余躍玉,唐海軍

（四川文理學院數(shù)學學院,四川達州635000）

線性代數(shù)作為經(jīng)典的數(shù)學課程之一,既是多個理工學科專業(yè)后繼知識學習的基礎(chǔ)課程,更是自然科學和社會科學的基本語言.其理論的高度抽象性、邏輯的嚴謹性以及解題方法的靈活多變性等特點,彰顯了線性代數(shù)在培養(yǎng)學生的抽象思維能力、邏輯推理能力和實際應(yīng)用能力等方面具有不可替代的作用.［1-3］在學科發(fā)展的新挑戰(zhàn)下,如何打造《線性代數(shù)》一流課程,提高學生在教學中的參與度,改進和豐富學生的思維能力,激勵并調(diào)動學生的學習興趣,成了高等教育教師必須亟待認真思考和探索解決的問題.本文將通過對傳統(tǒng)教學的問題分析,探討線性代數(shù)的教改理念及具體的改革措施,并通過實踐教學驗證教學改革的新成效,提出后期完善改革舉措的一些思考.

1 線性代數(shù)教學中的存在的普遍問題

線性代數(shù)作為大學數(shù)學中的一門重要課程,由于高度的抽象性和解題思路的靈活性,容易挫敗學生的學習自信心,如果不進行教學改革,學生會感覺課程內(nèi)容枯燥,教師會深感教學任務(wù)繁重,難以完成教學任務(wù).具體體現(xiàn)在以下五個方面:

1.1 教學是對教師工作時間安排的新挑戰(zhàn)

我國高校線性代數(shù)課程主要有包括行列式、矩陣、線性方程組、二次型和線性空間五部分,存在的主要問題是內(nèi)容枯燥陳舊、缺乏深度和挑戰(zhàn)度.如向量組的線性相關(guān)性及其極大線性無關(guān)組的問題,從學生角度來看,他們往往不知道相關(guān)性有何意義,對概念的掌握只停留在表皮,難以達到靈活運用的目標；從高校教師的角度來看,要想達到教學目標,不僅要重視基本概念的講解,更有注重知識的應(yīng)用引導(dǎo).這要求教師不斷學習補充新知,進行自我塑造、自我提升并超越教材,在課程內(nèi)容上下功夫,對教學內(nèi)容做出高度的聚焦、凝練、挖掘,精心選擇不同的教學方法和模式組織教學.教師應(yīng)集“編、導(dǎo)、演”于一身,在豐富的教學實踐中有效落實知識傳授、能力培養(yǎng)和價值塑造“三位一體”育人理念.［4］

然而,教師們?yōu)榱寺毞Q能上一個新臺階,不得不加重科研精力的投入,削減教學時間的傾注,按單一的教學模式,只注重對知識點的呈現(xiàn),而忽略了對知識凝結(jié)過程、科學發(fā)現(xiàn)過程的探究,無法在課堂上將學科發(fā)展前沿與學生共享.為此,大家普遍認為教學改革改到深處是“課程”,改到痛處是“教師”.［5］

1.2 過程管理無法滿足時代發(fā)展的要求

線性代數(shù)課程研究對象是客觀世界的自然規(guī)律,它超越語言障礙和文化環(huán)境,具有通適性以及高度的抽象性.線性代數(shù)的教學要求準確、客觀、嚴謹.傳統(tǒng)的教學過程管理中,課程教學一方面必須嚴格按照教學大綱、人才培養(yǎng)方案,完成線性代數(shù)的基本概念和理論、運算方法和技巧的教學內(nèi)容；另一方面,很多高校為了增加實踐教育和創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)教育的比重,對線性代數(shù)等基礎(chǔ)課程的教學時長進行了縮減.面對教學中的這種矛盾問題,如果不對教學課程進行改革,教師的教學將只能擱淺在完成基本概念、定理和性質(zhì)的傳授層面,學生的學習最多也只能停留在對基礎(chǔ)知識的認知層面,難以達成學生自主學習和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)目標.［6］

1.3 教學方式缺乏吸引力,學生學習投入度低

由于線性代數(shù)具有高度抽象性和思維的多元化的特點,如果教師采用傳統(tǒng)課堂教學,按部就班地講解定義、證明性質(zhì)定理、傳授計算方法等基本知識點,而忽視定義、定理的來源分析,學生將不知為何要學；不去理清課本各個內(nèi)容之間的基本脈絡(luò),不去提煉出隱藏在背后的數(shù)學思想方法,［7］學生將難以理解矩陣與行列式、矩陣與線性方程組、矩陣與二次型及矩陣與變換之間的聯(lián)系,難以靈活應(yīng)用這些聯(lián)系解決綜合問題.部分學生會感覺線性代數(shù)內(nèi)容龐雜,知識點分散,基本概念和主要定理難以理解,代數(shù)問題的矩陣呈現(xiàn)神秘莫測,會使大量學生認為線性代數(shù)聽起來簡單,但做題就難,學習的吃力與練習中的挫敗會使學生逐步失去學習的興趣,自然而然的會減少對學習的投入.

1.4 教學評價重知識記憶,輕能力與素養(yǎng)

學分制教學改革中,線性代數(shù)教學時數(shù)被大量壓縮,有的專業(yè)每周只有2節(jié),總課時不超過32學時,但在減少課程總學時數(shù)的同時,卻未對教學內(nèi)容做大的刪減,導(dǎo)致教師不敢增加課程的挑戰(zhàn)度,無法利用有限的課堂時間進行學情測試,唯有通過期末閉卷考試來考查學生對基本概念、性質(zhì)定理及基本計算的掌握情況,很難綜合評價學生的數(shù)學思維的創(chuàng)新情況以及運用線性代數(shù)解決問題的真實能力.

1.5 缺乏跨課程設(shè)計,對后繼課程支撐度低

線性代數(shù)傳統(tǒng)課程教學中,教師們傾向于圍繞線性代數(shù)的內(nèi)在邏輯,在課程教學領(lǐng)域內(nèi)畫地為牢.責任心強的老師表現(xiàn)出精心的設(shè)計教學活動,耐心的開展課后輔導(dǎo),認真的批改作業(yè),一門心思教授學生行列式、矩陣、線性方程組等知識.但他們卻很少有人立足于專業(yè)培養(yǎng)的目標上,思考如何兼顧或整合其他課程內(nèi)容,如何將線性代數(shù)的知識貫穿到學生的專業(yè)學習中,如何將其他課程的思想方法運用到線性代數(shù)的學習中.缺乏跨課程設(shè)計將導(dǎo)致學生在完成學業(yè)后根本無法將所學知識點串聯(lián)在一起,直接影響學生對后繼課程的進一步探索.

2 線性代數(shù)教學改革的理念

針對線性代數(shù)課程教育教學中存在的問題,項目組將從知識和理解、技能和技巧、創(chuàng)新和發(fā)展等三個方面出發(fā),建構(gòu)以培養(yǎng)學生數(shù)學素養(yǎng)為目標的《線性代數(shù)》課程新理念,具體體現(xiàn)如下:

2.1 打造以學生為本,知識、能力、素質(zhì)協(xié)調(diào)發(fā)展的理念

線性代數(shù)課程分理工類、經(jīng)管類、文科類等,針對不同學科不同專業(yè)的具體人才培養(yǎng)方案與培養(yǎng)目標,其專業(yè)需求不同,教學重心也會有所不同.為了打造一流課程,教師必須堅持以學生為中心,以需求為導(dǎo)向,分門別類的進行課程教學設(shè)計,建立以立德樹人為根本任務(wù)的教學目標.教學理念應(yīng)注重基本概念、性質(zhì)定理、計算方法和技巧的傳授；注重數(shù)學思想、數(shù)學方法的融入,培養(yǎng)學生的抽象思維能力、邏輯思維能力,及分析解決問題的綜合能力；引領(lǐng)學生開展課程思政、創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)活動,塑造學生正確的價值觀和優(yōu)秀的科學素養(yǎng).

2.2 理論教學、實驗教學、實踐應(yīng)用相結(jié)合

線性代數(shù)教學改革需要大力調(diào)整優(yōu)化課程的教學計劃,科學構(gòu)建在線開放課程與課堂教學相結(jié)合,理論教學、實驗教學、實踐應(yīng)用相結(jié)合的課程體系.課堂理論教學講解傳授線性代數(shù)的基礎(chǔ)知識,有利于提高教學效率,減少學生在自主探究學習時走彎路的時間成本,體現(xiàn)了教師在教學中的主導(dǎo)性.但線性代數(shù)從行列式、矩陣線性方程組到特征值等問題,單一的PPT 加板書的教學方法,更多的是突出了計算技巧、方法應(yīng)用的講解以及學生的練習鞏固,易造成課堂知識容納量有限且效率低下,難以實現(xiàn)所有的教學目標,難以滿足所有學生的個性化學習需求,難以多維度啟發(fā)學生的創(chuàng)新思維.計算機與網(wǎng)絡(luò)高度發(fā)展的今天,如果教師在教學過程中借助各種數(shù)學軟件,讓學生親手操作復(fù)雜問題的數(shù)學實驗,或者通過多媒體實驗視頻的直觀展示,構(gòu)建“理論+實驗+實踐”的教學設(shè)計形式,將可讓重復(fù)冗雜的計算變得快速高效,抽象復(fù)雜的理論變得直觀簡單,有效提高學生的學習探究效率.

2.3 以專業(yè)發(fā)展為導(dǎo)向,將科技前沿成果引入課程教學

建設(shè)一流課程必須提高認識,高等教育的課程教學應(yīng)該根據(jù)不同專業(yè)的人才培養(yǎng)方案,及其畢業(yè)生的未來走向,超越教材、超越大綱,以相應(yīng)專業(yè)的學術(shù)前沿為標桿,敏銳捕捉相關(guān)專業(yè)前沿的科技成果信息,深入挖掘線性代數(shù)知識點本身與這些科技發(fā)展前沿成果的結(jié)合點,鼓勵、引導(dǎo)學生自己去發(fā)現(xiàn)問題,并以“問題”激發(fā)學生的求知欲望,點燃學生的學術(shù)理想,將學生的課程學習真正引入深度學習的層次.

3 探索線性代數(shù)的教學改革策略

為實現(xiàn)培養(yǎng)學生數(shù)學素養(yǎng)的教學改革理念,項目組提出了如下三個方面的教學改革策略:

3.1 培養(yǎng)學生對線性代數(shù)的好奇心和興趣

為了培養(yǎng)學生對線性代數(shù)的學習興趣,教師可以利用課堂介紹線性代數(shù)中的知識點的來龍去脈,了解各個知識點之間的聯(lián)系,如行列式的教學中引入行列式的發(fā)展史,不僅能讓學生了解行列式在線性方程組的求解中起著重要的作用,而且能讓學生在學習范德蒙行列式、克拉默法則時會有一種親切感,課后再讓學生探討二階、三階、n 階行列式的幾何性質(zhì),使學生從感官上進一步感受到行列式的魅力所在.又如復(fù)雜且抽象的特征值問題,可以讓學生觀看視頻,了解人臉識別技術(shù)的實質(zhì)就是矩陣的特征問題,手機照相的美圖功能.此外,戰(zhàn)爭年代的信息加密與解密問題等實際上都可歸結(jié)于矩陣的變換問題.這些能讓學生感覺到線性代數(shù)的理論并不那么神秘,線性代數(shù)的應(yīng)用已廣泛地分布在大家的生活之中.這些有趣的案例將有利于激發(fā)學生的學習好奇心,提升學習線性代數(shù)的興趣,這將是線性代數(shù)教學工作的一個重要目標.

3.2 合理分配教學時間,積極改進教學方法

為了解決線性代數(shù)課時少、任務(wù)重的矛盾,一流課程建設(shè)中必須合理分配教學時間,大膽壓縮內(nèi)容枯燥,方法單一的灌輸式教學時長,每節(jié)課預(yù)留10分鐘時間來讓學生進行討論,每周設(shè)計一些問題（也鼓勵學生提供一些相關(guān)問題）供學生思考和研究,充分信任學生的獨立思考和交流互動的能力,積極引進形式多樣的教學模式,改變學生學習的依賴性,提升學生的探索知識和獨立解決問題的能力.下面,給出三種實用可行的教學方法:

3.2.1 研究性教與學

大學教育的目的是培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力.開展研究性的教與學,目的就是要充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學生的主體能動性.這需要教師熟練掌握教學內(nèi)容,精心設(shè)計布局,激勵學生發(fā)現(xiàn)問題,引導(dǎo)學生利用線性代數(shù)基礎(chǔ)理論去分析問題,并最終解決問題,也可讓學生加入教師的研究工作中,增進師生互動,共同營造和諧、輕松的教與學的環(huán)境,以激發(fā)學生的學習興趣和主動探索意識.

讓學生帶著問題去預(yù)習新知識,以問題啟發(fā)學生分析、研究矩陣的初等變換與初等矩陣之間的關(guān)系,思考探索初等變換求可逆矩陣的逆矩陣的方法,并把這種方法運用到系數(shù)矩陣可逆的線性方程組的求解、部分矩陣方程的求解問題上.有了這種研究式教與學的過程,有限時長的課堂教學將變得輕松從容,教師只需在課堂上隨機抽樣檢查一下學生的預(yù)習效果,根據(jù)學生自學中存在著比較集中的問題,進行詳細的講解分析,做好課程輔導(dǎo)和答疑工作；給出一些有關(guān)初等變換與初等矩陣乘積關(guān)系的實例,引導(dǎo)學生選擇分析其中的矩陣變換過程、順序及其與初等矩陣的乘積的正確表達方式；鼓勵學生走上講臺,講解教材作業(yè)等.

通過循序漸進的提出問題,分析問題,解決問題的過程,教會學生學習知識、研究問題的辦法,不僅能夠吸引學生的注意力,激發(fā)學生的學習興趣和求知欲,更能增強學生學習的自信心和成就感,提高學生獨立思考和自主學習的能力,提升學生數(shù)學思維能力和基本的數(shù)學素養(yǎng).

3.2.2 合作性學與探

傳統(tǒng)的線性代數(shù)教學重理論輕應(yīng)用,過分追求知識的系統(tǒng)性與嚴密性,忽略學生的理解力這一重要因素,導(dǎo)致學生的問題越積越多,學習興趣漸漸喪失,課程考試通過率降低等現(xiàn)象.如何增強學生的理解力,提高學習的效率呢？

從認知發(fā)展理論上看,學生要想真正理解線性代數(shù),除了認真聽課,積極思考以外,更重要的是學生內(nèi)化吸收的過程,這就需要學生花更多的時間去思考、討論、鞏固和拓展.學生的內(nèi)化吸收是一個反復(fù)的過程,每個人內(nèi)化吸收的速度和方式也是不同的,所以教師在講授與小組合作學習之間要留出充足的時間,讓學生消化和吸收當堂課程知識.為此,教師可以將教學班級的學生分成幾個學習小組,每周給學習小組安排一些討論課題,或者其他合作學習的任務(wù),讓學生利用課外共同學習或相互討論,相互評判,取長補短,可以使大家的學習效果大幅度的提升.通過小組集體對這些案例的討論分析,給出唯一或者無窮多種解決問題的方案,加上課堂中的適當引導(dǎo),學生會自然地歸結(jié)出線性相關(guān)的性質(zhì)及相關(guān)性的判別方法,這不僅讓抽象的難題變得觸手可及,同時也使學生親歷了實際問題的發(fā)現(xiàn)、分析和解決過程,讓他們在今后的工作中臨危不懼.

3.2.3 項目式學與研

項目式教學是指在教師的引導(dǎo)下,把教學過程分解為一個個具體的工程或事件,設(shè)計出一個個項目教學方案,按項目要求設(shè)計教學思路.如,在教師的教學科研項目研究中,可以將學生作為項目成員,將其中與課程有關(guān)的項目交與學生自己去處理,在問題解決過程中包括信息的收集整理、研究方案的設(shè)計、項目的實施和評價都由學生自己負責,提高學生學習和研討的積極性.當然,教師也可以參與指導(dǎo)學生項目,教會學生利用數(shù)學建模的方法,將實際問題通過一些必要的簡化假設(shè),轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型,如果該模型是非線性的,學生可以試著對它進行線性化,然后利用線性代數(shù)的知識去分析求解,最后將所得結(jié)果加以實驗驗證,得出項目結(jié)論的有效性的評價,并作出相應(yīng)的改進與優(yōu)化.項目教學法的顯著特點是以項目為主線,學生為主體,教師為引導(dǎo),師生共同完成,共同取得進步的教學方法.［8-9］這種教學法周期短見效快,目標明確,具有可控性,可以最大限度地調(diào)動學生探究真理和尋求方法的積極性,有利于加強學生的自學能力的提高,創(chuàng)新能力的培養(yǎng).

3.3 合理完善的考核評價體系

學期考評是檢驗學生對該門課程掌握程度、以及利用該課程的理論解決實際問題能力的一個重要方法,合理完善的考核評價體系應(yīng)當以學生為中心,從學習動機、學習態(tài)度、學習時間投入、學習能力等主觀因素,以及教師的教學水平、學校的學習條件、環(huán)境、管理和服務(wù)等客觀因素去設(shè)立標準,［8］不僅要對學生所獲知識和技能等顯性能力進行評價,更要對學習的態(tài)度、習慣、方法和能力等隱性因素進行評估.

合理完善的考核評價體系應(yīng)該是多元化的,可以依據(jù)學生對學習的投入度、教師對學生的影響度、學校對學生的支持度和學生自身的學習獲得度等四個維度去設(shè)定.在線性代數(shù)教學中,教師可以從課堂出勤、課堂表現(xiàn)、課后作業(yè)、課外主題討論成果和期末考試等方面,全方位評價學生的學習態(tài)度與能力,可以適當改變考試考核評價體系,加大平時成績占比,特別是要突出研究性合作學習的分值,能極大地調(diào)動學生參與教學的積極性,激活學生的內(nèi)在綜合能力,培養(yǎng)他們綜合運用所學知識分析和解決問題的能力,從而實現(xiàn)線性代數(shù)課程的教學目標.

4 成果與展望

通過問卷調(diào)查和期末考試成績兩個方面,項目組對比了教學改革前后兩個年級的同一專業(yè)學生的線性代數(shù)學習效果表明:改革后的教學模式明顯提高了學生上課時的抬頭率,獨立完成作業(yè)及不斷修改完善作業(yè)的積極性明顯高漲,激發(fā)了學生合作學習、研究討論的激情.新的教學模式在課堂教學效果、學習興趣、學習目標培養(yǎng)等方面都更有優(yōu)勢,期末考試平均成績也較改革前有了大幅度的提高,進一步印證了教學改革的有效性.

線性代數(shù)教學改革取得的成效是顯著的,但改革的過程中也出現(xiàn)了一些新的問題需要研究者繼續(xù)思考,不斷完善.如隨著學生對線性代數(shù)學習的積極性的提高,學生提出的問題也越來越多,為了及時解答學生的疑問,教師們需要付出更多的時間和精力.為此,項目組將同一專業(yè)不同年級的學生以QQ 群聚合在一起,學生與學生之間進行傳幫帶,高年級的學生通過幫扶師弟師妹的同時,也可提升自己對知識的深加工,有效的提高了學生合作學習的效果.再如,由于學生學習興趣的高漲,大量學生對自己在作業(yè)、測試中出現(xiàn)的錯誤都積極主動地提出了打回重做的申請,通過教師的多次輔導(dǎo)和學生自己的持續(xù)改進,大部分同學都能達到優(yōu)良等級的成績,導(dǎo)致學生的最終成績整體區(qū)分度不夠明顯.

線性代數(shù)的教學改革是一項長期的、艱巨的工程,這需要教師持之以恒的投入改革的熱情、敏銳的洞察力和創(chuàng)造力,不斷的反思教改過程中出現(xiàn)的新問題,挑戰(zhàn)課程改革的新高度,精心打造高水平的一流課程；還需教師團隊緊跟科研動態(tài),持續(xù)關(guān)注線性代數(shù)知識在各行各業(yè)知識的應(yīng)用,并充分利用網(wǎng)絡(luò)資源持續(xù)性探索更好的教學改革途徑,為培養(yǎng)創(chuàng)新型人才打下一定的數(shù)學基礎(chǔ).