? 安徽省蚌埠第三中學(xué) 程雷虎

2023年全國(guó)數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷引起了社會(huì)的廣泛關(guān)注,除了海南、遼寧、重慶三個(gè)省市延續(xù)使用外,還增加了山西、黑龍江、安徽、云南、吉林等過渡地區(qū),在使用過程中,考生反映此套試卷的解答題部分比全國(guó)數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷要難,計(jì)算量大,一不小心就“前功盡棄”.本文旨在對(duì)2023年全國(guó)數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷展開深入剖析,揭示該套試題“不易”的背后所隱藏的“廬山真面目”,提出一些思考與建議,以期對(duì)2024屆高三復(fù)習(xí)提供有益參考.

1 試卷結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

2023年全國(guó)數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷秉承著與前兩年新高考Ⅱ卷結(jié)構(gòu)基本保持一致的風(fēng)格,試題總題量為22小題,滿分150分,其中單選題、多選題、填空題、解答題分值分別為40分、20分、20分、70分.具體知識(shí)點(diǎn)分布見表1.

表1

2021～2023年全國(guó)數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷知識(shí)分布的對(duì)比見表1.

可以確定的是2023年全國(guó)數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷在結(jié)構(gòu)上與前兩年新高考Ⅱ卷基本保持一致,難度上略有變動(dòng),但數(shù)學(xué)原理一致,沒有偏題、怪題.學(xué)數(shù)學(xué),就是要學(xué)會(huì)在千差萬(wàn)別的題中識(shí)別永恒不變的數(shù)學(xué)原理.

2 試卷總體特點(diǎn)

本套試卷遵循《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》[1]的各項(xiàng)要求,注重基礎(chǔ),體現(xiàn)方法,突出思想,考查能力.考查考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和探究意識(shí),注重能力立意,突出考查考生的運(yùn)算求解能力與邏輯思維能力,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和理性價(jià)值.試卷覆蓋中學(xué)數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容,選填部分難度適中,解答題難度偏中上,在結(jié)構(gòu)、難度、命題方向及命題手法上與新高考接軌,“五育”并舉,并且針對(duì)不同層次教育教學(xué)實(shí)際水平,合理控制了試卷難度,利于不同水平考生能力的發(fā)揮.試題科學(xué)、規(guī)范,設(shè)問新穎、靈活,與當(dāng)前教育形態(tài)相匹配,利于教師反思2024屆新高三復(fù)習(xí)教學(xué)方向,有利于促進(jìn)中學(xué)實(shí)施素質(zhì)教育.

2.1 立足基礎(chǔ)知識(shí),考查主干內(nèi)容

2023年全國(guó)數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷的設(shè)計(jì)立足于中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法,如第1,2,3,5,7,10,13,14,17,18題都是直接考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法.此外,試卷還注重對(duì)高中必修課程和選擇性必修課程所學(xué)主題內(nèi)容的全面考查,集合、復(fù)數(shù)、初等函數(shù)、平面向量、數(shù)列、不等式、排列組合、圓錐曲線等內(nèi)容在選擇題、填空題中得到了有效的考查.其中,第11題以導(dǎo)數(shù)問題突顯不等式跨界分析,注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)綜合能力的考查;多選題設(shè)問合理,條件直指問題,突出了新課程的選擇性.在此基礎(chǔ)上,試卷還強(qiáng)調(diào)對(duì)主干內(nèi)容的重點(diǎn)考查,體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)考查的全面性、基礎(chǔ)性和綜合性.如在解答題中重點(diǎn)考查了三角函數(shù)與解三角形、立體幾何、直線與圓錐曲線、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)、數(shù)列等主干內(nèi)容.其中,概率統(tǒng)計(jì)以類似疫情核酸檢測(cè)為背景,交匯函數(shù)綜合考查;圓錐曲線對(duì)雙曲線的二級(jí)結(jié)論進(jìn)行考查.

2.2 注重能力立意,突出通性通法

2023年全國(guó)數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷試題以能力立意為核心,堅(jiān)持多角度、多層次地考查推理論證能力、空間想象能力、閱讀理解能力、實(shí)際應(yīng)用能力、探究能力、分析問題和解決問題的能力.如試卷第9題以多選形式全面考查圓錐內(nèi)容,題目考查基礎(chǔ)知識(shí),四個(gè)選項(xiàng)設(shè)問逐層遞進(jìn),前面的選項(xiàng)為后面的選項(xiàng)提供條件,各選項(xiàng)分別考查圓錐的不同性質(zhì),互相聯(lián)系,重點(diǎn)突出,有效扎實(shí)地考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng);第20題考查了空間想象能力;第17,18,20,21,22題考查了推理論證能力、運(yùn)算求解能力和探究能力;第19題考查了利用概率統(tǒng)計(jì)思想和函數(shù)思想解決實(shí)際問題的能力.

試題注重對(duì)數(shù)學(xué)通性通法的考查,命題時(shí)以一道題為載體,呈現(xiàn)給考生的是一類題,通過一道題考查考生掌握解決這一類問題的通用方法.如試卷第20題的第(1)問考查空間異面垂直的證明,第(2)問考查二面角的求法;試卷第5,10,15,21題通過直線與圓、三類圓錐曲線的位置關(guān)系給出了直線與圓、圓錐曲線研究的基本方向與基本特點(diǎn);第22題揭示了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)命題中以不等式和極值為背景的命題手法及解題方法,再次呼應(yīng)熱點(diǎn),突出通性通法,啟示研究方向,引導(dǎo)2024屆高三復(fù)習(xí)思路.

2.3 知識(shí)點(diǎn)的交匯題依然會(huì)考查

第19題是概率統(tǒng)計(jì)與函數(shù)知識(shí)點(diǎn)交匯的題型,回看其他新高考數(shù)學(xué)試題,不難發(fā)現(xiàn),2021年新高考Ⅱ卷第21題是概率統(tǒng)計(jì)與函數(shù)性質(zhì)的交匯題型,2022年新高考Ⅱ卷第22題是導(dǎo)數(shù)與不等式證明的交匯題型.新高考數(shù)學(xué)大題中的知識(shí)點(diǎn)交匯考查可以說在這兩年中依然有出現(xiàn),實(shí)際上,新課程標(biāo)準(zhǔn)中高中數(shù)學(xué)內(nèi)容有三角、數(shù)列、函數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、立體幾何、解析幾何、數(shù)學(xué)建模等主題,而要求這些主題的學(xué)習(xí)應(yīng)建立在整體思維的基礎(chǔ)上,為了考查考生的整體意識(shí)、綜合能力和應(yīng)用能力,知識(shí)點(diǎn)的交匯考查在今后的新高考中出現(xiàn)的可能性很大.

2.4 閱讀能力、題意理解與計(jì)算能力要求較高

本套試卷選填題,除了填空題第16題難度相對(duì)大點(diǎn),可以說是“一馬平川”,注重基礎(chǔ).但從解答題第18題開始,難度陡然提升.解答題的難度一方面體現(xiàn)在閱讀理解上,要求學(xué)生需認(rèn)真閱讀、仔細(xì)審題,很多考生由于閱讀能力差,無(wú)法理解題中的含義,因此無(wú)從下手.如第19題,很多考生很難從頻率分布直方圖上得出漏診率和誤診率.另一方面,解答題對(duì)于計(jì)算的要求也極高,需要學(xué)生有扎實(shí)的計(jì)算功底且能打破計(jì)算障礙.如第18題,設(shè)置了分段數(shù)列求和問題,不僅需要考生理解分段數(shù)列求和的分類思想,還要有扎實(shí)的計(jì)算功底.很多考生在做題的過程中,由于計(jì)算繁瑣望而卻步.在今后的數(shù)學(xué)教學(xué)中,要求我們引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)閱讀理解和運(yùn)算求解能力的提升.

2.5 情境題型設(shè)計(jì),體現(xiàn)素質(zhì)教育

本套試題注重情境題型設(shè)計(jì),既綜合性地靈活考查了數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng),又體現(xiàn)了當(dāng)前教育形態(tài)(堅(jiān)持立德樹人,實(shí)施素質(zhì)教育,培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的社會(huì)主義接班人).試卷中問題情境豐富,設(shè)問方式通俗易懂.如試卷第3題以體育運(yùn)動(dòng)為背景設(shè)置了排列組合題,在考查學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí),又引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)體育鍛煉,將體育教育融入數(shù)學(xué)教育;第12題以信道傳輸0,1信號(hào)為背景設(shè)置了相互獨(dú)立事件的概率,試題設(shè)置的情境真實(shí)、貼近生活,同時(shí)源于教材例題;第19題以醫(yī)學(xué)檢測(cè)為背景,讓學(xué)生在實(shí)際問題中體會(huì)生活,培養(yǎng)學(xué)生感恩意識(shí),懂得“哪有歲月靜好,只是有人在負(fù)重而行”.這些問題都反應(yīng)了數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的結(jié)合,這就要求學(xué)生不能只做“書呆子”,而應(yīng)該將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用到生活,“五育”并舉,推動(dòng)社會(huì)的發(fā)展和進(jìn)步.

3 教學(xué)啟示與備考建議

3.1 深度研讀課程標(biāo)準(zhǔn),明確高考考試方向

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》[1]中蘊(yùn)含著學(xué)科內(nèi)涵、能力目標(biāo)等核心素養(yǎng)要求,在研讀課程標(biāo)準(zhǔn)時(shí),需要加大深度,不僅要讀,還要研,要將標(biāo)準(zhǔn)中的學(xué)科內(nèi)涵和能力目標(biāo)等進(jìn)行細(xì)化.在對(duì)比這兩年新高考數(shù)學(xué)試卷的基礎(chǔ)上,從總體上分析和把握2024年新高考試卷可能的動(dòng)向.

筆者認(rèn)為,2024屆的高考復(fù)習(xí)要繼續(xù)注重對(duì)主干知識(shí)的講解,注重對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)性、應(yīng)用性和學(xué)科思政的滲透,將中國(guó)教育的方針政策與高中數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)結(jié)合起來,構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型,讓學(xué)生感受優(yōu)秀的數(shù)學(xué)思想;當(dāng)然,還要加強(qiáng)閱讀理解能力、運(yùn)算求解能力,以及高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用的綜合性,體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)代生活息息相關(guān).

關(guān)注核心素養(yǎng)導(dǎo)向的趨勢(shì),結(jié)合近兩年新高考試卷,建議讓高三學(xué)生明確當(dāng)前高考考查的側(cè)重點(diǎn)以及關(guān)注的核心素養(yǎng).

(1)數(shù)列作為離散函數(shù)的代表,讓學(xué)生掌握數(shù)列研究的基本方法和基本思想的同時(shí),在復(fù)習(xí)過程中應(yīng)適當(dāng)增加數(shù)列性質(zhì)及求和性質(zhì)的研究,增加數(shù)列題型的計(jì)算練習(xí).

(2)函數(shù)性質(zhì)方面,要注意考查形式的多樣性,注意多種初等函數(shù)的綜合性.應(yīng)重點(diǎn)復(fù)習(xí)函數(shù)性質(zhì)的判斷方法和基本思想,以及掌握特殊函數(shù)的性質(zhì)與圖象.

(3)三角函數(shù)作為周期函數(shù)的特殊代表,考查比較常規(guī).復(fù)習(xí)時(shí)要把握方向,適當(dāng)控制難度,重點(diǎn)解決三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的理解和應(yīng)用、三角知識(shí)在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用(正弦定理、余弦定理等);要關(guān)注三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)在研究一般函數(shù)性質(zhì)時(shí)的特殊作用.

(4)幾何與代數(shù).首先,解析幾何應(yīng)通過算法選擇、算理分析的教學(xué)與示范,徹底落實(shí)運(yùn)算問題,加強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)品質(zhì)的提升,理解代數(shù)方法在研究解析幾何問題中的作用;注重解析幾何中的通性通法的講解,加強(qiáng)解析幾何中幾何意義的解讀和解題方法的比較,真正讓學(xué)生理解解析幾何的特點(diǎn),提升學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)和水平.其次,立體幾何要規(guī)劃空間位置關(guān)系的性質(zhì)與判斷,重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)核心位置關(guān)系的邏輯推理訓(xùn)練,解決數(shù)量關(guān)系的刻畫與求解,凸顯空間想象能力.

(5)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問題,要突出函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,研究重要函數(shù)模型背景及性質(zhì),熟悉常見的命題手法,適當(dāng)關(guān)注高等數(shù)學(xué)背景知識(shí).

(6)概率與統(tǒng)計(jì)問題,應(yīng)加強(qiáng)時(shí)代性、應(yīng)用性,突出數(shù)據(jù)處理能力、題面閱讀能力.教學(xué)中,應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生良好的審題習(xí)慣,恰當(dāng)提取數(shù)據(jù)信息,滲透學(xué)科知識(shí)的交叉,讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的廣泛適用性,培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)和建模意識(shí).

3.2 回歸教材,夯實(shí)基礎(chǔ),理解概念

教材中的例題、習(xí)題大多都是很多題型的濃縮版.事實(shí)上,很多高考試題來源于教材,是教材例習(xí)題的變式或推廣.因此,以教材為素材組織高三復(fù)習(xí)是提高學(xué)生復(fù)習(xí)效果的有效途徑.新高考數(shù)學(xué)很多問題都很基礎(chǔ),源于教材,教師在復(fù)習(xí)過程中一方面要讓學(xué)生將教材中的定義、概念吃透,真正理解概念,這樣才不會(huì)出現(xiàn)似懂非懂的現(xiàn)象.另一方面,教師要思考教材的編寫意圖,基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)如何延伸,解題方法如何運(yùn)用,充分發(fā)揮教材導(dǎo)向作用,激發(fā)學(xué)生的基礎(chǔ)意識(shí),培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),提升學(xué)生舉一反三的能力.

3.3 突出通性通法,優(yōu)選解題方法,規(guī)范解題過程

高考中的很多問題,其解題方法大多源于教材例題和習(xí)題,需要教師通過研究性復(fù)習(xí)教學(xué),將教材中的解題方法提煉出來.同時(shí),要注意教材中的解題思路和解題規(guī)范性,突出通性通法,弱化解題技巧,重在問題的分析和解題書寫步驟的規(guī)范,培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推理思維.在復(fù)習(xí)過程中,教師還應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力,突破計(jì)算上的障礙,注重解題優(yōu)化的意識(shí).