樊繼威

[摘 要] 好的問題是有意義、有意思、能引發(fā)學(xué)生新的困惑的問題.在教學(xué)中，設(shè)計(jì)好的數(shù)學(xué)問題，要從問題的序、質(zhì)、態(tài)等角度入手，要對(duì)好的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行積極的評(píng)價(jià)，讓好的數(shù)學(xué)問題能促進(jìn)學(xué)生的深度參與、深度實(shí)踐和深度反思.教師不僅要設(shè)計(jì)好的數(shù)學(xué)問題，更要應(yīng)用好的數(shù)學(xué)問題，借助好的數(shù)學(xué)問題，促進(jìn)學(xué)生高階思維的發(fā)展，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力的提升，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成.

[關(guān)鍵詞]初中數(shù)學(xué)；問題設(shè)計(jì)；問題導(dǎo)學(xué)

問題是數(shù)學(xué)的心臟，也是學(xué)生數(shù)學(xué)思考、探究的觸發(fā)器.在教學(xué)中，教師要善于設(shè)計(jì)問題，以問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).好的數(shù)學(xué)問題往往能切入數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)，能引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，從而讓學(xué)生產(chǎn)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)需力.實(shí)踐證明，好的數(shù)學(xué)問題往往使學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)事半功倍.什么是好的數(shù)學(xué)問題？怎樣設(shè)計(jì)好的數(shù)學(xué)問題？筆者在實(shí)踐中展開了一些思考、探索.

好的數(shù)學(xué)問題的特質(zhì)

好的數(shù)學(xué)問題既能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的知識(shí)本質(zhì)，又能催生學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、想象；不僅是“有意義”的問題，還是“有意思”的問題.有意義，表征的是問題的數(shù)學(xué)屬性；有意思，表征的是問題的學(xué)生屬性.好的數(shù)學(xué)問題能讓學(xué)生產(chǎn)生新舊認(rèn)知的沖突，進(jìn)而引發(fā)學(xué)生的深度思考、想象與探究.好的數(shù)學(xué)問題能充分發(fā)揮問題的導(dǎo)學(xué)功能、育人功能，充分彰顯問題的導(dǎo)學(xué)價(jià)值、育人價(jià)值等.

1.好的數(shù)學(xué)問題是有意義的問題

好的數(shù)學(xué)問題，是有意義、有價(jià)值的數(shù)學(xué)問題.這種數(shù)學(xué)問題，能讓學(xué)生有效地把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)屬性和關(guān)聯(lián).比如，教學(xué)“全等三角形”這一部分內(nèi)容時(shí)，筆者設(shè)計(jì)了這樣兩個(gè)問題：全等三角形是怎樣的兩個(gè)三角形？至少需要幾個(gè)條件才能讓兩個(gè)三角形一定全等？這兩個(gè)問題，一個(gè)是關(guān)于全等三角形的本質(zhì)性的問題，另一個(gè)是關(guān)于全等三角形的操作實(shí)踐性的問題，是關(guān)于全等三角形的判定性的問題.有了這樣兩個(gè)問題，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就有了相應(yīng)的支撐.由于好的數(shù)學(xué)問題能體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)、特質(zhì)，因此有極高的研究意義和價(jià)值.

2.好的數(shù)學(xué)問題是有意思的問題

好的數(shù)學(xué)問題能激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性，發(fā)掘?qū)W生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的創(chuàng)造性.好的數(shù)學(xué)問題是有意思的問題.一般來說，好的數(shù)學(xué)問題能架構(gòu)學(xué)生的已知和未知，是溝通學(xué)生已知和未知的橋梁.好的數(shù)學(xué)問題能激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，讓學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的探究內(nèi)需.同時(shí)，好的數(shù)學(xué)問題也能啟發(fā)、暗示學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，能讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生一些靈感、思緒、直覺等.比如，教學(xué)“一次函數(shù)”時(shí)，筆者將正比例函數(shù)引入其中，引導(dǎo)學(xué)生比較正比例函數(shù)和一次函數(shù)，并提出這樣的問題：正比例函數(shù)和一次函數(shù)的聯(lián)系和區(qū)別是什么？這個(gè)問題，激發(fā)了學(xué)生的比較興趣和積極性，引發(fā)學(xué)生對(duì)正比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式、特征、圖象等進(jìn)行了全方位的檢視，使學(xué)生從中自主發(fā)現(xiàn)正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù).在此過程中，學(xué)生不僅深刻地理解了正比例函數(shù)，還在正比例函數(shù)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上，深入學(xué)習(xí)了一次函數(shù).

3.好的數(shù)學(xué)問題是有困惑的問題

好的數(shù)學(xué)問題不僅能幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，更能幫助學(xué)生分析問題、解決問題.實(shí)踐證明，好的數(shù)學(xué)問題往往是能引發(fā)學(xué)生質(zhì)疑的問題，能讓學(xué)生產(chǎn)生新的困惑和障礙.只有當(dāng)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中不斷地產(chǎn)生新的問題，才能產(chǎn)生自主的、深度的研究內(nèi)需.比如，教學(xué)“垂直平分線”這一部分內(nèi)容時(shí)，筆者創(chuàng)設(shè)了一個(gè)情境化的問題：在A，B兩個(gè)村子之間要修建一所學(xué)校. A村的人要求學(xué)校距離A村近一些，B村的人要求學(xué)校距離B村近一些.如何才能做到公平呢？融入情境的問題，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考：要做到公平，就必須讓學(xué)校建設(shè)的地點(diǎn)距離A，B兩個(gè)村子一樣.如何才能讓學(xué)校距離兩個(gè)村子一樣呢？學(xué)校與兩個(gè)村子之間是怎樣的關(guān)系呢？在問題的驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生將學(xué)校、兩個(gè)村子抽象成點(diǎn)，并用一條線段將兩個(gè)村子連起來，從而逐步建構(gòu)出線段垂直平分線的概念.

好的數(shù)學(xué)問題是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的源頭活水，能驅(qū)動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).教師要善于設(shè)計(jì)好的數(shù)學(xué)問題，通過好的數(shù)學(xué)問題，驅(qū)動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)，驅(qū)動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新學(xué)習(xí).好的數(shù)學(xué)問題，往往切入學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，往往能契合學(xué)生的具體學(xué)情，能關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)特征，關(guān)照學(xué)生的學(xué)習(xí)差異等.好的數(shù)學(xué)問題，能讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的注意力更集中、思維更活躍.

好的數(shù)學(xué)問題的設(shè)計(jì)

好的數(shù)學(xué)問題不是任意性的問題，而是需要對(duì)問題進(jìn)行優(yōu)化“提純”.在教學(xué)中，好的數(shù)學(xué)問題往往比較貼合學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)、生活，它源于教師的精心預(yù)設(shè)，源于課堂的精彩生成.在設(shè)計(jì)問題的過程中，教師要明確教學(xué)目標(biāo)、內(nèi)容等.教師不僅要注重好的數(shù)學(xué)問題的表征，還要注重好的數(shù)學(xué)問題的呈現(xiàn)形式，注重好的數(shù)學(xué)問題的引導(dǎo)方式等.

1.優(yōu)化數(shù)學(xué)問題的“序”

設(shè)計(jì)好的數(shù)學(xué)問題不僅關(guān)注問題本身，還要關(guān)注問題與問題之間的關(guān)系.這就要求教師在設(shè)計(jì)問題時(shí)，要注重問題的“序”，要把好的數(shù)學(xué)問題建構(gòu)成一個(gè)“問題鏈”“問題群”.好的數(shù)學(xué)問題是層次性、階梯性的問題，能引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考、探究等拾級(jí)而上.比如，教學(xué)“外接圓”這一部分內(nèi)容時(shí)，給出圓的內(nèi)接四邊形后，筆者設(shè)計(jì)了以下一些問題：三角形有外接圓嗎？四邊形有外接圓嗎？怎樣的四邊形有外接圓？這樣的問題，從學(xué)生的已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)——三角形的外接圓出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生逐步探究長方形的外接圓、正方形的外接圓以及一般平行四邊形、一般菱形及任意的一個(gè)四邊形的外接圓.在問題的導(dǎo)引下，學(xué)生展開積極的動(dòng)手實(shí)驗(yàn).通過動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，學(xué)生認(rèn)識(shí)到正方形、矩形等有外接圓，而其他四邊形則不一定有外接圓.那么，其他四邊形為什么沒有外接圓呢？學(xué)生會(huì)在問題的驅(qū)動(dòng)下對(duì)四邊形的外接圓展開深入的探討.優(yōu)化問題的“序”，讓學(xué)生的問題有順序、有方向、有層次、有針對(duì)性、有實(shí)效性等.在教學(xué)中，教師要把好的數(shù)學(xué)問題集結(jié)成一個(gè)問題鏈、問題塊、問題群等，要關(guān)注問題的關(guān)系，關(guān)注問題的整體.

2.提升數(shù)學(xué)問題的“質(zhì)”

問題設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)具有一定的綜合性、探索性.為此，教師在問題設(shè)計(jì)過程中要關(guān)注問題的“質(zhì)”，要借助問題引導(dǎo)學(xué)生“像數(shù)學(xué)家一樣進(jìn)行思考、探究”.“像數(shù)學(xué)家一樣思考、探究”不僅要求問題能導(dǎo)引學(xué)生建構(gòu)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)知識(shí)，還要求問題能導(dǎo)引學(xué)生形成“看問題的視角”“看問題的立場”，要導(dǎo)引學(xué)生形成“數(shù)學(xué)的眼光”和“數(shù)學(xué)的大腦”等.通過問題，學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)化、公理化、形式化的過程.換言之，問題要能導(dǎo)引學(xué)生充分地對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行組織、遷移和應(yīng)用.首都師范大學(xué)王尚志教授認(rèn)為“問題是培育學(xué)生思維的有效載體”.比如，教學(xué)“垂線段”這一部分內(nèi)容時(shí)，筆者借助多媒體呈現(xiàn)了一個(gè)人行橫道線的視頻，引導(dǎo)學(xué)生提出這樣的問題：人如何行走才能讓路線最短？你能將最短的路線畫出來嗎？這樣的問題，一方面引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)垂線段的本質(zhì)，另一方面引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)踐操作去了解垂線段.這兩個(gè)問題將理論認(rèn)知與實(shí)踐操作等結(jié)合起來，更能積累學(xué)生的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)有效的導(dǎo)學(xué).

3.優(yōu)化數(shù)學(xué)問題的“態(tài)”

問題的“態(tài)”是指“問題的適切性”，也就是指“問題能切入學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)”，能引導(dǎo)學(xué)生從“現(xiàn)實(shí)認(rèn)知水平”過渡到“可能認(rèn)知水平”.這樣的問題，能讓學(xué)生“夠得著”，同時(shí)又能夠促發(fā)學(xué)生“跳一跳”.在教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)很多教師的數(shù)學(xué)問題設(shè)計(jì)，要么是難度過高，導(dǎo)致學(xué)生望而卻步；要么是沒有難度，讓學(xué)生喪失學(xué)習(xí)的興趣.優(yōu)化問題的“態(tài)”，就是要讓問題具有一定的挑戰(zhàn)性，能導(dǎo)引學(xué)生通過思考、探究，獲得問題的解決，從而讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中獲得成功感、成就感、幸福感等.同時(shí)，優(yōu)化問題的“態(tài)”，還指通過問題能讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的基本思想方法等.比如，教學(xué)“乘法公式”這一部分內(nèi)容時(shí)，承接學(xué)生的已有認(rèn)知，筆者在教學(xué)中設(shè)計(jì)了這樣幾個(gè)問題：①多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則是什么？用符號(hào)來概括.②如果我們將“（a+b）（c+d）”中的“（c+d）”改為“（a+b）”，就會(huì)出現(xiàn)（a+b）（a+b），也就是（a+b）2.請你利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則計(jì)算，你發(fā)現(xiàn)了什么？③如何用語言來描述你的發(fā)現(xiàn)？如何用符號(hào)來表達(dá)你的發(fā)現(xiàn)？通過這些問題，將學(xué)生的先前經(jīng)驗(yàn)調(diào)動(dòng)起來，讓問題發(fā)揮“先行組織者”的作用，由此促進(jìn)學(xué)生自主建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí).

設(shè)計(jì)好的數(shù)學(xué)問題，就是優(yōu)化問題的“序”、提升問題的“質(zhì)”、優(yōu)化問題的“態(tài)”.好的數(shù)學(xué)問題，能引導(dǎo)學(xué)生突破思維障礙，促進(jìn)學(xué)生自主建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).問題導(dǎo)學(xué)是一種符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的教學(xué).教師要充分發(fā)揮問題的導(dǎo)學(xué)、啟思功能，讓問題成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要支架、抓手等.

好的數(shù)學(xué)問題的評(píng)價(jià)

評(píng)價(jià)一個(gè)問題的好，不僅要從事實(shí)層面來展開，還要聯(lián)系具體的學(xué)習(xí)情境，從價(jià)值、意義的層面來鋪開.一般來說，好的數(shù)學(xué)問題往往能引導(dǎo)學(xué)生深度參與、深度體驗(yàn)，能讓學(xué)生充分地經(jīng)歷，能引發(fā)學(xué)生積極思考、探究.好的數(shù)學(xué)問題具有情境性、探究性、拓展性、延續(xù)性.好的數(shù)學(xué)問題，能衍生出新的問題，能引發(fā)學(xué)生深度學(xué)習(xí).

1.好的數(shù)學(xué)問題讓學(xué)生充分經(jīng)歷

學(xué)生深度學(xué)習(xí)首先需要學(xué)生充分經(jīng)歷學(xué)習(xí)過程.只有充分經(jīng)歷，學(xué)生才能把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)特征.在教學(xué)中，教師要通過問題不斷地讓學(xué)生處于一種心理失衡的狀態(tài)，在心理認(rèn)知不斷提升中獲得學(xué)習(xí)進(jìn)階.在這個(gè)過程中，學(xué)生能充分發(fā)揮自身的主體性，能充分感受、經(jīng)歷并領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過程.比如，教學(xué)“軸對(duì)稱圖形”時(shí)，筆者首先借助多媒體課件呈現(xiàn)了系列圖形，其中有軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形、不對(duì)稱圖形等.在此基礎(chǔ)上，筆者設(shè)計(jì)出兩個(gè)問題：一是“你能給這些圖形分類嗎？”；二是“這一類圖形有怎樣的共同特征？”.這兩個(gè)問題，讓學(xué)生充分經(jīng)歷自主建構(gòu)軸對(duì)稱圖形的過程，從而建構(gòu)“軸對(duì)稱”“對(duì)稱軸”“軸對(duì)稱圖形”等概念.由于問題讓學(xué)生經(jīng)歷了分類分析、歸類分析的過程，因此學(xué)生對(duì)“軸對(duì)稱”“對(duì)稱軸”等概念的理解較為到位.

2.好的數(shù)學(xué)問題讓學(xué)生充分實(shí)踐

好的數(shù)學(xué)問題不僅能引發(fā)學(xué)生深度思考，還能引發(fā)學(xué)生深度實(shí)踐.學(xué)生在實(shí)踐中感悟，在實(shí)踐中發(fā)展.實(shí)踐的過程，就是學(xué)生積極主動(dòng)的創(chuàng)造過程.通過實(shí)踐，學(xué)生能對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行“再創(chuàng)造”，能將數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、思想、方法等納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中.同時(shí)，實(shí)踐還能促發(fā)學(xué)生彼此互動(dòng)、交流.比如，教學(xué)“平行四邊形”這一部分內(nèi)容時(shí)，為了讓學(xué)生認(rèn)識(shí)“平行四邊形”“矩形”“菱形”“正方形”等圖形之間的關(guān)系，筆者設(shè)計(jì)出了這樣幾個(gè)問題：怎樣的平行四邊形是矩形？怎樣的平行四邊形是菱形？怎樣的平行四邊形是正方形？怎樣的菱形是正方形？怎樣的矩形是正方形？提出這些問題后，引導(dǎo)學(xué)生在平板上操作，從而讓學(xué)生展開積極的猜想.在此基礎(chǔ)上，又引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的方法去證明.可以這樣說，問題是實(shí)踐、猜想的先導(dǎo)，而實(shí)踐、猜想又是數(shù)學(xué)證明的先導(dǎo).

3.好的數(shù)學(xué)問題讓學(xué)生充分反思

好的數(shù)學(xué)問題能讓學(xué)生充分反思.在教學(xué)中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生思考“怎樣做”，還要引導(dǎo)學(xué)生思考“為什么這樣做”.只有讓學(xué)生明晰“為什么這樣做”，才能讓學(xué)生的探索朝向同一方向.反思，不僅可以在學(xué)生活動(dòng)之后，還可以在學(xué)生活動(dòng)之中、活動(dòng)之前.教師通過引導(dǎo)學(xué)生充分反思，助力學(xué)生的數(shù)學(xué)智慧生長.比如，教學(xué)“反比例函數(shù)”之后，筆者提出這樣的問題：為什么坦克的輪子上要加上又寬又長的履帶？為什么裝滿貨物的車子行駛的速度明顯減慢？等等.設(shè)計(jì)一些對(duì)生活現(xiàn)象的反思性問題，引導(dǎo)學(xué)生從反比例函數(shù)的概念走向反比例函數(shù)的應(yīng)用，從而讓學(xué)生更加深刻地理解反比例函數(shù).

好的數(shù)學(xué)問題能增長學(xué)生數(shù)學(xué)自主建構(gòu)的動(dòng)力，能促進(jìn)學(xué)生對(duì)核心知識(shí)的感悟，還能引發(fā)學(xué)生新思考.在教學(xué)中，教師要精心設(shè)計(jì)好的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生在好的數(shù)學(xué)問題的驅(qū)動(dòng)下，展開深度的數(shù)學(xué)思考、實(shí)踐.好的數(shù)學(xué)問題能促進(jìn)學(xué)生高階思維的發(fā)展，能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).