劉心華

一、問題提出

問題是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的平臺(tái)，看過問題三百個(gè)，不會(huì)解題也會(huì)問.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年修訂版）》要求在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等學(xué)科核心素養(yǎng)，教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)任務(wù)及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)創(chuàng)設(shè)合適的情境和問題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)問題，使用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言描述問題，用數(shù)學(xué)的思想、方法解決問題.在問題解決的過程中，理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.

本文以2023年高考新課標(biāo)Ⅰ卷第16題為例，探求問題解法并對(duì)問題進(jìn)行變式設(shè)計(jì)，讓學(xué)生掌握一類橢圓（雙曲線）焦點(diǎn)三角形問題的解答、幾何性質(zhì)及一般解題方法，提升能力，感悟思想，積累經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

二、試題解答

解法1：如圖1，不妨設(shè)點(diǎn)B在y軸非正半軸，依題意，設(shè)AF2=2t，t>0，

則BF2=3t=BF1，AF1=2a+2t，在Rt△ABF1中，9t2+（2a+2t）2=25t2，

解得t=a，所以AF1=4a，AF2=2a，BF2=BF1=3a，

評(píng)注：解法1是從條件出發(fā)，數(shù)形結(jié)合，把向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為幾何等式，考察焦點(diǎn)△AF1F2與Rt△ABF1的邊角聯(lián)系，借助三角形的正（余）弦定理找到基本量a，b，c的齊次式，從而求解問題；解法2將問題坐標(biāo)化，把向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)等式，借助雙曲線定義，通過坐標(biāo)運(yùn)算，找到基本量a，b，c的齊次關(guān)系求解問題.

三、變式設(shè)計(jì)

（一）變中求真，把握本質(zhì)

變式1 （2019年全國Ⅰ卷理10）已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1（－1，0），F(xiàn)2（1，0），過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn).若AF2=2F2B，AB=BF1，則C的方程為（? ）.

變式2 （2014年新課標(biāo)Ⅱ卷理20）設(shè)F1、F2

（2）若直線MN在y軸上的截距為2，且MN=5F1N，求a，b．

評(píng)注：以上變式問題從雙曲線到橢圓，由向量關(guān)系到長度關(guān)系，問題情境類似，問題解答都是從幾何（解三角形）或代數(shù)（坐標(biāo)運(yùn)算）的角度出發(fā)，尋求基本量a，b，c的齊次關(guān)系或求解基本量a，b，c.

（二）變中求活，舉一反三

解法1：如圖5，不妨設(shè)左、右焦點(diǎn)為F1、F2，由題意a=2c，則△AF1F2為正三角形，由過F1且垂直于AF2的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，所以∠EF1F2=300，

評(píng)注：變式3考察橢圓焦點(diǎn)三角形的中線問題，變式4考察橢圓焦點(diǎn)三角形的周長問題，解答時(shí)不變的是合理地設(shè)而不求、整體代換，變化的是靈活運(yùn)用正余弦定理、三角變換、面積公式、坐標(biāo)運(yùn)算等尋找變量間關(guān)系.

（三）變中求新，觸類旁通

（法二）由題意，設(shè)點(diǎn)P（x，y），則x2a2+y2b2=1，

x2+y2=c2， 解得y2=b4c2，又S△PF1F2=12F1F2·y=16，所以cy=16，故b=4，因?yàn)榇嬖邳c(diǎn)P使得PF1⊥PF2，則c≥b，即a2≥2b2=32，即a∈［42，+∞）.

評(píng)注：變式5求解離心率問題，審題分析要明確過點(diǎn)F1的直線與圓相切時(shí)，此切線與雙曲線左右兩只的交點(diǎn)情況，問題解決需分類討論；變式6問題求解要考察等邊△POF2與Rt△F1PF2之間的邊角關(guān)系，轉(zhuǎn)化化歸垂直關(guān)系求解問題.

（四）變中求異，融會(huì)貫通

評(píng)注：在求異中突破，在超越中貫通.變式7和變式8雖然不是焦點(diǎn)三角形問題，但問題解決的方法與思路完全可以遷移應(yīng)用焦點(diǎn)三角形問題；變式9焦點(diǎn)三角形角平分線的長度問題，統(tǒng)一整合轉(zhuǎn)化為角度問題，借助三角變換求解.

核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的問題變式設(shè)計(jì)，需要教師深入理解數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，把學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的養(yǎng)成滲透到日常教學(xué)中，遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，優(yōu)化設(shè)計(jì)出合適的問題，展示數(shù)學(xué)概念、結(jié)論、應(yīng)用的形成發(fā)展過程.在教學(xué)實(shí)踐中，需要教師不斷探索和創(chuàng)新教學(xué)方式，不僅重視如何教，更要重視如何學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)，積極探索開發(fā)出符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律、有助于提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的優(yōu)秀案例.