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論遞進(jìn)式教學(xué)模式在課堂中的實(shí)施策略

2024-01-04 07:53:44儲(chǔ)春琴
關(guān)鍵詞:二面角垂線新知

儲(chǔ)春琴

遞進(jìn)式教學(xué)模式是指在一個(gè)遞進(jìn)式的情境線索下,由淺入深地設(shè)計(jì)一個(gè)個(gè)問題情境,鼓勵(lì)學(xué)生在自主探究與合作交流中實(shí)現(xiàn)教學(xué)三維目標(biāo)的一種教學(xué)方法.這種方法是引導(dǎo)學(xué)生深入思考與探究、提高學(xué)習(xí)效率、形成良好思維習(xí)慣的重要手段.筆者以“三垂線法”的教學(xué)為例,具體談?wù)勥f進(jìn)式教學(xué)模式在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的實(shí)踐與思考,共勉!

1 結(jié)合學(xué)情分析,確立遞進(jìn)目標(biāo)

不同的學(xué)生受其生活經(jīng)驗(yàn)與認(rèn)知水平的影響,思維上會(huì)存在一定的差異性.這種差異性導(dǎo)致他們?cè)诿鎸?duì)同一問題時(shí),會(huì)產(chǎn)生不同的理解.新課標(biāo)明確提出:“數(shù)學(xué)教學(xué)要使每個(gè)學(xué)生都能在學(xué)習(xí)中獲得不同程度的發(fā)展.”因此,教師應(yīng)結(jié)合實(shí)際情況,根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知差異,確立遞進(jìn)式的教學(xué)目標(biāo),為真正意義上實(shí)現(xiàn)教學(xué)的“三維目標(biāo)”與“促進(jìn)每個(gè)學(xué)生的發(fā)展”奠定基礎(chǔ).

如圖1,教材中所呈現(xiàn)出的三垂線位置清晰,學(xué)生初次見到該圖,雖能認(rèn)識(shí)“三垂線定理”,但因初次接觸,對(duì)該定理的本質(zhì)屬性尚不能完全理解,對(duì)于該定理的不同形態(tài),難以把握.

筆者認(rèn)為可引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度出發(fā),將“二面角”作為問題的背景,根據(jù)學(xué)情,由淺入深步步推進(jìn),讓教學(xué)活動(dòng)具有內(nèi)在邏輯主線,讓學(xué)生充分了解“三垂線法”的核心,深化對(duì)知識(shí)本質(zhì)屬性的認(rèn)識(shí).

三垂線定理:如圖1所示,第1垂為直線AC⊥α;第2垂為a⊥BC;第3垂為a⊥AB.逆定理同理,在此不重復(fù)贅述.

若想用“三垂線法”解題,要關(guān)注以下幾個(gè)方面:①平面不一定是水平位置,要善于觀察參照面;②理清平面內(nèi)的直線、垂線、斜線以及射影四條線,且能找到或作出參照面的垂線.

三垂線定理與其逆定理常用來證明線線垂直、求二面角與求線面角等,是轉(zhuǎn)化線面垂直與線線垂直的主要手段.熟練掌握三垂線法,對(duì)立體幾何的學(xué)習(xí)具有深遠(yuǎn)的影響.因此,三垂線法受到了廣大師生的關(guān)注.

從三垂線定理及其逆定理的內(nèi)容和它的重要性出發(fā),確立本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)時(shí),應(yīng)根據(jù)學(xué)生實(shí)際認(rèn)知水平逐層深入,具體為:

(1)理解并掌握三垂線定理及其逆定理;

(2)掌握線線垂直和線面垂直之間存在的辯證關(guān)系,滲透立體幾何證明過程中常用的轉(zhuǎn)化思想;

(3)初步掌握三垂線法的實(shí)際應(yīng)用,尤其注重利用圖形位置的變化,訓(xùn)練學(xué)生的空間想象力.

觀察這三個(gè)教學(xué)目標(biāo),不難發(fā)現(xiàn),各層次的目標(biāo)呈遞進(jìn)式逐漸深入.從不同的參照面出發(fā),問題的難度深淺不一,使得學(xué)生的思維螺旋式上升,目標(biāo)也隨著思維的提升而達(dá)成.而問題的設(shè)置上,可參照水平位、豎直、傾斜以及應(yīng)用性等,如此可訓(xùn)練學(xué)生的空間想象力,達(dá)成既定目標(biāo),從真正意義上實(shí)現(xiàn)新課標(biāo)所倡導(dǎo)的“三維目標(biāo)”,為學(xué)生的終身可持續(xù)性發(fā)展奠定基礎(chǔ).

2 遵循認(rèn)知規(guī)律,確定遞進(jìn)問題

教學(xué)不是簡(jiǎn)單的“填灌”,而應(yīng)遵循學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展的規(guī)律,找準(zhǔn)新知的生長(zhǎng)點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生在原有的認(rèn)知基礎(chǔ)上接納新知.本節(jié)課的教學(xué),筆者從由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律著手,由淺入深地設(shè)置符合學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的問題,以幫助學(xué)生更好地建構(gòu)新知.

例1如圖2所示,在三棱錐P-ABC中,PA與平面ABC垂直,已知△ABC是一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正三角形,且PA=BA,則二面角P-BC-A的正切值是多少?

解析:如圖3,過點(diǎn)A作線段BC的垂線,D為垂足,連接PD.

因?yàn)椤鰽BC為正三角形,所以

AD⊥BC(第2垂).又PA⊥面ABC(第1垂),所以

BC⊥PD(第3垂),故∠PDA是二面角P-BC-A的平面角.因此tan ∠ADP=PAAD=423=233.

評(píng)析:例1中垂面呈水平放置狀態(tài),且條件中給出了垂線PA,通過觀察與分析,容易發(fā)現(xiàn)只要在平面ABC內(nèi)作出BC的垂線,就能達(dá)到三垂線法的要求,從而得出相應(yīng)的結(jié)論.將此例作為起點(diǎn)問題,即第一個(gè)臺(tái)階,具有簡(jiǎn)單、直觀、易理解的效果.這雖然是學(xué)生初次使用三垂線法,卻也順利.

設(shè)計(jì)意圖:此問的首要目的是引導(dǎo)學(xué)生順利使用三垂線法,初步感知三垂線定理的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值,從而對(duì)學(xué)習(xí)產(chǎn)生充足的信心;其次是以此例作為教學(xué)的墊腳石,讓學(xué)生從簡(jiǎn)單的問題著手,逐漸過渡到有一定難度的問題.逐層深入的問題可燃起學(xué)生的探究熱情,為后期的深入教學(xué)奠定基礎(chǔ).

新課標(biāo)提出:“教師肩負(fù)的責(zé)任,不僅僅是單純呈現(xiàn)知識(shí)那么簡(jiǎn)單,還應(yīng)從學(xué)生的視角去看待與思考問題,根據(jù)學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平設(shè)計(jì)問題,秩化自己的思維,傾聽學(xué)生的意見,讓課堂成為學(xué)生建構(gòu)新知、發(fā)展思維的主要陣地.”由此可見,教師不僅要成為學(xué)生新知建構(gòu)與思維成長(zhǎng)的引導(dǎo)者與幫助者,更有激發(fā)學(xué)生探究興趣、啟發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的重要作用.因此,階梯狀的問題設(shè)計(jì)顯得尤為重要,符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的問題是聯(lián)系新知與舊知的橋梁,是遞進(jìn)式教學(xué)的關(guān)鍵.

3 立足思維難點(diǎn),實(shí)現(xiàn)遞進(jìn)突破

受原有認(rèn)知水平的影響,即使對(duì)同一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的理解,學(xué)生也會(huì)存在一定的差異.面對(duì)學(xué)生思維的難點(diǎn),該如何設(shè)計(jì)問題,幫助學(xué)生找到問題的本質(zhì)呢?“三垂線法”教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)在圖形的翻轉(zhuǎn)與偏移上,這對(duì)學(xué)生空間想象力的要求較高,想要發(fā)現(xiàn)其中的本質(zhì),突破這個(gè)教學(xué)難點(diǎn),就需要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)幾何體位置擺放問題進(jìn)行深入探究.

例2如圖4,在三棱錐P-ABC中,△ABC為邊長(zhǎng)是4的正三角形,已知AP=AB,PA⊥面ABC,則二面角A-PC-B的正切值是多少?

解析:如圖5,過點(diǎn)B作BE⊥AC,E為垂足,根據(jù)PA⊥BE,可得BE⊥平面PAC.作直線EF⊥PC,F(xiàn)為垂足,連接BF.根據(jù)BE⊥平面PAC(第1垂),EF⊥PC(第2垂),可得BF⊥PC(第3垂).因此∠BFE為二面角A-PC-B的平面角.由△ABC的高BE=23,通過相似比得EF=EC·PAPC=2,所以tan ∠BFE=BEEF=6.

評(píng)析:例2對(duì)學(xué)生空間想象力的要求比較高,以平面PAC為參照面,圖5中它是豎直的平面,且平面PAC的垂線BE是由前往后作出的,這一步是學(xué)生理解的難點(diǎn),因?yàn)榇蟛糠謱W(xué)生的對(duì)三垂線定理配圖印象較為深刻,不容易想到這種情況.例2成功地激發(fā)了學(xué)生的認(rèn)知沖突,對(duì)空間想象力提出了新的挑戰(zhàn).在學(xué)生順利解決本例后,筆者又提出了新的問題,以深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與應(yīng)用.

例3如圖6,四邊形B1C1CB是一個(gè)矩形,BB1垂直于平面ABC,且△ABC是等腰直角三角形,已知∠ACB=90°,AC=B1B=4,則二面角C-AB1-C1的正切值是多少?

解析:如圖7,過點(diǎn)C作直線AC1的垂線,D為垂足且為線段AC1的中點(diǎn),再過點(diǎn)D作B1A的垂線,E為垂足,連接CE.

由C1B1⊥平面ACC1,得

C1B1⊥CD.又CD⊥AC1且C1B1∩AC1=C1,所以CD⊥平面AB1C1(第1垂).又DE⊥AB1(第2垂),所以CE⊥AB1(第3垂).

故∠DEC是二面角C-AB1-C1的平面角.

后續(xù)求解過程略.

評(píng)析:例3將參照面AB1C1傾斜放置,垂線也相應(yīng)發(fā)生了變化,不再是直觀的從上而下的視覺效果.事實(shí)上,例2與例3的設(shè)置,最主要的目的在于突破學(xué)生思維定式對(duì)解題的影響,通過圖形位置的變化來激活學(xué)生的思維,幫助學(xué)生學(xué)會(huì)從不同角度分析與看待問題,從而提高對(duì)知識(shí)本質(zhì)的認(rèn)知,達(dá)到舉一反三的成效.

實(shí)踐證明,不少學(xué)生遇到與三垂線定理相關(guān)的問題時(shí),受思維定式的影響,習(xí)慣于平面處于水平放置的位置,當(dāng)遇到平面豎直、傾斜位置等情況時(shí),就手足無措.因此,筆者在本節(jié)課應(yīng)用平面位置的變化來激發(fā)學(xué)生的探究欲,以突破學(xué)生思維的難點(diǎn),為熟練應(yīng)用三垂線法解決問題奠定基礎(chǔ).

蘇霍姆林斯基認(rèn)為:“有趣的課堂,是指學(xué)生帶著高漲的熱情進(jìn)行探索與思考的課堂.”創(chuàng)設(shè)具有層次性、梯度性的問題是激發(fā)學(xué)生探究熱情的基礎(chǔ),是遞進(jìn)式教學(xué)模式的核心.由淺入深的問題能縮小學(xué)生思維的跨度,促進(jìn)學(xué)生產(chǎn)生情感上的認(rèn)同,形成積極的解決問題的心理傾向,從而更好地掌握知識(shí)的內(nèi)涵與外延,提升思維能力.

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