要依據(jù). 表1顯示的是我國(guó)1949年至1989年的人口數(shù)變化情況.

問(wèn)題4 它是函數(shù)嗎？

生3：不是函數(shù)，函數(shù)都是有解析式的，根據(jù)以上數(shù)據(jù)應(yīng)該很難找到具體的解析式.

師：表1中有幾個(gè)變量？

生齊聲答：兩個(gè).

師：分別是什么呢？

生4：年份和人口數(shù).

師：對(duì)于確定的年份，是否有唯一確定的人口數(shù)與之相對(duì)應(yīng)呢？

生齊聲答：是.

師：那么根據(jù)初中的函數(shù)定義，這兩個(gè)變量的關(guān)系是否符合函數(shù)關(guān)系呢？

生齊聲答：符合.

問(wèn)題5 你能用集合來(lái)表示年份和人口數(shù)的變化范圍嗎？

生5：年份的變化范圍是數(shù)集｛1949， 1954，…，1989｝，人口數(shù)的變化范圍是數(shù)集｛542，602，…，1127｝.

問(wèn)題6 若將年份的變化范圍記作A，人口數(shù)的變化范圍記作B，能否用集合的觀點(diǎn)來(lái)描述這兩個(gè)變量的依賴關(guān)系？

生6：集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng).

情境2 一個(gè)物體從某高處自由下落，下落的距離y（單位：m）與時(shí)間x（單位：s）近似地滿足關(guān)系式y(tǒng)=4.9x2.

問(wèn)題7 這是函數(shù)嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由.

生7：是函數(shù)，有兩個(gè)變量，分別為下落的距離y（單位：m）與時(shí)間x（單位：s），當(dāng)時(shí)間x確定后，都有唯一確定的距離y與之對(duì)應(yīng).

師：仿照情境1，先給出下落的距離y（單位：m）與時(shí)間x（單位：s）的變化范圍，然后用集合的觀點(diǎn)來(lái)描述情境2中這兩個(gè)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

生8：時(shí)間x（單位：s）的變化范圍為數(shù)集A=［0，+∞），下落的距離y（單位：m）的變化范圍為數(shù)集B=［0，+∞），則集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng).

情境3 圖1是某市某天的氣溫變化圖，你能仿照情境1和情境2的研究方法來(lái)描述氣溫隨著時(shí)間變化而變化的過(guò)程嗎？

問(wèn)題給出后，教師預(yù)留充足的時(shí)間讓學(xué)生去感受、去表述，然后點(diǎn)名讓學(xué)生回答.

生9：在這個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量，分別是時(shí)間和氣溫，時(shí)間的變化范圍是數(shù)集A=［0，24］，氣溫的變化范圍是數(shù)集B=［-2，10］，則集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng).

設(shè)計(jì)意圖 結(jié)合函數(shù)的具體特點(diǎn)引入情境，讓學(xué)生在具體的情境中思考、感悟、提煉，繼而將感性認(rèn)識(shí)上升至理性認(rèn)識(shí)，順利地由初中的“變量說(shuō)”過(guò)渡到高中的“對(duì)應(yīng)說(shuō)”，幫助學(xué)生積累豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生自主探究的能力.

3. 從抽象到概括，形成理性認(rèn)識(shí)

問(wèn)題8 回顧上述三個(gè)情境，它們具有怎樣的共同本質(zhì)屬性？請(qǐng)用集合的觀點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)歸納.

教師讓學(xué)生以小組為單位進(jìn)行歸納概括：上述三個(gè)情境都有兩個(gè)集合A和B，且集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng).

問(wèn)題9 請(qǐng)分別說(shuō)一說(shuō)，各個(gè)情境的集合A中的數(shù)是按照什么法則與集合B中的數(shù)對(duì)應(yīng)的呢？

生10：對(duì)于情境1，按照的是表格給出的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

生11：對(duì)于情意2，按照的是y=4.9x2這一解析式給出的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

生12：情境3按照的是曲線圖給出的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

師：非常好，通常我們將對(duì)應(yīng)關(guān)系用字母f表示.

問(wèn)題10 情境1和情境3是否也可以像情境2那樣，利用解析式建立其對(duì)應(yīng)關(guān)系呢？（學(xué)生紛紛搖頭）

生13：這兩個(gè)情境很難找到具體的解析式.

師：確實(shí)如此. 結(jié)合以上情境我們可以看見(jiàn)，函數(shù)的表示形式有很多，其不局限于解析式，還可以是表格、圖象等.

師：結(jié)合以上分析，能否用集合與對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言為函數(shù)下定義呢？

教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生討論交流、歸納總結(jié). 在此基礎(chǔ)上，教師讓學(xué)生思考集合A和集合B具有怎樣的特征，它們是否可以為空集，等等. 這樣在教師的啟發(fā)和指導(dǎo)下，學(xué)生逐漸掌握了函數(shù)的概念.

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)對(duì)情境的深入探究讓學(xué)生體會(huì)函數(shù)表示形式的多樣性，跳出僅有具體解析式為對(duì)應(yīng)關(guān)系的局限，幫助學(xué)生獲得全面的、深刻的理解. 在此過(guò)程中，教師引導(dǎo)學(xué)生將初中的函數(shù)概念與高中的函數(shù)概念相結(jié)合，用“集合觀”來(lái)理解函數(shù)的概念，學(xué)會(huì)用發(fā)展的眼光來(lái)看待問(wèn)題. 另外，教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生觀察、交流、歸納，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

師：現(xiàn)在我們根據(jù)函數(shù)新概念來(lái)解決前面提出的兩個(gè)舊問(wèn)題：y=1是函數(shù)嗎？y=x和y=是同一個(gè)函數(shù)嗎？

教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生思考、交流.

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)y=1是否為函數(shù)，你的理由是什么？

生14：y=1是函數(shù)，集合A是R，集合B是｛1｝，對(duì)于集合A中的每一個(gè)元素，集合B中都有唯一的元素1與之對(duì)應(yīng)，符合函數(shù)新概念，所以它是函數(shù).

師：很好. y=x和y=是同一個(gè)函數(shù)嗎？誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō).

生15：對(duì)于y=x，其定義域?yàn)镽，而對(duì)于y=，顯然x≠0，它們的定義域不同，所以它們不是同一個(gè)函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生重新思考課初提出的問(wèn)題，使學(xué)生感受函數(shù)新概念的一般性和準(zhǔn)確性，進(jìn)而理解探索函數(shù)新概念的必要性. 同時(shí)，與初中的函數(shù)概念相比較，讓學(xué)生體會(huì)函數(shù)新舊概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，深化學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解.

4. 從概念到應(yīng)用，促進(jìn)概念深化

問(wèn)題11 判斷下列對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)，并給出理由.

問(wèn)題給出后，教師讓學(xué)生獨(dú)立思考，然后分別呈現(xiàn)學(xué)生的思考過(guò)程.

師：對(duì)于問(wèn)題（1），你是怎么想的呢？

生16：任意非零實(shí)數(shù)x，被唯一確定，由此判斷該對(duì)應(yīng)關(guān)系是函數(shù)，可以表示為f（x）=（x≠0）.

師：?jiǎn)栴}（1）中的集合B是什么？

生17：｛f（x）x≠0，x∈R ｝.

師：它可以是R嗎？（學(xué)生陷入沉思）

生18：可以，當(dāng)集合B為R時(shí)，集合A中每一個(gè)元素x，在R中都有唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng)，符合函數(shù)的定義.

師：集合B還可以是其他集合嗎？如果可以，這些集合具有怎樣的共同特征呢？

經(jīng)過(guò)深入思考與交流，學(xué)生一致認(rèn)為集合B還可以是其他集合，但這些集合必須包含集合｛f（x）x≠0，x∈R ｝.

師：該函數(shù)的值域是什么呢？

生齊聲答：｛f（x）x≠0，x∈R ｝.

師：如果將｛f（x）x≠0，x∈R ｝看成集合C，那么其與集合B是什么關(guān)系呢？

生19：集合C是集合B的子集.

師：非常好！問(wèn)題（2）中的對(duì)應(yīng)關(guān)系是函數(shù)嗎？

生20：它不是函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)x唯一確定時(shí)，有兩個(gè)y值與之對(duì)應(yīng)，不符合函數(shù)的定義.

師：下一個(gè).

生21：?jiǎn)栴}（3）中的對(duì)應(yīng)關(guān)系是函數(shù)，可以表示為f（1）=2，f（2）=4，f（3）=9. 它們雖然沒(méi)有具體的函數(shù)關(guān)系式，但是符合函數(shù)的定義.

生22：?jiǎn)栴}（4）中的對(duì)應(yīng)關(guān)系是函數(shù)，可以將集合A和集合B都看成R，根據(jù)曲線圖可知，對(duì)于集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng)，符合函數(shù)的定義.

設(shè)計(jì)意圖 函數(shù)的概念是抽象的，學(xué)生雖然親身經(jīng)歷了函數(shù)概念形成的過(guò)程，但是學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解還是比較淺顯的，因此教學(xué)中有必要給出一些具體練習(xí)讓學(xué)生進(jìn)行思考辨析，以此促進(jìn)對(duì)函數(shù)概念的深化. 在該環(huán)節(jié)的練習(xí)設(shè)計(jì)中，教師沒(méi)有一味地強(qiáng)調(diào)函數(shù)概念滿足的條件和一些注意事項(xiàng)，而是通過(guò)一些正反實(shí)例讓學(xué)生進(jìn)行思考辨析，以此通過(guò)多角度思考和交流達(dá)成知識(shí)的內(nèi)化，提高概念教學(xué)的有效性.

教學(xué)思考

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)之一，但這很難依賴講授來(lái)完成，需要將其融入數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中. 以學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)為例，只有讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)才能潛移默化地得到提升. 數(shù)學(xué)概念具有高度的抽象性，其是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的重要素材. 在概念教學(xué)中，教師不要急于將抽象的概念講授給學(xué)生，應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的抽象過(guò)程，以此落實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng). 數(shù)學(xué)抽象過(guò)程一般需要經(jīng)歷三個(gè)階段，分別是簡(jiǎn)約階段、符號(hào)階段和普適階段，從這三個(gè)階段落實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是很有必要的.

1. 簡(jiǎn)約階段

該階段的主要任務(wù)是將事物的本質(zhì)屬性逐漸提煉出來(lái)，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言清晰地、有條理地進(jìn)行表述. 在函數(shù)概念教學(xué)中，教師先讓學(xué)生列舉一些初中所學(xué)的函數(shù)實(shí)例，然后提出“y=1是函數(shù)嗎”“y=x和y=是同一個(gè)函數(shù)嗎”等問(wèn)題引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，讓學(xué)生體會(huì)研究函數(shù)新概念的必要性. 為了深入探究函數(shù)概念的本質(zhì)屬性，教師又給出了豐富的情境和典型的案例，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、比較、分析等過(guò)程逐漸體會(huì)函數(shù)的本質(zhì)其實(shí)就是一種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系. 在以上過(guò)程中，學(xué)生從具體情境中抽象一般規(guī)律，提煉函數(shù)概念的本質(zhì)屬性，提升了數(shù)學(xué)抽象能力.

2. 符號(hào)階段

該階段旨在運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)簡(jiǎn)約化的關(guān)系，從而使抽象出來(lái)的結(jié)果更加清晰明了. 例如，把函數(shù)記作y=f（x）（x∈A），其中x表示集合A中的元素，y表示集合B中的元素，f為對(duì)應(yīng)關(guān)系. 在本課教學(xué)中，教師沒(méi)有直接給出函數(shù)的定義，而是提出精心設(shè)計(jì)的問(wèn)題串，讓學(xué)生在問(wèn)題的引領(lǐng)下用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行歸納概括，然后是教師的修正. 在教師的啟發(fā)和指導(dǎo)下，學(xué)生用精準(zhǔn)的符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)出簡(jiǎn)約階段得到的對(duì)應(yīng)關(guān)系，提升了數(shù)學(xué)表達(dá)能力.

3. 普適階段

該階段旨在通過(guò)假設(shè)和推理等過(guò)程建立數(shù)學(xué)法則、數(shù)學(xué)模型等，并利用它們解釋具體的事物. 在引入階段，教師讓學(xué)生辨析“y=1是否為函數(shù)”和“y=x和y=是否為同一個(gè)函數(shù)”. 對(duì)于這兩個(gè)問(wèn)題，學(xué)生很難用初中的函數(shù)概念加以解釋，但是得到函數(shù)新概念后，問(wèn)題便迎刃而解. 在應(yīng)用階段，教師又給出不同的正反實(shí)例讓學(xué)生思考辨析. 這樣通過(guò)以上問(wèn)題的解決，讓學(xué)生充分體驗(yàn)到函數(shù)新概念的一般性、準(zhǔn)確性和簡(jiǎn)約性，體會(huì)到研究函數(shù)新概念的重要性和必要性.

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)的意義不僅是讓學(xué)生掌握知識(shí)，更重要的是通過(guò)經(jīng)歷知識(shí)形成、發(fā)展、應(yīng)用等過(guò)程讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)核心思想，提升關(guān)鍵能力，養(yǎng)成思考一般性問(wèn)題的習(xí)慣.

作者簡(jiǎn)介：劉勃（1982—），本科學(xué)歷，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.