劉思寧 吳麗華

摘要：本文中以高考中圓錐曲線的“最值問題”為例，探析波利亞解題思想在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用，尋找能夠啟發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的解題教學(xué)方法.

關(guān)鍵詞：波利亞；解題教學(xué)；圓錐曲線

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)考查的內(nèi)容.這部分內(nèi)容對于學(xué)生來說比較吃力，故本文中以圓錐曲線的“定值、最值問題”為例，探析波利亞解題思想在圓錐曲線解題教學(xué)中的應(yīng)用.

1 波利亞的解題理論

“一個好的解法是如何想出來的？”這是大部分學(xué)生在完成數(shù)學(xué)作業(yè)中一直困惑的問題.波利亞［1］在《怎樣解題》中的每一個問題就像是解決問題思維過程的“慢鏡頭動作”，也像是我們解決問題時內(nèi)心的獨(dú)白.

第1步：理解題意［2］.

理解問題的含義是波利亞“如何解決問題表”的第一步，即檢查問題.學(xué)生應(yīng)該熟悉問題，并回憶起相關(guān)的知識，以找到未知的數(shù)量、已知的數(shù)據(jù)和條件，并用數(shù)學(xué)符號表達(dá)條件給出的信息.

第2步：擬定方案.

擬定方案是問題解決的中心環(huán)節(jié)，關(guān)鍵是要找到已知條件和所求問題之間的密切關(guān)聯(lián)，從而形成一個可行的解題方案.學(xué)生要根據(jù)頭腦中原有的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)找到與所求問題之間的橋梁.

第3步：執(zhí)行方案.

方案擬定完成，這個階段學(xué)生要做的是認(rèn)真寫下解題過程，確保條件充分使用，在解決過程中準(zhǔn)確無誤，思路清晰.

第4步：回顧.

回顧是檢查問題解決活動的過程，也是問題解決活動中一個重要也很容易被忽視的環(huán)節(jié).我們得出的解決問題的方法，要經(jīng)得起“特殊”的檢驗(yàn)，哪怕有特殊個體出現(xiàn)也適用才行，因?yàn)?，我們找到的解決方法需要能重復(fù)使用，甚至能解決其他領(lǐng)域的問題.解答完后還需要復(fù)盤，找到可以改進(jìn)的地方.

2 解題教學(xué)方法探析

筆者試圖將解題教學(xué)策略應(yīng)用在圓錐曲線的綜合問題中，以近年來圓錐曲線常考的問題，如軌跡方程，圓錐曲線有關(guān)的最值問題為例.

例題如圖1，已知點(diǎn)F（1，0）為拋物線y2=4x的焦點(diǎn).過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上，使得△ABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點(diǎn)Q，且Q在點(diǎn)F的右側(cè).記△AFG，△CQG的面積分別為S1，S2.求S1S2的最小值.

解題分析：

第1步：理解題目.

教師：未知是什么？

學(xué)生：S1S2的最小值.

教師：已知是什么？

學(xué)生：焦點(diǎn)F（1，0）；拋物線方程y2=4x；△ABC的重心G在x軸上；Q在點(diǎn)F的右側(cè).

教師：條件是什么？

學(xué)生：過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上，使得△ABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點(diǎn)Q，且Q在點(diǎn)F的右側(cè).記△AFG，△CQG的面積分別為S1，S2.

教師：是否滿足條件？

學(xué)生：滿足條件.

①根據(jù)三角形重心性質(zhì)構(gòu)建三角形面積之比；

②通過相似三角形和三角形的性質(zhì)將面積比轉(zhuǎn)化為底邊之比；

③利用面積和縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，借助基本不等式、最值求解方法、韋達(dá)定理，求得比值的最小值.

教師：要確定條件是否充分？是否多余？是否矛盾？

學(xué)生：條件應(yīng)該是充分的.

①已知點(diǎn)G為三角形的重心，可得△AFG和△CQG與△ABC面積比值.設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），這里y1＞0，將面積之比轉(zhuǎn)化為邊長之比，再由邊長之比轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之比.

②由三角形重心坐標(biāo)公式，得y1+y2+y3=0，將直線與橢圓方程聯(lián)立，通過韋達(dá)定理進(jìn)一步得出S1S2.

③根據(jù)最值知識點(diǎn)求解問題.

點(diǎn)評：題目當(dāng)中所蘊(yùn)含的條件比較多，需要學(xué)生對其進(jìn)行一一分析，體會條件與條件的關(guān)系.

第2步：制定計(jì)劃.

教師：本題與以前做過的題目相類似嗎？由此能聯(lián)想到什么？

學(xué)生：有過類似的題目.能聯(lián)想到三角形高線性質(zhì)、焦點(diǎn)弦、最值的求解問題等.

教師：解決此類問題有什么常用方法？

學(xué)生：有幾何問題代數(shù)化法，利用函數(shù)求最值等.

教師：能以其他方法敘述這道題目嗎？

學(xué)生：

①拋物線上三點(diǎn)A，B，C形成三角形，三角形的重心在x軸上；

②根據(jù)重心的相關(guān)性質(zhì)，將面積之比轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的縱坐標(biāo)之比，得出S1S2；

③利用換元法簡化算式，化簡后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解.

點(diǎn)評：結(jié)合題目給出的條件，從已知推未知，梳理思路，建立聯(lián)系.

第3步：執(zhí)行計(jì)劃.

教師：上述解題思路是正確的嗎？

學(xué)生：是正確的.根據(jù)三角形重心，得出△AFG和△CQG與△ABC面積的關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為縱坐標(biāo)之比；根據(jù)三角形重心坐標(biāo)公式，找出縱坐標(biāo)y1，y2，y3的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化；針對問題建立關(guān)于參數(shù)的函數(shù)式，利用函數(shù)單調(diào)性或者求極值的方法求最值，并結(jié)合換元法來簡化計(jì)算.

教師：能否證明它是正確的？

學(xué)生：延長AG，交線段BC于點(diǎn)P，由△ABC的重心為點(diǎn)G，可得AG∶GP=2∶1，所以S△BGC=13S△ABC.同理，可得S△AGC=13S△ABC，S△CGQ=|CQ||AC|S△AGC.又因?yàn)閨CQ||AC|=|y3||y3|+y1，所以S△CGQ=S2=|y3||y3|+y1＼5S△ABC3.又|AF||AB|=y1|y2|+y1，所以S△AFG=S1=|AF||AB|＼5S△ABC3=y1|y2|+y1＼5S△ABC3.故S1S2=y1|y2|+y1＼5|y3|+y1|y3|.

根據(jù)三角形重心坐標(biāo)公式，可知y1+y2+y3=0.因?yàn)橹本€AC交x軸于點(diǎn)Q，且Q在點(diǎn)F的右側(cè)，所以只需點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)，即y34，所以t=8+43，可知所求的t為u的最大值點(diǎn)，此時S1S2最小，將t=8+43代入可求得S1S2的最小值等于1+32.

點(diǎn)評：整個解題過程建立在數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)之上，這個過程需要學(xué)生有一定的運(yùn)算能力，通過最值問題的求解提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)和推理論證能力.

第4步：回顧.

教師：此題主要考查了哪些知識點(diǎn)？解決最值問題可以從哪些變量入手？

學(xué)生：三角形面積的比值的最小值問題，其中涉及了拋物線、直線方程、重心性質(zhì)、韋達(dá)定理等基礎(chǔ)知識，考查了運(yùn)算求解與轉(zhuǎn)換化歸的思想.求函數(shù)最值常用配方法、單調(diào)性法、判別式法、基本不等式法、導(dǎo)數(shù)法和換元法等搭配使用.

點(diǎn)評：本題所涉及的知識點(diǎn)較多，運(yùn)用的方法也比較多元，計(jì)算量大，需要學(xué)生有很強(qiáng)的邏輯思維才能完成.通過此題的練習(xí)，學(xué)生在解圓錐曲線最值問題的求解方面會有很大突破.

在解決問題的過程中，教師需要把握教學(xué)目標(biāo)，鞏固學(xué)生對已學(xué)知識的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，豐富學(xué)生對問題的認(rèn)知體驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力和興趣.以波利亞＼的《怎樣解題》為依據(jù)，教師也應(yīng)立足主題，充分發(fā)揮主題的價值，并運(yùn)用到實(shí)際教學(xué)中.

參考文獻(xiàn)：

[1]波利亞.怎樣解題[M].涂泓，馮承天，譯.上海：上海科技教育出版社，2002.

[2]周晨晨.淺談波利亞四步解題法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用——以一道高考圓錐曲線題為例［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2020（5）：133-134.