張偉

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》指出：把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，啟發(fā)思考，改進(jìn)教學(xué).在高三一輪復(fù)習(xí)教學(xué)中，如何引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)本質(zhì)呢？筆者以一輪復(fù)習(xí)課“解三角形”為例，引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)參與教學(xué)，一題多解，多題歸一，層層深入，開展深度學(xué)習(xí)，追本溯源，探尋解三角形的本質(zhì)、思想與方法.

1 教學(xué)過(guò)程

1.1 引例

鈍角三角形ABC的面積是12，AB=1，BC=2，則AC=.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)本例題的教學(xué)，復(fù)習(xí)正弦定理、余弦定理、面積公式，以及公式的變形與作用，理解利用方程法解三角形和方程思想等.

1.2 典型例題

例1如圖1，在△ABC中，已知點(diǎn)D在BC邊上，AD⊥AC，sin∠BAC=223，AB=32，AD=3，則BD的長(zhǎng)為.

思路分析：從幾何元素角度分析，解三角形就是已知三角形的六個(gè)元素（三個(gè)角和三條邊）中的三個(gè)元素（其中至少知道一條邊）求其他三個(gè)元素的過(guò)程；從代數(shù)方程的角度分析，解三角形就是知三求一，建立方程（A+B+C=π是其中隱含的一個(gè)方程），從正弦定理、余弦定理入手解決問題.

設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生理解利用方程法解三角形和方程思想等.

例2如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍.

（1）求sin Bsin C；

（2）若AD=1，DC=22，求BD和AC的長(zhǎng).

第（1）問解答過(guò)程略，得到sinBsinC=12，從而得到ACAB=12，即AB=2AC.下面是第（2）問的教學(xué)片斷.

生1：因?yàn)镾△ABD∶S△ADC=BD∶DC，所以BD=2.在△ABD和△ADC中，

分別由余弦定理得

AB2=AD2+BD2－2AD·BDcos∠ADB，

AC2=AD2+DC2－2AD·DC＼5cos∠ADC.

又因?yàn)閏os∠ADC+cos∠ADB=0，所以

AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.

又由（1）知AB=2AC，所以AC=1.

生2：因?yàn)镾△ABD∶S△ADC=BD∶DC，所以BD=2.在△ABC和△ACD中，分別有

cos C=AC2+BC2－AB22AC·BC，cos C=AC2+DC2－AD22AC·DC.

由BC=322，DC=22，AD=1可得AB2+2AC2=6.又由（1）知AB=2AC，所以AC=1.

生3：同理，還可以在△ABD和△ABC中求解.

師：例2的解決思路與例1有什么聯(lián)系和區(qū)別？

生4：都是建立方程解三角形.

生5：區(qū)別是例1是在一個(gè)三角形中求解，例2是把邊和角放在兩個(gè)三角形中求解.

師：解一個(gè)三角形從條件個(gè)數(shù)的角度來(lái)分析是知三求三，即需要知道三個(gè)獨(dú)立的條件，那么解兩個(gè)三角形呢？請(qǐng)以本題為例進(jìn)行分析.

生6：在△ABD和△ADC中，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍，AD=1，DC=22，共4個(gè)條件.

師：由（1）得到的AB=2AC算一個(gè)獨(dú)立條件嗎？本題還有其他條件嗎？

生7：AB=2AC不算一個(gè)獨(dú)立條件，因?yàn)樗怯葾D平分∠BAC和△ABD面積是△ADC面積的2倍這兩個(gè)條件推出來(lái)的結(jié)果.本題還有AD是公共邊，∠ADC與∠ADB互補(bǔ)，即∠ADC+∠ADB=π這兩個(gè)獨(dú)立條件.

師：本題如果在△ACD和△ABC中求解共需要幾個(gè)獨(dú)立元素呢？

生8：除了已知的四個(gè)條件外，還有AC是公共邊，∠C是公共角，共六個(gè)獨(dú)立條件.

師：從條件個(gè)數(shù)的角度來(lái)分析，解一個(gè)三角形需要知道三個(gè)元素，解兩個(gè)三角形需要知道六個(gè)元素.這里所說(shuō)的元素，廣義來(lái)講可以是公共邊、公共角、互補(bǔ)角等，也可以是面積、中線、高線、角平分線、周長(zhǎng)等，它們都可以轉(zhuǎn)化為三角形中的元素，但一定要是相互獨(dú)立的元素.

師：本題我們是利用建立方程的方法求三角形邊的長(zhǎng)度和角的大小，請(qǐng)大家想想除了可以利用正余弦定理建立方程，還可以有哪些方法建立方程求解？

生9：與長(zhǎng)度和角度有關(guān)的問題，可以考慮用向量的方法建立方程.考慮到D是BC的三等分點(diǎn)，可以得到AD=23AC+13AB，兩邊平方得（AD）2=23AC+13AB2，化簡(jiǎn)得1=49AC2+19AB2+49AB·AC·cos∠ACB.在△ABC中，由余弦定理得BC2=92=AB2+AC2+2AB·AC·cos∠ACB，可得AB2+2AC2=6.又由（1）知AB=2AC，所以AC=1.

生10：因?yàn)榕c長(zhǎng)度和角度有關(guān)，所以還可以通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系來(lái)建立方程.

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖3所示的平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)∠BAD=∠DAC=θ，AC=b，則AB=c=2b.

所以B（2bcos θ，2bsin θ），D（1，0），C（bcos θ，－bsin θ）.

由DC=22，DB=2，得

（2bcosθ－1）2+（2bsinθ）2=2，

（bcosθ－1）2+（bsinθ）2=12.

化簡(jiǎn)，得2b2－1=1，得b=1，即AC=b=1.

師：下面我們來(lái)看幾個(gè)變式訓(xùn)練.

變式1在△ABC中，AB=2AC，D是BC邊上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，AD=AC，DC=22，求AC的長(zhǎng).

變式2在△ABC中，AB=2AC，D是BC邊上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，AD=1，cos∠BAC=18，求AC的長(zhǎng).

變式3在△ABC中，AB=2AC，D是BC邊上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，AD=AC，S△ABC=378，求BC的長(zhǎng).

小結(jié)與反思：（1）我們是如何解三角形的？（解三角形的本質(zhì)是方程法.）

（2）建立方程的方法和途徑有哪些？（正余弦定理、向量法、坐標(biāo)法、構(gòu)造特殊三角形等.）

（3）請(qǐng)你談?wù)剰臈l件個(gè)數(shù)的角度我們是如何命制解三角形問題的？（命制涉及兩個(gè)三角形的題目時(shí)，都是先給出兩個(gè)三角形，再將有關(guān)這兩個(gè)三角形的相互獨(dú)立的條件個(gè)數(shù)減少到六個(gè).）

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題和變式的解決，引導(dǎo)學(xué)生掌握解三角形的基本方法，探尋研究一個(gè)問題、一類問題的基本思路與方法.授人以魚不如授人以漁，學(xué)生掌握了研究數(shù)學(xué)對(duì)象的思路，知道從哪些角度來(lái)研究問題后，自然不滿足于已有的問題，必然會(huì)產(chǎn)生新的想法，進(jìn)而會(huì)自己提出問題、分析并解決問題.

師：不難發(fā)現(xiàn)，這六個(gè)條件中，除了已知的邊長(zhǎng)和角度，還可以是隱藏的條件，比如公共邊、成倍數(shù)關(guān)系的邊、公共角或互補(bǔ)的兩個(gè)角等，也可以“換一種表達(dá)方式”給出條件，如給出面積、周長(zhǎng)、中線長(zhǎng)，角平分線長(zhǎng)、向量形式的等式、正余弦邊角互化得出的等式、幾何關(guān)系等式等.

師：請(qǐng)各位同學(xué)自己編制試題.

改編1在△ABC中，cos∠BAC=18，D是BC邊上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，BD=2DC，AD=1，求△ABC的面積.

改編2在△ABC中，sin C=2sin B，D是BC邊上的點(diǎn)，AD=23AC+13AB，AD=1，tan∠BAC=37，求△ABC的周長(zhǎng).

改編3在△ABC中，cos∠BAC=18，D是BC邊上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，BD=2DC，△ABC的面積為378，求AD的長(zhǎng).

設(shè)計(jì)意圖：給學(xué)生提供充分活動(dòng)的機(jī)會(huì)，使他們?cè)谥鲃?dòng)探索和合作交流的過(guò)程中獲取知識(shí)、形成技能，在獲取廣泛數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上使知識(shí)、能力方面由“獲取”轉(zhuǎn)化為“建構(gòu)”，“感性”上升為“理性”.

例3（2021年新高考Ⅰ卷）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知b2=ac，點(diǎn)D在邊AC上，且BD=b，若AD=2DC，求cos∠ABC.

解法1：若AD=2DC，則AD=23b，DC=13b.

在△ABD中，由余弦定理，可知cos∠BDA=BD2+AD2－AB22BD·AD=13b2－9c212b2.

在△CBD中，由余弦定理，可知cos∠BDC=BD2+CD2－BC22BD·CD=10b2－9a26b2.

又∠BDA+cos∠BDC=π，所以cos∠BDA+cos∠BDC=0，則

13b2－9c212b2+10b2－9a26b2=0，即11b2=3c2+6a2.

又b2=ac，所以3c2－11ac+6a2=0，故c=3a或c=23a.

在△ABC中，由余弦定理，可知cos∠ABC=a2+c2－b22ac=a2+c2－ac2ac.

當(dāng)c=3a時(shí)，cos∠ABC=76>1（舍）；

當(dāng)c=23a時(shí)，cos∠ABC=712.

綜上所述，cos∠ABC=712.

解法2：在△ABC中，BD=23BC+13BA，平方得

BD2=49a2+19c2+49accos B.①

在△ABC中，由余弦定理得

b2=a2+c2－2accos B.②

聯(lián)立①②，得11b2=3c2+6a2.

以下部分同解法1.

思路分析：本題涉及兩個(gè)三角形，只有五個(gè)獨(dú)立的條件，故無(wú)法確定三角形，那么如何求cos∠ABC呢？找到邊長(zhǎng)a，b，c之間的關(guān)系，利用余弦定理求解.

設(shè)計(jì)意圖：考慮到學(xué)生已經(jīng)初步掌握了解三角形的方法、思想與本質(zhì)，而從條件的個(gè)數(shù)分析，本題只有五個(gè)獨(dú)立條件，缺少給定某一條的邊長(zhǎng)這一條件，故三角形不能確定.滿足題意的三角形都相似，不能求出邊長(zhǎng)a，b，c，但根據(jù)邊長(zhǎng)a，b，c之間的關(guān)系可以求出cos∠ABC.因此進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生當(dāng)條件個(gè)數(shù)不足時(shí)，如何求解三角形問題.

這也為繼續(xù)研究三角形中的邊長(zhǎng)、面積和周長(zhǎng)的取值范圍等問題做好鋪墊.

2 教學(xué)反思

當(dāng)前，在高中一輪復(fù)習(xí)中，大多數(shù)學(xué)校采取的復(fù)習(xí)方式是根據(jù)教輔資料的設(shè)計(jì)，每一小節(jié)通過(guò)基礎(chǔ)知識(shí)梳理、典型例題剖析、課時(shí)作業(yè)等環(huán)節(jié)進(jìn)行教學(xué)，然后輔以大量的專題訓(xùn)練和考試.這種做法的優(yōu)點(diǎn)是能夠幫助學(xué)生更好地鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，提升解題技能；缺點(diǎn)是不能幫助學(xué)生深刻理解內(nèi)容的本質(zhì)，掌握核心思想與方法，提升理性思維，落實(shí)核心素養(yǎng).“為國(guó)選才”是高考的基本功能，黨中央、國(guó)務(wù)院印發(fā)的《深化新時(shí)代教育評(píng)價(jià)改革總體方案》明確提出：“改變相對(duì)固化的試題形式，增強(qiáng)試題的開放性，減少死記硬背和機(jī)械刷題現(xiàn)象”，高考命題探索“價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識(shí)為基”的綜合考查模式，高考命題加大題目的創(chuàng)新力度、注重思維能力考查要求，課堂教學(xué)要回到注重?cái)?shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，加強(qiáng)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)，促使學(xué)生學(xué)會(huì)思考，善于總結(jié)與反思.如果在重視基礎(chǔ)的前提下適度開展深度學(xué)習(xí)，學(xué)生通過(guò)教師的引導(dǎo)和幫助，借助適宜的活動(dòng)情境或手段，能主動(dòng)地去觀察、猜測(cè)、思考、探究，能提出問題并解決問題，真正成為教學(xué)的主體.教師在傳授知識(shí)的同時(shí)，要注重知識(shí)的追根溯源、注重思維的深層訓(xùn)練、注重師生的深層對(duì)話、注重學(xué)習(xí)的深層評(píng)價(jià)，引導(dǎo)學(xué)生“知其然”到“知其所以然”，促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)從“學(xué)會(huì)”到“會(huì)學(xué)”.