王開林

在工作室活動(dòng)中，筆者開設(shè)的“用導(dǎo)數(shù)研究一類函數(shù)問題”一課，是針對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)中暴露出來的問題設(shè)計(jì)的一節(jié)微專題復(fù)習(xí)課，從基礎(chǔ)入手，引領(lǐng)學(xué)生變式探究，幫助學(xué)生建構(gòu)用導(dǎo)數(shù)研究解決一類函數(shù)問題的方法，培養(yǎng)思維能力，促進(jìn)深度學(xué)習(xí).

1 微專題復(fù)習(xí)課例主要片段

1.1 基礎(chǔ)訓(xùn)練

學(xué)生課前完成下列訓(xùn)練題，課堂上予以展示.

（1）若函數(shù)f（x）=xln x，則不等式f（x）>e的解集為.

（2）已知函數(shù)f（x）=ln xx，若函數(shù)g（x）=f（x）－k有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

（3）函數(shù)f（x）=xln x單調(diào)遞減區(qū)間為.

（4）已知函數(shù)f（x）=xex，當(dāng)x∈（－∞，0）時(shí)，f（x）的值域?yàn)?

（5）若不等式kex>x恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

（6）若函數(shù)f（x）=exx，則不等式f（x）<－1e的解集為.

學(xué)生在展示的基礎(chǔ)上，梳理用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的一般方法和以上訓(xùn)練題中涉及的六個(gè)常見函數(shù)的圖象與性質(zhì)，并相互補(bǔ)充，教師及時(shí)點(diǎn)評(píng)和總結(jié).

設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)過一輪復(fù)習(xí)學(xué)生已經(jīng)較好地掌握了用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的方法，設(shè)計(jì)這樣一組基礎(chǔ)訓(xùn)練題讓學(xué)生課前完成，課上進(jìn)行展示，既可以回顧導(dǎo)數(shù)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法，也是想引導(dǎo)學(xué)生注意掌握題組中六個(gè)常見函數(shù)的圖象和性質(zhì).這類函數(shù)在考試當(dāng)中經(jīng)常遇到，而學(xué)生又極容易出錯(cuò).課堂上讓學(xué)生展示解題過程時(shí)，就有學(xué)生畫錯(cuò)了函數(shù)圖象的變化趨勢.如對(duì)于函數(shù)f（x）=ln xx，當(dāng)x∈（e，+∞），函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，又因?yàn)閒（x）=ln xx>0恒成立，函數(shù)圖象雖然逐漸下降，但始終在x軸的上方，不會(huì)穿過x軸，而且無限接近于x軸，有學(xué)生畫圖時(shí)想當(dāng)然地畫成向下穿過x軸，導(dǎo)致求錯(cuò)k的取值范圍.這是學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)，需要重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)，要讓學(xué)生真正弄清楚、搞明白.這六個(gè)常見函數(shù)的圖象和性質(zhì)也是本節(jié)課進(jìn)一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).

1.2 活動(dòng)探究

問題1若函數(shù)f（x）=ax－x2（a>1）有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

師：函數(shù)零點(diǎn)問題常用什么方法解決？動(dòng)手試試.

生1：函數(shù)零點(diǎn)問題常常轉(zhuǎn)化成方程根的問題或者函數(shù)圖象交點(diǎn)的問題，很明顯，指數(shù)函數(shù)y=ax（a>1）與二次函數(shù)y=x2的圖象在第二象限有一個(gè)交點(diǎn)，在第一象限還應(yīng)該有兩個(gè)交點(diǎn)，但是從圖象上看在（0，+∞）上這兩個(gè)函數(shù)都單調(diào)遞增，根本沒法求出a的取值范圍.

生2：此時(shí)問題可以轉(zhuǎn)化為當(dāng)x>0時(shí)，方程ax=x2應(yīng)該有兩個(gè)實(shí)根.兩邊取對(duì)數(shù)得xln a=2ln x，再分離參數(shù)得ln a2=ln xx，所以問題即為直線y=ln a2與y=ln xx的圖象應(yīng)該有兩個(gè)交點(diǎn).根據(jù)y=ln xx的圖象，得0

師：解決函數(shù)零點(diǎn)問題常常需要數(shù)形結(jié)合.數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微.本題中當(dāng)x<0時(shí)，利用圖形的直觀很容易得到兩個(gè)函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有一個(gè)負(fù)零點(diǎn)；而當(dāng)x>0時(shí)，利用圖形很難精確地得到a的范圍，這時(shí)就要從數(shù)的角度來考慮，轉(zhuǎn)化成方程根的問題，通過取對(duì)數(shù)、分離參數(shù)順利地將問題又轉(zhuǎn)化成圖象交點(diǎn)問題.而對(duì)于函數(shù)y=ln xx的圖象，我們已經(jīng)很熟悉，尤其是不穿過x軸的細(xì)節(jié)問題也注意到了，問題迎刃而解.

變式1已知函數(shù)f（x）=1ex+ax（a∈R，x>0），若存在實(shí)數(shù)m，n，使f（x）≥0的解集恰為［m，n］，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

師：像1ex+ax≥0這樣的不等式我們會(huì)解嗎？

生3：因?yàn)閤>0，f（x）=1ex+ax≥0，即－a≤xex的解集恰為［m，n］，所以問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=xex的圖象與直線y=－a有兩個(gè)不同的交點(diǎn).結(jié)合函數(shù)y=xex的圖象，易得0<－a<1e，因此－1e

師：非常好！把不等式的解集問題成功地轉(zhuǎn)化成方程有解的問題，也就是函數(shù)圖象有交點(diǎn)的問題.而且他注意到當(dāng)x≥1時(shí)，雖然函數(shù)單調(diào)遞減，但f（x）=xex>0恒成立，所以圖象總在x軸的上方，不穿過x軸，而且無限接近x軸.本題也是通過轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖象交點(diǎn)的問題來解決的.

變式2若函數(shù)f（x）=12ax2－ex+1在x=x1和x=x2兩處取到極值，且x2x1≥2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

師：同學(xué)們先獨(dú)立思考幾分鐘，然后在小組內(nèi)交流你的思路和方法.

生4：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，又f′（x）=ax－ex=0，所以方程a=exx有兩個(gè)實(shí)根.令g（x）=exx，則函數(shù)g（x）=exx的圖象與直線y=a有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為x1，x2，所以a>e.

師：當(dāng)a>e時(shí)，一定有x2x1≥2嗎？

生5：不一定.當(dāng)直線y=a越向上平移，x2x1越大，只要想辦法求出x2x1=2時(shí)a的值就可以啦.

師：怎么才能求出此時(shí)a的值？

生5：由ex1x1=ex2x2，得x2x1=ex2ex1=ex2－x1=2，所以x2－x1=ln 2.又x2x1=2，所以x1=ln 2，x2=2ln 2.若x2x1≥2，則a≥g（ln 2）=2ln 2.

師：若x2x1<2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是什么？

眾生：e

通過適時(shí)追問加深學(xué)生的理解，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí).

變式3求證：對(duì)一切x∈（0，+∞），都有l(wèi)n x>1ex－2ex恒成立.

師：要證ln x>1ex－2ex，只需證什么？

生6：只需證xln x>xex－2e.令f（x）=xln x，g（x）=xex，則當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）min=f1e=-1e，g（x）max=g（1）=1e.

所以f（x）>g（x）－2e，即xln x>xex－2e.故ln x>1ex－2ex得證.

師：這里應(yīng)該有等號(hào)吧？

生6：f（x）=xln x的最小值與g（x）=xex的最大值不能同時(shí)取到，所以沒有等號(hào).

師：要證xln x>xex－2e，一定要證f（x）min＞g（x）max-2e

嗎？

生7：只要證明f（x）－g（x）－2e>0恒成立即可，不一定要證

f（x）min＞g（x）max-2e，但由

f（x）min＞g（x）max-2e

一定可以得到xln x>xex－2e.

師：很好！一定要弄清楚這里的充分性與必要性.

設(shè)計(jì)意圖：基礎(chǔ)訓(xùn)練中涉及到的六個(gè)函數(shù)是常見函數(shù)，雖然很多問題看似與它們無關(guān)，但實(shí)際上通過轉(zhuǎn)化之后也能化歸為這幾個(gè)函數(shù)的問題，只要借助這些函數(shù)的圖象和性質(zhì)都能順利解決.通過問題1和3個(gè)變式，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)思考，能夠舉一反三，觸類旁通.解決的關(guān)鍵是如何尋求問題的切入點(diǎn).

問題2設(shè)函數(shù)f（x）=xex，x≥0，－x－1，x<0，g（x）=f（x）－b，若函數(shù)g（x）恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為.

師：怎么解決函數(shù)零點(diǎn)問題？

生8：將函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)問題，畫出函數(shù)f（x）的圖象，則只需直線y=b與函數(shù)f（x）的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，很容易得到0

師：很好.注意到了當(dāng)x>1時(shí)，雖然函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，但f（x）=xex>0恒成立，所以函數(shù)圖象始終在x軸的上方，不穿過x軸，而且無限接近于x軸.

變式1設(shè)函數(shù)f（x）=x－1ex，x≥0，－x－1，x<0，g（x）=f（x）－b，若函數(shù)g（x）恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為.

師：與問題2相比有什么變化？方法是否相同？

生9：當(dāng)x≥0時(shí)，f′（x）=2－xex，f（x）在（0，2）上是增函數(shù)，在（2，+∞）上是減函數(shù)，所以

當(dāng)x=2時(shí)f（x）有極大值1e2，故0

師：函數(shù)y=x－1ex與函數(shù)y=xex形式相近，圖象也相似，也都有類似的性質(zhì)，即當(dāng)x≥2時(shí)，雖然函數(shù)單調(diào)遞減，但y=x－1ex>0恒成立，圖象總在x軸的上方，不穿過x軸，而且無限接近于x軸.

變式2

設(shè)函數(shù)f（x）=x－1ex，x≥a，－x－1，x

師：與變式1相比，此題中函數(shù)f（x）的圖象因動(dòng)區(qū)間而不確定，有什么好辦法解決這個(gè)問題嗎？

生10：采用圖象分析法.函數(shù)f（x）=x－1ex在x=2處取得極大值，且極大值為1e2，直線y=1e2與f（x）=x－1ex和y=－x－1的交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別是2和－1－1e2.所以若函數(shù)g（x）恰有3個(gè)零點(diǎn)，只需保證函數(shù)f（x）的圖象與垂直于y軸的直線有三個(gè)交點(diǎn)，則－1－1e2

變式3已知函數(shù)f（x）=xex+1，x≥0，x2+2x+1，x<0，若函數(shù)y=f（f（x）－a）－1有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

師：復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問題怎么入手？

生11：還是要數(shù)形結(jié)合，先畫出圖象.

師：投影你畫的圖象，接下來怎么辦？

生11：當(dāng)x≥0，由f（x）=xex+1=1，得x=0；當(dāng)x<0時(shí)，由x2+2x+1=1，得

x=－2.所以由f（f（x）-a）=1，可得f（x）－a=0或f（x）－a=－2，即f（x）=a或f（x）=a－2.所以只需函數(shù)f（x）的圖象與距離為2的兩條平行線y=a和y=a－2共有4個(gè)交點(diǎn)，則有

a>1+1e，1

師：函數(shù)y=x－1ex，y=xex+1與函數(shù)y=xex形式相近，圖象很相似，都有類似的性質(zhì)，要注意它們的漸近線.另外，對(duì)于復(fù)合函數(shù)問題，如何轉(zhuǎn)化也是關(guān)鍵.

設(shè)計(jì)意圖：問題2以及3個(gè)變式，讓學(xué)生注意到與六個(gè)基本函數(shù)形式、圖象和性質(zhì)都相近的函數(shù)，尤其是漸近線，特別容易出錯(cuò)，要重點(diǎn)強(qiáng)調(diào).

1.3 鞏固訓(xùn)練

（1）若函數(shù)f（x）=12x－1，x<1，ln xx2，x≥1，則函數(shù)y=|f（x）|－18的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.

（2）已知函數(shù)f（x）=（2x－x2）ex，x≤0，－x2+4x+3，x>0，g（x）=f（x）+2k，若函數(shù)g（x）恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

（3）對(duì)于函數(shù)y=f（x），若存在區(qū)間［a，b］，當(dāng)x∈［a，b］時(shí)的值域?yàn)椋踜a，kb］（k>0），則稱y=f（x）為k倍值函數(shù).若f（x）=ln x+x是k倍值函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

2 教學(xué)感悟

2.1 突出主干，關(guān)注通法

新高考加強(qiáng)了對(duì)主干知識(shí)的考查，只有增強(qiáng)對(duì)主干知識(shí)的深層次認(rèn)識(shí)，才能更好地把握數(shù)學(xué)的本質(zhì).復(fù)習(xí)教學(xué)還是要立足基礎(chǔ)，不設(shè)計(jì)偏題、怪題，更多地關(guān)注通性通法，不片面追求技巧.既要一題多解、一題多變，更要多題一解，要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納出適用于一類問題的通性通法.

2.2 查漏補(bǔ)缺，精準(zhǔn)指導(dǎo)

二輪復(fù)習(xí)既要進(jìn)一步鞏固強(qiáng)化應(yīng)知、應(yīng)會(huì)的基礎(chǔ)知識(shí)，幫助學(xué)生確實(shí)解決存在的問題，還應(yīng)提升學(xué)生的綜合能力.二輪復(fù)習(xí)的專題設(shè)置既要考慮到高頻考點(diǎn)，關(guān)注重點(diǎn)、熱點(diǎn)和難點(diǎn)，還要根據(jù)學(xué)情針對(duì)學(xué)生暴露出來的問題，進(jìn)行精準(zhǔn)指導(dǎo)，實(shí)現(xiàn)減負(fù)增效；既要設(shè)置小切口的專題，實(shí)施微專題教學(xué)，還要注意不同知識(shí)板塊之間的聯(lián)系與綜合，特別是創(chuàng)設(shè)不同的、科學(xué)的、真實(shí)的情境，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)理解能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.