林超　張愛莉

［摘 要］為了滿足學生學的需求，教師在設(shè)計作業(yè)時可先從教學目標和學生的元認知中提煉出核心問題，再依據(jù)一定的邏輯關(guān)系梳理課堂教學內(nèi)容及與之有關(guān)的知識點，然后預設(shè)一系列以核心問題為中心的數(shù)學問題，即形成一條由“關(guān)注知識”轉(zhuǎn)向“關(guān)注能力”、由“給出知識”轉(zhuǎn)向“引起活動”、由“關(guān)注教師教”轉(zhuǎn)向“關(guān)注學生學”的問題串。

［關(guān)鍵詞］問題串；核心問題；作業(yè)設(shè)計

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2024）02-0054-04

筆者在習題講評、專題練習等教學中，圍繞核心概念設(shè)計有序變化的問題串，讓學生根據(jù)題干中的線索提示，經(jīng)歷“觀察思考（出現(xiàn)困惑）—實踐探究（動手操作）—對比反思（提煉總結(jié)）”的數(shù)學活動過程，從而以板塊化的形式推進課堂練習的教學。下面以“圓柱表面積和體積綜合練習”為例，呈現(xiàn)具體做法（如圖1）。

此項作業(yè)是在教學完圓柱的表面積和體積后，為幫助學生及時將新知從碎片化轉(zhuǎn)化成結(jié)構(gòu)化，形成統(tǒng)一的“知識體”，而在課堂教學中進行的綜合提升練習?？紤]到學生已基于實物探究了圓柱的基本特征，基于遷移探究了圓柱表面積的計算方法，基于類比推導了圓柱的體積計算公式，為促進學生思維層級的躍遷，使學生突破知識邊界，筆者依據(jù)本次練習的核心問題“分析圓柱切割前后圖形的聯(lián)系，如形狀、表面積、體積等的變化情況”設(shè)計了“問題串教學結(jié)構(gòu)鏈”（如圖2），并按照“用適當?shù)姆椒庸A柱，并依據(jù)這些方法解決與之相關(guān)的表面積和體積問題”的設(shè)計思路，整理出如圖1所示的4個相互關(guān)聯(lián)的問題，并以“問題聯(lián)動”的方式構(gòu)建問題串，幫助學生尋找到方法解決圓柱切割之后，與表面積和體積的有關(guān)問題。

一、練習設(shè)計顯整體，于“瞻前顧后”中點燃思維火花

教學實踐證明，許多復雜的數(shù)學題之間其實是相通的，都是從源于教材的某一道例題或習題中衍生變化而來的。故筆者認為，在設(shè)計練習中的“問題串”時，可以通過對教材中一道典型例題的關(guān)鍵知識點（核心問題）進行適當?shù)耐卣梗苌黾瓤梢允菑膶訇P(guān)系，也可以是并列關(guān)系，還可以是層級關(guān)系的子問題，讓學生在例題的有序變化中發(fā)現(xiàn)這些問題的變化規(guī)律，體會變化中的不變，從而找到該系列問題的根本解決辦法。同時，在設(shè)計過程中需把握數(shù)學學科知識的基本結(jié)構(gòu)及學生的具體學情，從而對問題串進行整體布局，發(fā)揮其伙伴學習的功能，彰顯伙伴學習的價值。

以“圓柱表面積和體積綜合練習”中的問題1為例，本題是對蘇教版教材六年級下冊第14頁的一道練習問題的再思考（如圖3）。根據(jù)以往的經(jīng)驗，這道題及其所代表的這一類題是練習中的“常客”，但在這類作業(yè)題中，學生還是會出現(xiàn)不理解切割方法、找不到圓柱變化前后的特征、不清楚增加面的個數(shù)和形狀等情況，這暴露了教學設(shè)計存在的問題，若不深究這些概念的細節(jié)、存在的關(guān)聯(lián)、可能的變化及變化之后的表象，學生的疑惑將不斷增大。

另外，設(shè)計的練習也不宜以題論題，應設(shè)法引導學生串聯(lián)思考，使他們做出更明智的判斷和行動。因此，筆者在設(shè)計問題時直接從例題出發(fā)，在保持原題的主要條件基本不改變的前提下，去掉個別條件，繼續(xù)演繹、深化、探究本題可能產(chǎn)生的新結(jié)論，使之衍生出一組能體現(xiàn)新、舊題目的已知條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學生能從整體上掌握知識和解題方法的系列問題，即形成以問題1為代表的問題串。

在問題1的反饋中，關(guān)于第一小問“可以怎樣切”，學生都能找到3種切法，并能根據(jù)提示作圖。但不同學生的空間素養(yǎng)和作圖基礎(chǔ)不盡相同，因此所作之圖與表述的清晰程度各有高低：有的只畫出了切割線，有的畫出了切割后的立體圖形，有的不僅表意清楚還能圖文并茂（如圖4）。

關(guān)于第二小問“切法特點”的作答，有的學生只描述了切法和切后的份數(shù)，如：這些切法有的是橫著切的，有的是豎著切的，有的是斜著切的；都能把圓柱平均分成大小相等的兩份。以上描述沒能挖掘出圓柱加工后隱藏的特征信息。

有的學生描述了體積和表面積的變化情況，如：對于三種切法，圓柱的體積都不變，表面積都是增加了兩個完全相等的面。還有的學生描述了切割后立體圖形的形狀、截面的形狀和個數(shù)，如：都平均分成了體積相等的兩份，但是切出來的形狀不同，第一種方法切出來每份都是一個圓柱，表面積增加的是兩個直徑為10分米的圓的面積；第二種方法切出來的每份是一個半圓柱，表面積增加的是兩個長20分米、寬10分米的長方形的面積；第三種方法切出來的是兩個不規(guī)則的立體圖形，表面積增加的是兩個橢圓的面積。部分學生能根據(jù)畫出的示意圖，用文字條理清晰地描述圖形變化前后的本質(zhì)特征。

由此可知，并不是每個學生都能很好地抓住問題的重點與關(guān)鍵，或是能上升到應有的高度。張齊華老師指出，問題應該是模糊的，是學生一眼看不到底的，需要不斷開掘和延展，過程中可能會引發(fā)新的問題與思考，問題與問題之間會碰撞，橫向與縱向之間會勾連。在這里，整個問題串的開篇——問題1的設(shè)計便是通過改變已知條件及需求解的結(jié)論，對問題進行了模糊處理，引導學生進行思考與探究，并通過2個小問層層遞進，使學生更加注意這類問題，從而從整體上把握此類知識。

二、練習設(shè)計顯層次，于“多元融通”中探查思維高度

要想提升學生的思維能力、抽象概括能力，教師可以多元融通教學方式，設(shè)計在邏輯上有特定聯(lián)系、在思維上層層遞進的問題串，進而在練習中促進學生的個體思維在經(jīng)驗的支持下逐漸深入，群體思維在分享的碰撞下實現(xiàn)進步。

以“圓柱表面積和體積綜合練習”中的問題2為例，這道題是對問題1的拓展與延伸，考慮到學生在解決問題1時出現(xiàn)的薄弱點，還需通過適當?shù)淖兓?，將未知條件轉(zhuǎn)化成已知條件，從而解決問題。故教師有必要設(shè)計一系列提煉生活原型的知識串，將生活中有關(guān)分割的知識提取出來，分類之后反復建構(gòu)、系統(tǒng)重組。設(shè)計時，筆者希望能引導學生搜尋與自己生活經(jīng)驗相似的知識儲備，對已學的立體圖形做一些能體現(xiàn)層次性的“加工”。從反饋（如圖5）中可以發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學生選擇的加工方式是“拼接”“縮短”和“削減”，少數(shù)學生想到了“疊加、疊減”。

由此可知，數(shù)學學習確實是一個循序漸進的過程，教師所關(guān)注的不應只是如何幫助學生更好地掌握各種具體的解題策略，還應對學生的解題活動起到一定的啟發(fā)和指導作用。從反饋中還可發(fā)現(xiàn)，學生習慣借助對生活原型的記憶或?qū)嵨锏闹庇^操作獲得數(shù)學知識，若是設(shè)計的問題沒有具體或可視化的載體，可以借問題1的作圖之利，再次把抽象的思維化為有形的圖，以圖助思，扶梯而上。同時，交流共享反饋中所出示的四種加工方式，“拼接”和“縮短”以學生獨立思考、自由回答、師生交流為主，“削減”以學生獨立思考、主動表達、師生交流（教師選擇性參與）為主，“疊加、疊減”以伙伴學習、教師評價為主。在這個環(huán)節(jié)的教學活動中，學生在問題串的驅(qū)動下反復進行數(shù)學化的思考和想象的內(nèi)化，促進思維向深處蔓延。

在后續(xù)的成果共享中，學生互相啟發(fā)，在“切割”“拼接”“縮短”“削減”“疊加、疊減”之外，還找到了“倒水”、“鍛造”及“卷一卷”等有數(shù)學意義的加工方式（如圖6）。問題研究至此，學生可以根據(jù)自己對加工方式的理解串聯(lián)其他相關(guān)的問題，還可以根據(jù)自己對知識的把握深度尋找生活中可以解決的問題，進而推動思維進程、提升思維質(zhì)量，將“通過適當?shù)膯栴}引導學生深入進行思考”這一思想更好地貫穿于“問題串”設(shè)計的全過程中。

三、練習設(shè)計顯針對，于“系統(tǒng)思辨”中完善思維體系

在問題2的反饋中，筆者參與了組間交流，獲取了學生在確定加工方式后，對示意圖的繪制產(chǎn)生的各種想法，如：加工得到的形體將由幾個面組成？各有幾個什么形狀的平面圖形？有沒有曲面？曲面切下來應該是什么圖形？各個形狀之間的長度有什么關(guān)系？畫的時候，哪些線條、截面是對應的？這些基于直觀分析生成的問題都具有自身的教學作用及價值導向，教師若能有意識地貫穿于后續(xù)的“問題串”中，或能確保整體設(shè)計意圖的達成。由此，練習單上的問題3和問題4便自然形成。

具體來說，練習在設(shè)計初期應清楚地點明核心問題，而且也應在全部的練習過程中不斷重復、強化核心問題，其間可根據(jù)練習情況適時調(diào)整問題串，即有一個對核心問題逐步明朗與不斷深化的調(diào)適過程，包括對子問題的必要調(diào)整及適當糾錯。這樣的思辨可使問題串更具有針對性，使學生自然地理解核心問題，逐步完善思維體系。

在問題3的反饋中，筆者發(fā)現(xiàn)有個別學生因為自己只畫了一條切割線，就認為只增加了一個面，理解出現(xiàn)偏差，這體現(xiàn)了其空間想象能力的薄弱。其余學生會選擇自己熟悉的截面進行面積計算，但也出現(xiàn)了忽略不同切法導致截面與增加的面積也不同的情況，繼而只選擇計算增加的長方形面積或圓形面積。再看問題4，圓柱切割后可能被分成兩個小圓柱或兩個半圓柱，多數(shù)學生選擇計算熟悉的圓柱表面積，而對于不熟悉的半圓柱，部分學生沒有算上長方形截面的面積。針對此種問題，筆者引導學生通過比對正確圖示與錯誤圖示，幫助學生深入理解題意。

回顧問題1至問題4，如果由教師直接拋出教材上的例題或是改編題，對學生而言都是突然且刻意的，因為學生對新問題的重建和認知是漸進的過程，若是缺少自主內(nèi)化作為表層理解勾連深層理解的內(nèi)力，那么學生的思維體系是不完整的。如在圖形加工環(huán)節(jié)，當學生面對“加工方式有什么不同？不同在哪？圖形加工前后又有什么聯(lián)系？什么變了？什么沒變？”等問題時，教師可引導學生圍繞“相同”與“不同”、“變”與“不變”進行觀察比較，緊扣核心問題，抓牢基本原理。同時，鄭毓信教授指出：只有通過深入地揭示隱藏在具體數(shù)學知識內(nèi)容背后的思維方法，我們才能真正做到將數(shù)學課講活、講懂、講深。實現(xiàn)這樣的目標，不僅需要教師展現(xiàn)“活生生的”數(shù)學研究工作，學生的自主內(nèi)化也是其中不可缺少的一環(huán)，能最大限度地發(fā)揮“問題串”的教學價值?；谏鲜稣J識，筆者建構(gòu)出“問題串邏輯結(jié)構(gòu)鏈”的基本樣態(tài)（如圖7），以期構(gòu)建成一條完整的數(shù)學學習思維鏈。

綜上所述，問題串的設(shè)計應考慮學生已有的認知基礎(chǔ)、思維習慣和學習水平，并基于對核心問題的理解，關(guān)注學生學習的差異性及多種學習傾向，最終明晰構(gòu)建高度組織化和結(jié)構(gòu)化的知識體系才是設(shè)計的目的。因此，在設(shè)計問題串時不僅需要合理設(shè)置疑難，于幫扶中激勵學生循著問題階梯逐步提升，還需通過個體經(jīng)驗與群體經(jīng)驗的互啟互鑒，使個體思維與群體思維互助，為實現(xiàn)數(shù)學學習的整體性架構(gòu)充分發(fā)揮其應有功能。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 鄭毓信.數(shù)學深度教學的理論與實踐[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2020.

[2] 鄭毓信.數(shù)學思維與小學數(shù)學[M].南京：江蘇教育出版社，2008.

[3] 郭玉英，姚建欣.基于核心素養(yǎng)學習進階的科學教學設(shè)計[J].課程·教材·教法，2016，36（11）：64-70.

[4] 張齊華.好問題：揭開深度學習的密碼[J].教育視界，2019（4）：25-27，24.