摘要：指向深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)共同體是以深度學(xué)習(xí)為目標(biāo)，在以深層思維為主要認(rèn)知活動的課堂氛圍中，追求問題探究的深度性、思維品質(zhì)的深刻性與批判性以及情感投入的深沉性，師生以協(xié)作、共享、補(bǔ)充等行為獲得對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的理解及運(yùn)用的一種課堂教學(xué)組織形式.本文中提出了深度學(xué)習(xí)理念下的高中數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)共同體構(gòu)建策略.

關(guān)鍵詞：深度學(xué)習(xí)；課堂學(xué)習(xí)共同體

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出，教學(xué)中要關(guān)注育人目的，注重培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)，提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識解決實(shí)際問題的能力，幫助學(xué)生把握學(xué)習(xí)的深度＼.深度學(xué)習(xí)提供了開展素養(yǎng)導(dǎo)向?qū)W習(xí)的一條重要途徑.深度學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體立場與有意義的學(xué)習(xí)；強(qiáng)調(diào)對“四基”的深度加工與理解；強(qiáng)調(diào)問題的深度探究與思考；強(qiáng)調(diào)有效的學(xué)習(xí)遷移和問題解決；強(qiáng)調(diào)活動的深度參與與體驗(yàn)；強(qiáng)調(diào)教學(xué)的育人功能與目標(biāo).

目前，高中課堂教學(xué)過程存在壓縮化現(xiàn)象，從教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)進(jìn)度、教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)過程來看，學(xué)生雖已沒有虛假學(xué)習(xí)現(xiàn)象，但學(xué)習(xí)動機(jī)還是外在驅(qū)動的，學(xué)習(xí)認(rèn)知處于淺表層，學(xué)習(xí)中還存在“不理解”和“夾生”，課堂中批判性的反思和思考較少，思考的惰性使學(xué)生學(xué)習(xí)不能深入，真正的學(xué)習(xí)能力得不到提升.課堂上師生間的互動也存在不和諧的現(xiàn)象，學(xué)生自主思考與合作交流的時(shí)間較少，只能被動接受數(shù)學(xué)知識.這樣不僅制約了學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)知與思考，而且降低了課堂效率.其實(shí)，學(xué)生習(xí)得知識并不是課堂教學(xué)的真正目的，而是通過學(xué)習(xí)知識，了解知識背后孕育的思想方法、意義和價(jià)值.在課堂上，如何有效開展教學(xué)活動，以助推學(xué)生的思維發(fā)展？筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，探索出以指向深度學(xué)習(xí)為目標(biāo)、助推學(xué)生思維發(fā)展為核心、培養(yǎng)學(xué)生終身學(xué)習(xí)研究能力和團(tuán)隊(duì)精神為抓手的教學(xué)模式——指向深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)共同體模式，與同行共同探討.

1 指向深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)共同體模式的主要內(nèi)涵

深度學(xué)習(xí)是一種基于理解的學(xué)習(xí)，是指學(xué)習(xí)者圍繞學(xué)習(xí)主題積極主動地、批判性地學(xué)習(xí)新的知識和思想，全身心積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展，既能將已有知識遷移到新情境中，又能將所學(xué)知識融入原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有意義的學(xué)習(xí).數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的理解以及對數(shù)學(xué)知識內(nèi)在聯(lián)系的認(rèn)識與把握，追求有效的學(xué)習(xí)遷移和問題的解決，屬于以深層思維為主要認(rèn)知活動的學(xué)習(xí).

共同體是具有共同愿景的個(gè)人或組織，圍繞共同的發(fā)展目標(biāo)結(jié)成的具有較強(qiáng)互補(bǔ)性的團(tuán)隊(duì)或聯(lián)盟.課堂學(xué)習(xí)共同體是指在課堂教學(xué)環(huán)境中，由教師和學(xué)生共同構(gòu)成，以學(xué)生為本位、以“學(xué)”為中心的新型課堂教學(xué)組織形式.它以學(xué)習(xí)資源為載體，在民主和諧的學(xué)習(xí)情境中，強(qiáng)調(diào)師生以共同愿景為基礎(chǔ)，以師生間活動性、合作性、反思性的協(xié)作為學(xué)習(xí)方式，以真實(shí)任務(wù)為核心，通過對話、協(xié)作、補(bǔ)充、競爭，分享師生的情感、智慧、體驗(yàn)與觀念，從而達(dá)到共識、共享、共進(jìn)，實(shí)現(xiàn)知識的深度學(xué)習(xí)和個(gè)體的真正成長.

“指向深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)共同體”課堂模式旨在以深度學(xué)習(xí)為目標(biāo)，在以深層思維為主要認(rèn)知活動的課堂氛圍中，追求問題探究的深度性、思維品質(zhì)的深刻性與批判性以及情感投入的深沉性，師生以協(xié)作、共享、補(bǔ)充等行為獲得對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的深度理解及運(yùn)用.

2 指向深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)共同體模式的教學(xué)實(shí)施方略

2.1 概念研學(xué)，助推學(xué)生思維走向融通

從概念理解的角度來看，概念的學(xué)習(xí)本身就是一個(gè)“同化”或“順應(yīng)”的過程，“同化”或“順應(yīng)” 是通過概念間的聯(lián)系來實(shí)現(xiàn)的.從教與學(xué)的角度來看，概念間的邏輯聯(lián)系應(yīng)該成為最有效的聯(lián)系，這種聯(lián)系的確定不僅能促進(jìn)學(xué)生思維的深度參與，亦能幫助學(xué)生建立牢固的概念知識網(wǎng)絡(luò)＼.因此，對于概念研學(xué)應(yīng)充分利用概念間的邏輯關(guān)聯(lián)設(shè)置有價(jià)值的問題，幫助學(xué)生主動建構(gòu)概念.我們可以構(gòu)建課堂學(xué)習(xí)共同體實(shí)現(xiàn)成員間的“研學(xué)對話”，在合作學(xué)習(xí)中學(xué)生經(jīng)歷概念的生成和發(fā)展全過程，在親身體驗(yàn)中形成自己的見解；在同伴的分享中學(xué)生獲得概念的深度思考，在質(zhì)疑批判中尋求問題的答案；在交流展示中學(xué)生獲得表達(dá)能力和反思性思維能力的鍛煉，在研究學(xué)習(xí)中構(gòu)建融通的認(rèn)知結(jié)構(gòu).教師作為課堂學(xué)習(xí)的主導(dǎo)者，也是共同體成員的助學(xué)者，在充分傾聽學(xué)生看法或問題的基礎(chǔ)上將學(xué)生與文本、學(xué)生與學(xué)生、教師與學(xué)生、學(xué)生與認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行串聯(lián)，引發(fā)學(xué)生深度思考，形成學(xué)習(xí)共同體的思維共振，促進(jìn)師生共同成長.

案例1曲線的切線概念研學(xué)

曲線的切線對微積分的發(fā)現(xiàn)以及幫助學(xué)生直觀理解導(dǎo)數(shù)的概念都起到重要的作用.曲線的切線問題也是歷年高考考查的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，如果學(xué)生對曲線的切線概念不理解，那么這些高考試題就難以攻破.在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中，為了讓學(xué)生深度理解曲線的切線的概念，筆者設(shè)計(jì)了以下三個(gè)問題.

問題1曲線的切線是如何定義的？

設(shè)計(jì)意圖：檢測學(xué)生對曲線y=f（x）在點(diǎn)P0（x0，f（x0））處的切線及切線斜率的認(rèn)知程度.理解當(dāng)點(diǎn)P（x，f（x））沿著曲線y=f（x）無限趨近于點(diǎn)P0（x0，f（x0））時(shí)，切線P0T是割線P0P的極限位置（圖1）、切線P0T的斜率是割線P0P斜率的極限值.讓學(xué)生體會導(dǎo)數(shù)中的“以直代曲”和“無限逼近”思想.

問題2能否以直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來判定該直線是否為曲線的切線？

設(shè)計(jì)意圖：糾正學(xué)生由“直線與圓相切則直線與圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)”遷移形成的錯(cuò)誤認(rèn)知.嘗試讓學(xué)生舉反例發(fā)現(xiàn)曲線的切線與曲線交點(diǎn)情況的不確定性.比如直線x=0與曲線y=x2只有一個(gè)公共點(diǎn)，但該直線不是曲線的切線.又比如函數(shù)y=x3，曲線在x=0處的切線y=0與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，但曲線在x=1處的切線y=3x－2與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)（1，1）和（－2，－8）.再比如函數(shù)y=sin x，曲線在x=π2處的切線是y=1，該切線與曲線有無數(shù)個(gè)交點(diǎn)2kπ+π2，1（k∈Z）.

問題3曲線的切線都在曲線的一側(cè)嗎？即曲線y=f（x）在點(diǎn)P0（x0，f（x0））處的切線是y=g（x），則有f（x）≥g（x）或f（x）≤g（x）嗎？若正確，請證明;若錯(cuò)誤，請舉出反例.

設(shè)計(jì)意圖：通過問題2的舉例以及幾何畫板的演示，容易發(fā)現(xiàn)曲線的切線不都在曲線的一側(cè).筆者追問有沒有哪些曲線的切線在曲線一側(cè)，在學(xué)生認(rèn)知范圍內(nèi)很容易舉例說明.比如，函數(shù)f（x）=ex在各點(diǎn)處的切線y=g（x）都在曲線下方，滿足f（x）≥g（x）.再比如，函數(shù)f（x）=ln x在各點(diǎn)處的切線y=g（x）都在曲線上方，滿足f（x）≤g（x）.筆者再次追問一般滿足什么特征的曲線會有這樣的性質(zhì)，最終得到上凸、下凸函數(shù)與切線放縮的一般性結(jié)論.上凸函數(shù)與切線放縮（圖2）：若函數(shù)f（x）在定義域I上可導(dǎo)，且f′（x）在定義域I上可導(dǎo).若f″（x）≤0恒成立，則x0∈I，f（x）≤f′（x0）（x－x0）+f（x0）恒成立.下凸函數(shù)與切線放縮（圖3）：若函數(shù)f（x）在定義域I上可導(dǎo)，且f′（x）在定義域I上可導(dǎo).若f″（x）≥0恒成立，則x0∈I，f（x）≥f′（x0）（x－x0）+f（x0）恒成立.師生合作共同給出了證明.

2.2 本質(zhì)探源，助推學(xué)生思維走向深刻

新課程改革強(qiáng)調(diào)對數(shù)學(xué)本質(zhì)的深刻理解.在課堂教學(xué)中，不僅要揭示數(shù)學(xué)概念、定理、法則的生成與發(fā)展過程，還要對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行深層次加工，引導(dǎo)學(xué)生通過深度體驗(yàn)和深度思考，深刻理解數(shù)學(xué)知識的內(nèi)涵與外延，深刻領(lǐng)悟蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想與方法，使思維不斷深入，讓學(xué)習(xí)不是單純的模仿和機(jī)械的訓(xùn)練，而是成為一種“再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造”的深度學(xué)習(xí)過程.

案例2求曲線的切線本質(zhì)探源

求曲線的切線問題主要涉及求曲線切線的斜率與方程、切線的條數(shù)、公切線問題，以及由切線滿足的條件求參數(shù)或參數(shù)范圍.在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中，為了讓學(xué)生深度理解曲線的切線問題的求法，筆者設(shè)計(jì)了以下問題.

問題4已知曲線f（x）=ex.則f（x）過點(diǎn)（－1，0）的切線方程為________________.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體會“在”一點(diǎn)處的曲線切線與“過”一點(diǎn)的曲線切線的區(qū)別，理解曲線的切線問題關(guān)鍵是抓住切點(diǎn)，運(yùn)用切點(diǎn)的三個(gè)性質(zhì)（切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率、切點(diǎn)在切線上、切點(diǎn)在曲線上）就可求其切線，即曲線f（x）在切點(diǎn)P0（x0，f（x0））處的切線方程是y－f（x0）=f′（x0）（x－x0）.

2.3 問題拓展，助推學(xué)生思維走向靈活

在教學(xué)中，課堂上師生對話大多數(shù)是通過問題思考實(shí)現(xiàn)的，通常會經(jīng)歷“提出問題—思考問題—回答問題—反饋評價(jià)”這一系列流程.問題的提出者可以是教師，也可以是學(xué)生，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出問題.當(dāng)然，在思考問題前有必要判斷一下問題是否貼合教學(xué)內(nèi)容、是否能有效促進(jìn)知識的生成.因此，教師應(yīng)以課堂學(xué)習(xí)共同體為抓手，設(shè)置精準(zhǔn)、開放且有效的問題，引領(lǐng)學(xué)生思維走向靈活.

案例3用曲線的切線問題拓展

用曲線的切線可以研究函數(shù)最值、不等式恒成立、函數(shù)零點(diǎn)等問題.在用切線法解題時(shí)可以全面考查學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)，因此這類試題一直備受高考命題者的青睞.在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中，為了讓學(xué)生深度理解用曲線的切線來解題，筆者設(shè)計(jì)了以下四個(gè)問題.

問題5過點(diǎn)（a，b）作曲線f（x）的切線有且僅有一條嗎？思考該問題，嘗試編制出與曲線f（x）=ex有關(guān)的切線問題，并給出解答.

學(xué)生編題1：過點(diǎn)（a，b）作曲線f（x）=ex的切線，研究切線的條數(shù).

問題6過點(diǎn)（－1，0）的直線與曲線f（x）=ex交點(diǎn)的情況如何？思考該問題，嘗試編制出與曲線f（x）=ex有關(guān)的切線問題，并給出解答.

學(xué)生編題2：已知不等式ex≥a（x+1）對x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________________.

學(xué)生編題3：已知方程ex=a（x+1）有兩個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________________.

學(xué)生編題4：已知方程ex=ax2在（0，+∞）只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的值為________________.

問題7仿照問題5和問題6，嘗試編制出與曲線g（x）=ln x有關(guān)的切線問題，并給出解答.

學(xué)生編題5：過點(diǎn)（a，b）作曲線g（x）=ln x的切線，研究切線的條數(shù).

學(xué)生編題6：已知曲線g（x）=ln x，則g（x）過點(diǎn)（0，－1）的切線方程為________________.

學(xué)生編題7：已知不等式ln x≤ax－1對x>0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________________.

學(xué)生編題8：已知方程ln x=ax－1有兩個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________________.

學(xué)生編題9：已知方程ln x=ax2在（1，+∞）只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的值為________________.

學(xué)生編題10：試討論曲線g（x）=ln x與y=ax2（a>0）公切線的條數(shù).

問題8嘗試編制出與曲線f（x）=ex和g（x）=ln x有關(guān)的切線問題，并給出解答.

學(xué)生編題11：若直線l與曲線y=f（x）和y=g（x+2）都相切，則直線l的方程為________________.

學(xué)生編題12：試判斷曲線y=f（x）與y=g（x）公切線的條數(shù).

學(xué)生編題13：當(dāng)a≤2時(shí)，證明f（x）>g（x+a）.

學(xué)生編題14：若f（x+a）+a≥g（x）對x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________________.

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)置開放性問題，并嘗試讓學(xué)生編題，旨在啟發(fā)學(xué)生立足問題再拓展，于引申中品味，于編題中發(fā)現(xiàn)，于比較中鑒別，于反饋中深入，于拓展中激發(fā)，于聯(lián)想中感悟，于創(chuàng)新中陶冶，讓學(xué)生在編制試題和問題解答中經(jīng)歷多次螺旋式循環(huán)探究，不斷地進(jìn)行有意義的知識與方法的構(gòu)建而達(dá)到舉一反三、觸類旁通之效＼.

2.4 總結(jié)延伸，助推學(xué)生思維走向廣闊

課堂以活動為抓手，讓學(xué)生在探究中理解并掌握知識，并能靈活運(yùn)用到解題中去.在數(shù)學(xué)活動中要想更好地達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，就需要及時(shí)歸納、總結(jié)與反饋，不斷生成核心知識及框架體系，讓學(xué)生從“知其然”到“知其所以然”，再到“知其何由所以然”，從而助推學(xué)生的思維走向廣闊.

案例4曲線的切線總結(jié)延伸

掌握曲線的切線問題需要攻破三個(gè)難點(diǎn)：一是什么是曲線的切線；二是怎么求曲線的切線；三是如何用曲線的切線.筆者在問題解決中逐層顯現(xiàn)思維結(jié)構(gòu)圖（圖4），旨在讓隱性的思維變外化顯現(xiàn)、抽象的思維變形象可視、零散的思維變整體有結(jié)構(gòu)＼，使學(xué)生在大腦中把曲線的切線問題的知識、方法與思想逐步建立起來，真正實(shí)現(xiàn)“深度學(xué)習(xí)，發(fā)展素養(yǎng)”.

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識，更重要的是要讓學(xué)生的思維得到切實(shí)有效的提升.在“指向深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)共同體”課堂上，教師精心設(shè)計(jì)教學(xué)策略，引導(dǎo)和激勵(lì)學(xué)習(xí)共同體自覺研究數(shù)學(xué)問題，在問題解決中學(xué)生的思維活動由表層數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)思想方法的形成過程，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí).

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