戴飆 方志平

數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是思維活動(dòng)的教學(xué).“思維”可以從不同的角度去解釋，從心理學(xué)的角度來(lái)說(shuō)，“思維”是人腦的一種高級(jí)的心理活動(dòng)，“思維”不同于其他心理活動(dòng)的本質(zhì)在于“思維”是對(duì)客觀事物本質(zhì)屬性以及內(nèi)在規(guī)律的反映［1］.思維品質(zhì)主要包括思維的廣闊性、深刻性、批判性和獨(dú)創(chuàng)性等幾個(gè)方面.針對(duì)思維品質(zhì)的訓(xùn)練，對(duì)提高學(xué)生的思維能力，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有積極的意義.本文列舉幾例闡述思維品質(zhì)在立體幾何解題中的滲透，供讀者參考.

1.在探索性問(wèn)題中滲透思維的廣闊性

思維的廣闊性是指善于全面地考察問(wèn)題，從事物的各種聯(lián)系中認(rèn)識(shí)事物，避免問(wèn)題的片面性及狹義性，這使我們不僅能抓住事物的基本特征，而且不忽略重要的細(xì)節(jié).數(shù)學(xué)思維的廣闊性具有流暢、變通和獨(dú)特的特點(diǎn)，在教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生不局限于某一種解題思路及方法，大膽聯(lián)想，從問(wèn)題的各種條件與結(jié)論出發(fā)，發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的新途徑.

解法1：如圖1，作PD⊥BC于D，連結(jié)AD，作

2.在關(guān)系轉(zhuǎn)換問(wèn)題中滲透思維的深刻性

思維的深刻性是指思維活動(dòng)的抽象程度和邏輯水平．表現(xiàn)為能洞察所研究的每一個(gè)事物的實(shí)質(zhì)以及相互關(guān)系，能從所研究材料中揭示被掩蓋住的特殊情況，能夠抓住問(wèn)題的本質(zhì)和規(guī)律，深入細(xì)致地加以分析和解決，圖2而不被一些表面現(xiàn)象所迷惑 ［2］.

例2 三個(gè)邊長(zhǎng)為12的正方形都被連接兩條相鄰邊的中點(diǎn)的直線分成A，B兩片，如圖2所示，把這六片粘在一個(gè)正六邊形的外面，

如圖3所示，然后折成一個(gè)多面體，求這個(gè)多面體的體積.

解：如圖3，每個(gè)B片的兩側(cè)都是A片，要將其粘合在一起就是要將三個(gè)直角頂點(diǎn)和邊粘合在一起，那么三個(gè)直角頂點(diǎn)和邊粘合在一起是一個(gè)怎樣的圖形？圖中的直角邊MN和GH會(huì)重合嗎？點(diǎn)N，L，H三點(diǎn)會(huì)有怎樣的結(jié)果？

解決了上述問(wèn)題就容易得出折成的幾何體為如圖4所示的幾何體，其中點(diǎn)S就是圖3中N，L，H三個(gè)點(diǎn)重合在一起的點(diǎn).由于

如果將正六邊形的頂點(diǎn)與點(diǎn)S連接起來(lái)，如圖6所示，

則原幾何體被分割成一個(gè)正六棱錐和三個(gè)全等的有三條棱兩兩垂直的三棱錐，體積可求.

如果注意到將圖中QY，PX延長(zhǎng)必交于一點(diǎn)，得一正方形……可將原幾何體補(bǔ)形成如圖7所示的正方體，其體積恰為一個(gè)棱長(zhǎng)為12的正方體體積的一半.

評(píng)注：本題的思維價(jià)值，就是學(xué)生能否揭示該問(wèn)題中最特殊的情況，即三個(gè)直角粘合在一起的圖形特征，這正是該問(wèn)題能否解決的關(guān)鍵所在.通過(guò)由表及里的思維，概括歸納，抓住事物本質(zhì)及規(guī)律，可發(fā)展思維的深刻性.

3.在涉及概念問(wèn)題中滲透思維的批判性

批判性是數(shù)學(xué)思維優(yōu)良品質(zhì)的一個(gè)重要特性，其內(nèi)涵是能自覺(jué)地進(jìn)行自我反省，對(duì)自己的思維和行為作出評(píng)價(jià)、判斷和監(jiān)控，并可預(yù)見(jiàn)到可能出現(xiàn)的各種結(jié)果；能從問(wèn)題的正、反兩方面進(jìn)行思考，既有成功的思想準(zhǔn)備，也有失敗再重來(lái)的思想意識(shí)；能及時(shí)判斷解題方法的優(yōu)劣，調(diào)整改善解題的思路，以求得優(yōu)美的解法；善于總結(jié)自己成功和失敗的經(jīng)驗(yàn)，并用來(lái)指導(dǎo)未來(lái)的實(shí)踐［3］.

例3 如圖8，在多面體ABCD－A1B1C1D1中，上、下底面平行且均為矩形，相對(duì)的側(cè)面與同一底面所成的二面角大小相等，側(cè)棱延長(zhǎng)后相交于E、F兩點(diǎn)，上、下底面矩形的長(zhǎng)、寬分別為c、d與a、b且a>c，b>d， 兩底面間的距離為h.

（1）求側(cè)面ABB1A1與底面ABCD所成二面角的正切值；

（2）證明：EF∥面ABCD.

所以側(cè)面ABB1A1與底面ABCD所成二面角的正切值為2hb－d.

評(píng)注：本解法的錯(cuò)誤之處在于：直接利用結(jié)論“O1O垂直于上、下底面” ， 事實(shí)上， 這是正棱臺(tái)的性質(zhì)， 在本題當(dāng)中， 該結(jié)論仍然正確， 但證明該結(jié)論相當(dāng)困難， 所需篇幅甚至遠(yuǎn)大于解答本題之篇幅.

正解：（1）如圖10，過(guò)B1C1作面ABCD的垂面，交底面于PQ，過(guò)B1作B1G⊥PQ，垂足為G，因?yàn)槊鍭BCD∥面A1B1C1D1，∠A1B1C1=90°，所以AB⊥PQ，AB⊥B1P，所以∠B1PQ為所求二面角的平面角.過(guò)C1作C1H⊥PQ，垂足為H，由于相對(duì)的側(cè)面與同一底面所成的二面角大小相等，所以四邊形B1PQC1為等腰梯

4.在動(dòng)態(tài)問(wèn)題中滲透思維的獨(dú)創(chuàng)性

思維的獨(dú)創(chuàng)性是指思維活動(dòng)的創(chuàng)新程度．它表現(xiàn)為思考問(wèn)題和解決問(wèn)題時(shí)的方式、方法或結(jié)果的新穎、獨(dú)特、別出心裁．善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決并引申問(wèn)題是思維創(chuàng)造性的表現(xiàn)之一［4］.

例4 若點(diǎn)Pα，直線lα，過(guò)點(diǎn)P且與直線l成30°角的直線交平面α于點(diǎn)M，若點(diǎn)M的軌跡為一圓錐曲線，求其離心率.

評(píng)注：本題中盡管“動(dòng)態(tài)”的背景下活躍著動(dòng)態(tài)的點(diǎn)和線，但在其動(dòng)態(tài)性的層面內(nèi)，隱藏和潛伏著不變（靜態(tài)）的元素.只要細(xì)心觀察，匠心獨(dú)運(yùn)，獨(dú)具慧眼，就會(huì)從動(dòng)態(tài)的圖形中捕捉到不變的靜態(tài)的因素，實(shí)現(xiàn)“動(dòng)中取靜，以靜制動(dòng)”之效應(yīng).

綜上案例，思維品質(zhì)在立體幾何解題中的滲透，向我們闡述了思維的廣闊性是對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維品質(zhì)訓(xùn)練的基礎(chǔ)與前提，思維的深刻性是對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維品質(zhì)訓(xùn)練的深化過(guò)程，思維的批判性是在深刻性的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，思維的獨(dú)創(chuàng)性是對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維品質(zhì)訓(xùn)練的歸宿與新的起點(diǎn).

參考文獻(xiàn)

［1］汪文賢.數(shù)學(xué)思維論［M］.浙江攝影出版社，2007.

［2］張先榮.從新課程教學(xué)理念談數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的養(yǎng)成［J］.安陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2007，5.

［3］ 袁保金.在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2008，3月（上）.

［4］蔣維聆.培養(yǎng)思維能力提高智能素質(zhì)［J］.廣西教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2004，4.