唐秦

數(shù)學(xué)抽象作為六大核心素養(yǎng)之首，在數(shù)學(xué)知識(shí)的形成和應(yīng)用中起著至關(guān)重要的作用．通過抽象，我們獲得了數(shù)學(xué)概念，數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)方法，甚至更高層次的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系，一切數(shù)學(xué)對(duì)象都可以看成數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果．而數(shù)學(xué)模型、方法、結(jié)構(gòu)等都可以看成在數(shù)學(xué)概念基礎(chǔ)上進(jìn)一步抽象的結(jié)果，因此概念教學(xué)是提升高中生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的重要環(huán)節(jié)．近日筆者在江蘇省普通高中校長(zhǎng)任職資格班跟崗培訓(xùn)活動(dòng)中開了一節(jié)“平面向量的數(shù)量積”公開課，本節(jié)課讓學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)量積概念及性質(zhì)的抽象過程，加深了學(xué)生對(duì)于概念本質(zhì)的理解，現(xiàn)將本節(jié)課的教學(xué)過程和教學(xué)反思梳理如下．

1 教學(xué)內(nèi)容簡(jiǎn)析

《向量的數(shù)量積》為《普通高中教科書必修第二冊(cè)》（人教版）第六章第二節(jié)第六課時(shí)．在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了向量的三種線性運(yùn)算：向量的加法、減法和數(shù)乘．這三種線性運(yùn)算的研究都是從物理模型出發(fā)，抽象出數(shù)學(xué)概念，接著分別研究運(yùn)算的相關(guān)性質(zhì)、運(yùn)算律及應(yīng)用．本節(jié)課類比向量的三種線性運(yùn)算的研究思路，引導(dǎo)學(xué)生從已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)探究向量的數(shù)量積，讓學(xué)生經(jīng)歷平面向量的數(shù)量積的概念及性質(zhì)的抽象過程．

2 教學(xué)過程

2.1 復(fù)習(xí)舊知引入物理模型

問題1 同學(xué)們，前面我們學(xué)習(xí)了向量的三種線性運(yùn)算，請(qǐng)大家回顧一下，這三種線性運(yùn)算的結(jié)果有什么共同的特征？我們研究這三種線性運(yùn)算的一般思路又是什么？

生：向量的加法、減法和數(shù)乘三種線性運(yùn)算的結(jié)果都是向量；對(duì)于這三種線性運(yùn)算的研究都遵循著“物理模型——數(shù)學(xué)概念（運(yùn)算的定義）——運(yùn)算性質(zhì)——運(yùn)算律——應(yīng)用”這一研究思路．

問題2 我們知道向量與向量能夠相加、相減，那么能不能相乘呢？類比前面的研究思路，請(qǐng)同學(xué)們嘗試尋找矢量與矢量相乘的物理模型．

生：物理中的功等于力與力的方向上位移的乘積，而力與位移都是矢量（向量）．

師：這里嚴(yán)格來說應(yīng)該是力和位移兩個(gè)向量的模的乘積，如果將力和位移分別用F和s表示，則力F所做的功W=|F||s|．

問題3 如果力F和物體位移s方向的夾角為θ．那么力F所做的功為多少？

生：將力F正交分解成物體位移方向上的分力F1和垂直于物體位移方向上的分力F2．因此力F所做的功W=|F1||s|=|F||s|cosθ．

設(shè)計(jì)意圖：向量的數(shù)量積既是向量運(yùn)算體系形成發(fā)展的內(nèi)部需要，又具其物理背景．這里延續(xù)向量三種線性運(yùn)算的研究思路，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)向量數(shù)量積的物理模型．

2.2 逐級(jí)抽象生成數(shù)學(xué)概念

問題4 請(qǐng)同學(xué)們從運(yùn)算的對(duì)象和結(jié)果兩個(gè)方面，總結(jié)“求功運(yùn)算”的特點(diǎn)．

生：“求功運(yùn)算”不同于前面所學(xué)的三種線性運(yùn)算，具有如下特點(diǎn)：（1）功W是兩個(gè)向量F和s的某種運(yùn)算的結(jié)果，而且結(jié)果是一個(gè)數(shù)量；（2）功不僅與兩個(gè)向量的大小有關(guān)，還與它們的方向有關(guān)．

問題5 從“求功運(yùn)算”中，可以抽象出怎樣的數(shù)學(xué)運(yùn)算？

生：將兩個(gè)向量F和s抽象成a和b，力F和物體位移s方向的夾角θ抽象地看成a和b的夾角，這種新的運(yùn)算實(shí)際上是從a，b得到數(shù)量|a||b|cosθ的運(yùn)算．

師：我們把這種新的運(yùn)算稱為向量的數(shù)量積運(yùn)算，運(yùn)算的結(jié)果稱為兩個(gè)向量的數(shù)量積，求功運(yùn)算就屬于向量的數(shù)量積運(yùn)算．事實(shí)上，向量的乘積運(yùn)算除了數(shù)量積之外，還有一種向量積運(yùn)算，這兩種運(yùn)算的定義最初是由Gibbs和Heaviside給出，前者的運(yùn)算結(jié)果為數(shù)量，后者的運(yùn)算結(jié)果依然為向量．現(xiàn)在同學(xué)們知道這里為什么叫數(shù)量積了吧．

問題6 你能給向量的數(shù)量積下定義嗎？

生：已知兩個(gè)向量a和b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做a和b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記做a·b，即a·b=|a||b|cosθ．

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生從物理模型出發(fā)，舍去事物的物理屬性，抽取其中的數(shù)量關(guān)系，從而抽象出向量的數(shù)量積運(yùn)算．然而上述的定義并未交待向量夾角的相關(guān)規(guī)定，需要進(jìn)一步地抽象，形成最終的定義．

問題7 在上面的定義中，提到了“兩個(gè)向量的夾角”的概念，應(yīng)該如何給“兩個(gè)向量的夾角”下定義呢？

生：物理模型中的F和s是共起點(diǎn)的，而我們研究的向量都是自由向量，因此可以將兩個(gè)向量平移至共起點(diǎn)，又cosθ=cos（2π－θ），可以將形成的［0，π］范圍內(nèi)的角看成兩個(gè)向量的夾角．而我們并沒有給出零向量方向的定義，所以兩個(gè)向量的夾角應(yīng)該定義在非零向量的基礎(chǔ)上．

師：既然兩個(gè)向量的夾角定義在非零向量的基礎(chǔ)上，那么向量的數(shù)量積定義應(yīng)該怎樣修改呢？零向量的數(shù)量積又應(yīng)該如何定義？

生：物理模型中的物體在垂直于物體位移方向上的分力F2，垂直方向上的位移為0，而F2對(duì)物體所做的功的大小為0，因此零向量與任意向量的數(shù)量積為0．

設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生垂直重組已有知識(shí)，結(jié)合特殊的向量積運(yùn)算（求功運(yùn)算），抽象出向量夾角的概念，及對(duì)零向量數(shù)量積的規(guī)定．至此，抽象出了向量的數(shù)量積的完整定義．

向量的數(shù)量積定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做a和b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記做a·b，即a·b=|a||b|·cosθ．我們規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即0·a=a·0=0．

2.3 從特殊到一般探究性質(zhì)

如圖1，P0是半徑為1的半圓弧的中點(diǎn)，點(diǎn)P是該圓弧上的任意一點(diǎn)．

（3）通過前兩問的研究，你有哪些發(fā)現(xiàn)？這些規(guī)律能不能推廣？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生從兩個(gè)特殊的向量（單位向量）的數(shù)量積出發(fā)，把握本質(zhì)屬性，抽象出向量數(shù)量積的性質(zhì)（即弱抽象）．

實(shí)際授課中，學(xué)生抽象出以下性質(zhì)：

師（結(jié)語）：同學(xué)們，這節(jié)課我們探究了向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)，然而我們的研究

還未結(jié)束．類比向量的三種線性運(yùn)算，我們還需要研究數(shù)量積的運(yùn)算律及其應(yīng)用，課后請(qǐng)大家以學(xué)習(xí)小組為單位，嘗試研究向量的數(shù)量積的運(yùn)算律，下節(jié)課我們一起來分享研究成果．

3 教學(xué)回顧與反思

3.1 教學(xué)回顧

本節(jié)課設(shè)計(jì)流程如圖2，首先從物理模型出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生舍去事物的物理屬性，抽取其中的數(shù)量關(guān)系，從而抽象出向量的數(shù)量積運(yùn)算．即通過情境抽象獲得對(duì)向量的數(shù)量積的最初認(rèn)識(shí)：向量的數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)數(shù)量，且不僅與兩個(gè)向量的大小有關(guān)，還與它們的方向有關(guān)，即向量的數(shù)量積是從a，b得到數(shù)量| a | | b | cosθ 的運(yùn)算．這顯然不能作為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義，筆者稱之為“數(shù)學(xué)相關(guān)性概念”．在“數(shù)學(xué)相關(guān)性概念”的基礎(chǔ)上，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生垂直重組已有的數(shù)學(xué)知識(shí)（包括：零向量方向的不確定性、自由向量等）構(gòu)建出新的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)（包括非零向量夾角，以及零向量數(shù)量積的規(guī)定），即通過理論抽象得到最終的數(shù)學(xué)概念．之后，通過一組探究題，讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的弱抽象過程，探究出向量的數(shù)量積的性質(zhì)（可看成更高層次的數(shù)學(xué)對(duì)象）．同時(shí)，得到的性質(zhì)還可以反過來應(yīng)用到物理模型中，如：在力和位移大小一定的情況下，隨著它們夾角的增大，所做的功越來越小等．總的來說，本節(jié)課讓學(xué)生經(jīng)歷了整個(gè)概念的生成過程，給學(xué)生足夠的探究空間，這樣的過程不僅有助于加深學(xué)生對(duì)于概念本質(zhì)的理解，而且能夠提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．

3.2 教學(xué)反思

新課標(biāo)主張數(shù)學(xué)教育應(yīng)逐漸從“知識(shí)立意”轉(zhuǎn)變?yōu)椤八仞B(yǎng)立意”，概念教學(xué)也應(yīng)將教學(xué)重心轉(zhuǎn)移到培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)的能力上面，即重視概念的抽象過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．

（1）創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念是抽象的，只有使抽象的東西獲得具體事例的支持，才能加深學(xué)生對(duì)概念的理解．向量的數(shù)量積對(duì)于學(xué)生是抽象的，而物理中的求功運(yùn)算卻是學(xué)生熟悉的，通過求功運(yùn)算引入向量的數(shù)量積，有助于學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的理解．同時(shí)，從情境中抽象出數(shù)學(xué)概念的過程也是“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界”的過程，這樣的過程有效地培養(yǎng)了學(xué)生從生活中抽象出數(shù)學(xué)問題的能力．因此，在概念教學(xué)過程中，創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的情境，引導(dǎo)學(xué)生從情境出發(fā)，抽象出數(shù)學(xué)概念，既符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，又能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．

（2）重視從特殊到一般的弱抽象過程

弱抽象也叫做概念“擴(kuò)張式抽象”，即從原型中選取某一特征（側(cè)面）加以抽象，從而獲得比原結(jié)構(gòu)更廣的結(jié)構(gòu)，使原結(jié)構(gòu)成為后者的特例［1］．在數(shù)量積的性質(zhì)的探究環(huán)節(jié)，筆者設(shè)計(jì)了從特殊到一般的弱抽象過程，首先讓學(xué)生感受兩個(gè)單位向量的數(shù)量積隨著夾角的改變而改變，通過進(jìn)一步的分析發(fā)現(xiàn)這樣的規(guī)律適用于任意兩個(gè)長(zhǎng)度確定的向量，既而抽象出向量的數(shù)量積的一系列性質(zhì)．

（3）以學(xué)生為主體，協(xié)助學(xué)生完成概念的抽象

數(shù)學(xué)活動(dòng)是素養(yǎng)的生成和發(fā)展的培養(yǎng)基，數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心不是熱鬧的形式，而是學(xué)生的思維參與深度［2］．教師在概念教學(xué)過程中，應(yīng)設(shè)置以學(xué)生為主體的抽象活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷從情境到數(shù)學(xué)概念的全過程，在活動(dòng)中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．在本節(jié)課中，筆者引導(dǎo)學(xué)生從物理模型出發(fā)，分析求功運(yùn)算的特點(diǎn)，并抽象成數(shù)學(xué)運(yùn)算，從而形成數(shù)學(xué)概念（向量的數(shù)量積），整個(gè)過程都是以學(xué)生為主體，包括數(shù)量積的定義也是由學(xué)生完成．整個(gè)過程自然流暢，充分發(fā)揮了學(xué)生的主觀能動(dòng)性，學(xué)生們主動(dòng)思考、主動(dòng)發(fā)現(xiàn)、相互交流并樂在其中．

參考文獻(xiàn)

［1］徐利治，張鴻慶．?dāng)?shù)學(xué)抽象度概念與抽象度分析法［J］．?dāng)?shù)學(xué)研究與評(píng)論，1985（2）．

［2］張思明. 提升數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值［J］．未來教育家，2016.