洪麗敏

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出“高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向”，同時指出“教學(xué)評價是數(shù)學(xué)教學(xué)活動的重要組成部分，評價應(yīng)以課程目標(biāo)、課程內(nèi)容和學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)為基本依據(jù)，日常教學(xué)活動評價，要以教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成為依據(jù).”

數(shù)學(xué)作業(yè)是學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識、發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力的一項重要的活動形式，同時也是師生之間知識交流互動的一個基本載體．?dāng)?shù)學(xué)老師對課后作業(yè)進(jìn)行恰當(dāng)?shù)脑u價，能給學(xué)生們帶來一種滿足感，并能提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心.因此，教師在數(shù)學(xué)作業(yè)批改時，需要通過判斷解決問題方法的合理性、創(chuàng)新程度、答案的準(zhǔn)確性、寫作模式和作業(yè)的整潔度等全面評估數(shù)學(xué)課后作業(yè)的質(zhì)量．當(dāng)然，在數(shù)學(xué)作業(yè)講評時，教師要調(diào)整傳統(tǒng)“你聽我講”的形式，結(jié)合作業(yè)的反饋情況，多些“不妨……””、合理評價、激勵學(xué)生.

1 不妨在“糾錯辨析”中促“生成”

“對與錯”是學(xué)生學(xué)習(xí)效果在作業(yè)完成中的直觀呈現(xiàn)，“對”固然是好的，但“錯”也不失是一面教學(xué)診斷的鏡子．面對作業(yè)中存在的錯誤，教師不妨珍視錯題暴露出來的問題，合理利用，“變廢為寶”．

例1 已知函數(shù)f（x）是（－∞，+∞）上的偶函數(shù)，若對于x≥0，都有f（x+2）=－f（x），且當(dāng)x∈［0，2）時，f（x）=log2（x+1），則f（－2011）+f（2012）＝（? ）.

A．1+log23? B．－1+log23? C．－1? D．1

學(xué)生的答案只有C或D兩種結(jié)果，且兩種答案幾乎是旗鼓相當(dāng)．為什么？帶著疑問，作業(yè)講評時，筆者各自請一代表說出解題思路．

1.1 各顯身手

生1：x≥0時，由f（x+2）=－f（x）可知函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，又f（x）是偶函數(shù)，可推知f（x）是（－∞，+∞）上周期為4的周期函數(shù)，所以f（2012）=f（0）=0，f（－2011）=f（1）=1，故選D．

生2：由生1知f（2012）=f（0）=0，f（－2011）=f（－3）=f（3），根據(jù)條件f（3）=f（1+2）=－f（1）=－1，故選C．

聽了學(xué)生1，2的解法后，大部分同學(xué)一下子都蒙了，兩種解法都那樣“無懈可擊”.那么問題究竟出錯在哪里呢？此時，有相當(dāng)一部分同學(xué)認(rèn)為題目錯了.該如何判決呢？筆者并不急于作出判斷，而是把“球”踢給學(xué)生．

評注：對于作業(yè)中存在的較大面積錯誤，講評時，教師不僅要關(guān)注正確的解法，更要關(guān)注錯誤的原因（大面積的錯誤絕非偶然），此時應(yīng)讓“不同聲音”得以完整呈現(xiàn)，以便學(xué)生在解析之后辨明是非．

1.2 辨明是非

學(xué)生通過思考討論，一部分學(xué)生建議畫圖試試.

若x∈［2，4），則x－2∈［0，2），f（x－2）=log2（x－1）=－f（x），故f（x）=－log2（x－1），故函數(shù)f（x）的圖象如圖1，由圖1可知，正確答案為C．

評注：查究錯誤之源是糾錯的重點(diǎn)，此時貴在引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟“如何找？”，而非“直接給”.本題“糾錯”關(guān)鍵在于讓學(xué)生學(xué)會思考――數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)問題的重要方法，既然“數(shù)”計算不能辨真?zhèn)?，那么只能求助于“形”?

1.3 錯因解剖

筆者抓住機(jī)會，讓學(xué)生說說解法1錯誤的原因．最后形成共識：對于偶函數(shù)f（x），f（x）在［0，+∞）上的周期為4，可以推出f（x）在（－∞，0）的周期為4，但f（x）在R上并不是周期函數(shù)．（）

評注：讓學(xué)生學(xué)會對錯誤的原因進(jìn)行辨析說理，在說理中有所思、有所得、有所悟．

1.4 因勢利導(dǎo)

若函數(shù)f（x）是（－∞，+∞）上的奇函數(shù)，情況又如何？如圖2，我們發(fā)現(xiàn)上述結(jié)論（）對奇函數(shù)f（x）仍成立．

評注：“因勢利導(dǎo)、乘勝追擊”是糾錯后的“強(qiáng)化”環(huán)節(jié)，一方面可以檢測診斷學(xué)生對錯誤的辯證認(rèn)識，另一方面可以對比、遷移知識．

生本評價：教師對學(xué)生作業(yè)完成情況的多元評價，將使得作業(yè)的強(qiáng)化、反饋效果更上一層樓.“落紅不是無情物，化作春泥更護(hù)花.”作業(yè)中存在的錯誤，雖沒有正確答案那樣賞心悅目，但卻是教學(xué)效果的晴雨表．教師在作業(yè)講評時要善于開發(fā)利用錯誤資源，鼓勵學(xué)生暴露解題歷程，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“糾錯辨析”，不僅明白“錯在哪里？”，更要弄清楚“為什么錯？”，最終實現(xiàn)“變廢為寶”.

2 不妨在“百花齊放”中促“提煉”

對于同一個題目，不同的學(xué)生由于不同的學(xué)習(xí)體驗，常出現(xiàn)不同的解法，形成不同的解題策略．在作業(yè)的講評中，不僅要鼓勵學(xué)生尋求不同的解法，“百花齊放”，更要善于引導(dǎo)學(xué)生注重提煉解題策略．

方法二：如圖3，可知∠CDA+∠ADB=π，則有cos∠CDA=－cos∠ADB．

不妨設(shè)CD=DB=x（x>0），則BC=2x．在ΔADC與ΔADB及其ΔABC中結(jié)合余弦定理可解得b=6．（下同方法一，略）

評注：作業(yè)呈現(xiàn)的方法主要是方法一、二（課堂曾解決過三角形中線的問題），學(xué)生的作業(yè)反饋在筆者的意料之中，筆者欣慰之余又有所期待…

2.2 百花齊放

受生1啟發(fā)，生2認(rèn)為可以把三角形補(bǔ)成平行四邊形．

ΔABE中，由余弦定理解得BE=6，所以b=AC=BE=6．（下同方法一，略）

方法五：受方法1影響，生3認(rèn)為解決向量問題

評注：對于學(xué)生的多樣解法，筆者甚感欣慰，尤其方法三，課后筆者曾與該學(xué)生交流，“為什么這么想？”，學(xué)生說“老師您不是常說‘中點(diǎn)，再找中點(diǎn)，構(gòu)造中位線嗎？”（有的解題策略的確可以深入人心），讓筆者倍感欣慰！

2.3 提煉策略

在欣賞學(xué)生的多樣解法之余，筆者趁熱打鐵，引導(dǎo)學(xué)生歸納三角形中線問題的常見解題策略：

策略一：利用互補(bǔ)關(guān)系（如方法二），此策略可解決一般“爪形結(jié)構(gòu)”情形，屬通法；

策略二：構(gòu)造平行關(guān)系（如方法三、四），此策略也可解決非中點(diǎn)情形，屬通法；

策略三：利用中點(diǎn)向量形式（如方法一），屬最佳解法，也可推廣到非中點(diǎn)情形；

策略四：建立坐標(biāo)系（如方法五），關(guān)鍵在于合理建系，也是解決三角形問題的常見策略.

評注：“提煉策略”是最容易被師生忽視的環(huán)節(jié)，也常常因為該環(huán)節(jié)的缺失，學(xué)生易陷入“雖有多種想法，但不知如何入手”、缺乏“策略性解決問題”、“只見樹木不見森林”的困境．

生本評價：教師對學(xué)生作業(yè)“百花齊放”解法的及時肯定與贊賞，可以進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和探究欲望.作業(yè)講評時，教師若能引導(dǎo)學(xué)生對多種解法進(jìn)行反思總結(jié)、甄別對比，再加以提煉，辨別通性通法和最佳解法，將使得講評的效果更佳.

3 不妨在“總結(jié)反思”促“提升”

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗萊登塔爾指出：反思是數(shù)學(xué)思維活動的核心和動力．反思是數(shù)學(xué)解題過程的最后階段，也是提高學(xué)生解題能力最有意義的階段．然而，這個階段常常被忽略．?dāng)?shù)學(xué)作業(yè)離不開解題，為此，教師在講評之余能否引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題反思，在某種程度上決定了學(xué)生解題的高度．

例3 如圖7，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，A1A=AB=AC，D是AB的中點(diǎn)．記平面B1C1D∩平面A1C1CA=l，在圖中作出l，并說明畫法.

在講評之余，筆者引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)反思兩平面交線的作圖策略：

一是找兩平面的兩個交點(diǎn)，則可確定交線（如圖8）．其作圖要點(diǎn)在于：先直觀找一個公共點(diǎn)（如點(diǎn)C1）；再通過同一平面內(nèi)的兩相交直線確定另一公共點(diǎn)（如本例中的直線B1D和直線AA1相交于點(diǎn)F）．

二是構(gòu)造兩平行直線（兩平行直線可確定一個平面，如圖9），其作圖要點(diǎn)在于構(gòu)造平行關(guān)系（常見中位線形式，如本例中C1B1∥ED），需要考生較強(qiáng)的觀察能力．

同時要引導(dǎo)學(xué)生注意以上兩種方法的合理選擇．比如圖10，四棱錐P－ABCD的底面ABCD為平行四邊形，求作平面PAD與平面PBC的交線時，可直接過點(diǎn)P作直線l//AD，則有l(wèi)//AD//BC，則l為所求直線（此時就不宜用方法一，AD//BC，不相交?。﹫D11

進(jìn)而類比思考線面平行的作圖策略：比如問題“在平面A1C1CA內(nèi)過A作一直線m//平面B1C1D”．此時，學(xué)生不難把問題化歸，如圖11，先作出兩平面交線l，再作AG與交線l平行．

通過這樣的反思，學(xué)生不再“就題論題”，而是能“由例及類”，其“解題能力”得以在反思中提升．

生本評價：對于“學(xué)習(xí)解題”而言，學(xué)生完成了解題過程，并不意味一次“解題學(xué)習(xí)”的完成，對解題的真正學(xué)習(xí)是“回顧解題”.這如同知識獲得的保持階段一樣，它是解題學(xué)習(xí)的“保持階段”.“工欲善其事，先利其器.”“回顧解題”就是磨利解題武器的過程，可取得舉一反三的作用.因此，無論是解題教學(xué)還是作業(yè)講評，教師一定要留出時間，讓學(xué)生回顧解題，在解題反思中提升.

總之，數(shù)學(xué)作業(yè)講評中，教師不僅要合理評價學(xué)生的不同想法，還要學(xué)會適當(dāng)放手，不妨多多創(chuàng)造機(jī)會讓學(xué)生“生成知識”、“提煉策略”，進(jìn)而“提升能力”，最終實現(xiàn)“教學(xué)雙贏”.

參考文獻(xiàn)

［1］胡秀．基于生本理念的高中數(shù)學(xué)前置性作業(yè)研究［J］．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)通訊，2023（03）.