樊彥朝 熊志權(quán)

摘要：“樣本空間”是高中數(shù)學新教材中引入的一個基本概念，該概念在概率與統(tǒng)計學中較為經(jīng)典而成熟.普通高中教科書人教A版數(shù)學選擇性必修三第七章第二節(jié)探究試驗1是一個關(guān)于樣本空間的案例試驗，本文中針對探究試驗提出了四個商榷點，并對探究試驗提出了改進意見.

關(guān)鍵詞：問題商榷;探究試驗;隨機抽樣;樣本空間

1 問題提出

普通高中教科書人教A版數(shù)學選擇性必修三（下文簡稱教科書＼）第56頁的探究內(nèi)容：

試驗1從100個電子元件（至少含3個以上次品）中隨機抽取三個進行檢驗，變量X表示三個元件中的次品數(shù)；

教科書＼中進行了提示和解答：

對于試驗1，如果用0表示“元件為合格品”，1表示“元件為次品”，用0和1構(gòu)成的長度為3的字符串表示樣本點，則樣本空間

Ω1={000，001，010，011，100，101，110，111}.

筆者認為，試驗1有以下4點可待商榷.

2 商榷點

2.1 商榷點1：至少含3個以上

試驗1指出100個電子元件中“至少含3個以上次品”.“至少含3個以上”這是一個成分贅余的語句.“至少含3個”指的是“不小于3個”，“3個以上”指的是“多于3個”.“至少含3個以上次品”是一個有語病的句子，這在教材中是不應該出現(xiàn)的.

2.2 商榷點2：隨機抽取3個

試驗1中的表述“隨機抽取3個”，一般是指一次性從總體中抽取3個樣本.這三個樣本不分先后順序.教科書＼中指出實驗1的樣本空間是Ω1={000，001，010，011，100，101，110，111}.如果我們認為此樣本空間是正確的，那么樣本空間中的樣本點001，010，100代表的都是兩個合格品，一個次品的情形，而且抽到次品時順序分了先后，而合格品又沒有考慮順序.樣本空間中的樣本點011，101，110代表的都是兩個次品，一個合格品的情形，而且抽到合格品時順序分了先后，而次品又沒有考慮順序.這樣的樣本空間自身邏輯上是有矛盾的.

2.3 商榷點3：次品數(shù)

試驗1指出100個電子元件中“至少含3個以上次品”.筆者認為，教材編者的意思是強調(diào)次品個數(shù)不少，至少含有3個.即使將“至少含3個以上次品”換成“至少含有3個次品”，試驗1也是不明確的，對應的樣本空間也是不確定的.如果次品數(shù)是99個或100個，那么一次性隨機抽取三個電子元件（一把抓3個），都不會出現(xiàn)三個合格品的情形.

2.4 商榷點4：樣本空間

樣本空間是高中教材新引入的概念，但是這個概念在概率統(tǒng)計中是比較成熟的.在普通高中教科書人教A版數(shù)學必修二中樣本空間是這樣定義的：

我們把隨機試驗E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間（samplespace）.

對于試驗1，教科書＼中提供的樣本空間是不符合“樣本空間”定義的.

3 改進意見

基于樣本空間的概念，試驗1的樣本空間應該是什么呢？

隨機試驗的常用案例是抽取小球.通常有兩種：一種是不同的小球，描述成大小相同的小球，用顏色進行區(qū)分，比如電子元件等；另一種是“完全相同”的小球，比如名額等.一般情況下，大小相同的小球本質(zhì)上還是不同的小球，只是抽取的可能性相等.試驗1中的電子元件可以看做是不同的小球.

為了充分理解樣本空間，我們改進試驗，并給出改進后試驗的樣本空間.

改進試驗1：從100個電子元件（含80個合格品，20個次品）中有放回隨機抽取3次，每次抽取一個元件進行檢驗.用C1，C2，C3，……，C99，C100表示這100個電子元件，則此試驗的樣本空間

Ω1.1={（Ci，Cj，Ck）|1≤i≤100，1≤j≤100，1≤k≤100，i，j，k都是整數(shù)}.

改進試驗2：從100個電子元件（含80個合格品，20個次品）中不放回隨機抽取3次，每次抽取一個元件進行檢驗.用C1，C2，C3，……，C99，C100表示這100個電子元件，則此試驗的樣本空間

Ω1.2={（Ci，Cj，Ck）|1≤i≤100，1≤j≤100，1≤k≤100，i，j，k互不相等，都是整數(shù)}

改進試驗3：從5個電子元件（含2個合格品，3個次品）中一次性隨機抽取3個元件進行檢驗.用A1，A2表示合格品，B1，B2，B3表示次品，則此試驗的樣本空間

Ω1.3={（A1，A2，B1），（A1，A2，B2），（A1，A2，B3），（A1，B1，B2），（A1，B1，B3），（A1，B2，B3），（A2，B1，B2），（A2，B1，B3），（A2，B2，B3），（B1，B2，B3）}.

這三個改進試驗學生容易理解，都可以用于本章節(jié)的進一步學習與探究.

那么，什么樣的試驗的樣本空間會是教材中給出的樣式Ω1={000，001，010，011，100，101，110，111}呢？我們提出了以下3個改進試驗.

改進試驗4：拋擲一枚硬幣3次，考察硬幣出現(xiàn)正反面的結(jié)果.用1表示出現(xiàn)正面，用0表示出現(xiàn)反面，則此試驗的樣本空間

Ω1.4={000，001，010，011，100，101，110，111}.

改進試驗5：從100個名額（80個A類名額和20個B類名額）中有放回隨機抽取3個名額，每次抽取1個，用1表示A類名額，用0表示B類名額，則此試驗的樣本空間

Ω1.5={000，001，010，011，100，101，110，111}.

改進試驗6：從100個名額（80個A類名額和20個B類名額）中不放回隨機抽取3個名額，每次抽取1個，用1表示A類名額，用0表示B類名額，則此試驗的樣本空間

Ω1.6={000，001，010，011，100，101，110，111}.

4 結(jié)論

4.1 語言表達的嚴謹性

無論是思維的過程，還是表達的過程，都是語言承載思想.思想是思維的結(jié)果，體現(xiàn)了語言產(chǎn)生、發(fā)展與表達的內(nèi)心活動＼.“至少”隱含著“以上”，“以上”也有“至少”之意.“至少”“以上”二者表示的是同一個意思，只能選用其一.“至少含3個以上”是病句，語病屬于成分贅余.語言是思維的外殼，表達一定要規(guī)范嚴謹.

4.2 抽樣方式的明確性

“隨機抽取”就是隨機抽樣，是一種等可能抽取樣本的方法，分為簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣等抽樣方法.簡單隨機抽樣分“放回隨機抽樣”和“不放回隨機抽樣”.放回隨機抽取3個（樣本）通常是指有放回抽取3次，每次抽取1個（樣本）；不放回隨機抽取3個（樣本）通常是指不放回抽取3次，每次抽取1個（樣本）.“隨機抽取3個（樣本）”還有一種理解，就是一次性抽取3個（樣本）即一把抓3個，這也是常規(guī)的理解.隨機試驗的抽樣方式要非常明確.試驗1中的表述“隨機抽取3個”是一種含糊的表述，導致了隨機試驗的不確定，從而導致樣本空間的不確定性.

4.3? 樣本空間的確定性

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》明確指出，樣本空間是概率與統(tǒng)計最基本的概念.文中指出，樣本空間與問題背景有關(guān)，與問題本身無關(guān)＼.事實上，樣本空間是確定的，由試驗與問題背景決定，不會隨著考察問題的變化而變化.對于試驗1而言，在明確了次品數(shù)（比如20個次品）的條件下，樣本空間與隨機抽取方式也是有關(guān)的.隨機抽取的方式不同，每一次抽取的基本結(jié)果也不同，也就是樣本點會不同，樣本空間自然也不同.如果是有放回隨機抽取3次元件，每次1個，那么樣本空間是由1003個樣本點組成的集合；如果是不放回隨機抽取3次元件，每次1個，那么樣本空間是由A3100個樣本點組成的集合；如果是一次性隨機抽取3個元件，那么樣本空間是由C3100個樣本點組成的集合.無論哪種方式，都不會出現(xiàn)教科書＼中提供的樣本空間.

參考文獻：

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書A版數(shù)學選擇性必修第三冊[M].北京：人民教育出版社，2020（3）：56-57.

[2]史寧中.數(shù)學基本思想18講[M].北京：北京師范大學出版社，2016：13.

[3]史寧中.數(shù)形結(jié)合與數(shù)學模型：高中數(shù)學教學中的核心問題[M].北京：高等教育出版社，2018：88-90.