文/廣州市協(xié)和學校 朱禹蘭

項目式學習是一種以學生為中心，強調(diào)學生對知識的主動探索、主動發(fā)現(xiàn)和對所學知識意義的主動建構的學習方式。它與建構主義理論、實用主義理論以及情境學習理論等有密切聯(lián)系。考慮到近幾年的高考難度大，知識點的應用靈活，但由于課時、學生接受能力等各種緣故，一些課外知識沒有辦法課內(nèi)處理，我們就采用問題導向法，用小組合作、項目式學習等方式激發(fā)學生的學習動力，促進他們的學習能力，結果學生的收獲還不錯。下面以“阿波羅尼斯圓”的學習為例，進行分析。

一、項目式學習的設計

我們在平時的教學過程中設立了學習小組，小組成員的學習水平總體相差不大，大部分學生都會又一定的鉆研精神，樂于學習。而我們的項目式學習主要以作業(yè)中的難題為藍本，發(fā)現(xiàn)難題的關鍵所在，再根據(jù)實際大家一起設計一系列的學習清單，小組成員根據(jù)清單的引導，查找資料，匯總學習，再發(fā)現(xiàn)問題、查找資料、匯總學習、總結反思。

二、具體實施的過程

（一）發(fā)現(xiàn)問題，提出問題

某天，學習小組的成員看到練習1：已知兩頂點A（-2，0），B（1，0），如果動點P 滿足|PA|=2|PB|，則點P軌跡所包圍的圖形面積為______.

同學們沒有接觸過這類問題，首選的是軌跡方程的解題思路：

設點P（x，y），由條件得P 的軌跡方程為（x-2）2+y2=4，根據(jù)圓方程得所圍成的面積為4π.本題較為常規(guī)，同學們也沒有特別的感覺，完全按照題目條件進行整理即可得到結論.之后碰到練習2：滿足條件AB=2，的△ABC 的面積的最大值為_____.

同學們首選了解三角形的方法，通過余弦定理、同角三角函數(shù)的關系、三角形面積公式等一系列轉化得，解題過程如下：

令t=a2，y=-9t3+32t2-16t，即便運算能力較好的同學算到之一步，也發(fā)現(xiàn)求導之后運算更趨于復雜，這種方法基本失效，至此，問題出現(xiàn)。

（二）引導探究，總結類型

我給學生建議將上下兩題進行對比，條件是否相當，可以得到的結論是否相似，對本題的簡化是否有幫助。有同學提出練習1 中的|PA|=2|PB|與練習2 中的條件相似，有相似的條件就可以模仿，練習1 求解的是P 的軌跡，練習2就對應地可以求解C 的軌跡，接著就是建系→求軌跡方程.放手給他們自己處理了之后，大致出現(xiàn)了三種情況：（Ⅰ）以AB 為x 軸，AB 的中點為坐標原點建系，得軌跡方程為（x-3）2+y2=8；（Ⅱ）以AB 為x 軸，A 為坐標原點建系，得軌跡方程為（x-4）2+y2=8；（Ⅲ）以AB 為x 軸，B為坐標原點建系，得軌跡方程為（x-2）2+y2=8；S△ABC==.到此，練習2 已完成，但我們還要繼續(xù)引導學生探究過程中值得思考的東西.引導學生通過總結，不管是哪種情況，得到C 的軌跡都為圓，并且圓的半徑始終為，這個結論是巧合還是必然？第一階段的作業(yè)已經(jīng)出現(xiàn)，對比練習1 和2 可以得到什么結論？各小組根據(jù)這個問題上網(wǎng)查找資料。

（三）總結概念，引申題設

經(jīng)由學生的自主學習和探究，得出以下結論：動點到兩個定點的距離之比為定值k（k＞0 且k≠1），則該動點的軌跡為圓；有一部分同學在網(wǎng)上搜到了“阿波羅尼斯圓”的定義。并且找到了以下幾道習題：

（2）已知A（-2，0）、B（4，0），點P 為⊙C：（x+4）2+y2=16 上任意一點，問：是否存在這樣的常數(shù)λ，使得若存在，求出常數(shù)λ 的值.

這2 道題目作為堂練，限時半小時，半小時后學生自主講評.其中習題（1）30 位學生有16 人會做，學生的講解清晰：等腰三角形的作用是腰相等，即AB=AC，中線的作用是取一條腰長的一半，不妨設為，兩個條件合一起得AB=，且中線長確定即，恰好符合阿氏圓的兩個前提要求.通過解釋，剩余同學也表示理解并可以計算，整個講解過程2 分鐘.習題（2）也有近一半的同學有解題思路，全部為待定系數(shù)法，學生解法展示：

阿氏圓的定義和簡單的應用已經(jīng)有所嘗試，同學們根據(jù)題目總結出以下特征：

①涉及動點到兩定點的距離問題，可以考慮阿氏圓；

②條件為兩段舉例之比為定值k（k ＞0 且k≠1），可以考慮阿氏圓；

③阿氏圓的運算基本步驟為：設點、找關系、化簡。

（四）深入探究，熟悉性質(zhì)

課后學生自主學習分享有以下內(nèi)容：

（一）關于阿氏圓的一個幾何結論：如右圖，已知C 是以PQ 為直徑的圓D 上任意一點，則直線PQ 上兩點A、B 滿足（λ≠1）的充要條件為：⊙D 是以A、B 為定點，為定值λ（λ≠1）的阿波羅尼斯圓.以上結論學生通過知網(wǎng)查找資料獲得，該學生詳細講解并板演證明過程.

（二）根據(jù)阿氏圓的幾何結論，學生習題（2）的條件得：CP=4，CA=2，CB=8，則，從而得解法二：⊙C 是以A、B 為定點，的阿波羅尼斯圓，所以常數(shù)λ 的值為.

學生解法展示：（相似法）

（三）關于阿氏圓的幾個常見題型

（3）已知⊙C:x2+y2=1，P 是⊙C上任意一點，A（1，1）、，求（|AP|+2|BP|）min.

（4）已知A（0，1）、C（0，5），動點M 的軌跡為x2=4y，動點N 滿足|NC|=2，則=____.

（5）在△ABC 中，AB=2AC，AD是∠A 的平分線，且AD=kAC，

①求k 的取值范圍；②若S△ABC=1，當k 為何值時，BC 最短.

（6）已知定點O（0，1），點M 是圓（x+1）2+y2=4 上任意一點，請問是否存在不同于O 的定點A 使得為常數(shù)？若存在，試求出所有滿足條件的點A 的坐標，若不存在，請說明理由.

（五）強化聯(lián)系，突出關鍵

同學們上網(wǎng)查找此內(nèi)容基本完結，同學們自行整理歸納。以下為同學們整理的例子。

示例：1.定義：平面內(nèi)，到兩點的舉例之比為常數(shù)的點的軌跡為圓；

2.相關題型：

例1.已知點A（0，3），⊙C:（xa）2+（y-2a+4）2=1.若圓C 上存在點M，使|MA|=2|MO|，則實數(shù)a 的取值范圍是____.

例2.已知A（4，0），B（4，4），P在以原點為圓心2 為半徑的圓上運動，求的最小值.

3.思想方法和考點總結：

①方法：為什么題中要已知一個圓又通過一個新定義再構造一個圓？是因為此題想考圓與圓的關系，從“存在”一詞可察覺，那么|R-R1|＜|CC1|＜|R+R1|；

②考點：圓與圓的位置關系→切線與圓→求方程…

知識點的總結從定義出發(fā)，到例題的選取，知識點的應用以及方法的歸納總結都是學生自主完成。通過練習和總結，把倍長線段與圓結合的問題熟練解決，通過倍數(shù)快速與阿氏圓定義中的比例相結合，從而轉化成為普通的線段求和問題。