一、引言

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)理論體系的基礎(chǔ)[1]。深入挖掘概念的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)從表層記憶走向數(shù)學(xué)理解，是概念教學(xué)的切入點(diǎn)，也是深度學(xué)習(xí)的生長(zhǎng)點(diǎn)[2]。

關(guān)于比，通常有兩層含義：一是差比，求兩者之間的差，如比較15和5時(shí)，“15比5大10”是差比；二是倍比，求兩者之間的商，如“15比5為3”。兩個(gè)“比”的意義不同，而本文所聚焦的“比”特指倍比。倍比突顯了比概念的本質(zhì)，是學(xué)生學(xué)習(xí)比概念的核心。然而，部分教師無(wú)法準(zhǔn)確把握比的本質(zhì)，對(duì)比的概念的形成過(guò)程更是一知半解[1]。因此在教學(xué)過(guò)程中，無(wú)法引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)比產(chǎn)生的必要性，進(jìn)而也無(wú)法感悟比的本質(zhì)。

歷史是教學(xué)最好的指南，從歷史中可以了解概念的產(chǎn)生與發(fā)展過(guò)程，感受概念產(chǎn)生的必要性，體會(huì)概念的本質(zhì)。因此，厘清比的概念的發(fā)展歷史，從而幫助教師更好地開(kāi)展比的概念教學(xué)，進(jìn)而引領(lǐng)學(xué)生感悟、理解比的概念。

二、“比”概念的發(fā)展

（一）來(lái)源于度量需求。

數(shù)量概念發(fā)展的早期源頭之一是社會(huì)實(shí)踐中的各種度量。在幾何發(fā)展初期，古人在度量路途長(zhǎng)短、容器大小等各種測(cè)量活動(dòng)中逐漸形成了線、長(zhǎng)度、面積、體積等概念，而比的產(chǎn)生源于人們對(duì)幾何線段長(zhǎng)度的度量。設(shè)定“單位長(zhǎng)”作為基準(zhǔn)，再將所需度量的線段與“單位長(zhǎng)”進(jìn)行比較，得到比值，便可由兩個(gè)“量”的比來(lái)確定線段的“大小”。為了方便度量長(zhǎng)度，人們會(huì)在直尺上預(yù)先標(biāo)記單位刻度，如果不能用整數(shù)單位量盡，就將單位再等分，由此產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)。所以比一出現(xiàn)就同分?jǐn)?shù)、除法相聯(lián)系，分?jǐn)?shù)表示的是單位“1”分割后的數(shù)，比表示的是分割后部分與整體兩個(gè)量之間的倍數(shù)關(guān)系。在度量過(guò)程中，比例也孕育而生。戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的“兆域圖”（公元前310年左右）是我國(guó)至今發(fā)現(xiàn)的最早的建筑平面規(guī)劃圖。圖中標(biāo)明“堂方二百尺”“兩間百尺”，即堂邊為間距的2倍，根據(jù)標(biāo)記的數(shù)據(jù)得知，原圖是按照1∶500的比例尺繪制的。由此可見(jiàn)，古人在度量中已經(jīng)對(duì)比例有了一定的認(rèn)識(shí)。

歷史記載表明，人們最初對(duì)比的認(rèn)識(shí)源于度量，比從產(chǎn)生起就表示各同類量之間的倍數(shù)關(guān)系，但此時(shí)人們對(duì)比的認(rèn)識(shí)主要是對(duì)實(shí)際問(wèn)題觀察的結(jié)果以及經(jīng)驗(yàn)的積累，并未察覺(jué)比與除法、分?jǐn)?shù)的區(qū)別，更沒(méi)有建立起比的相關(guān)理論。

（二）發(fā)展于理論完善。

公元前6世紀(jì)的古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派建立了“萬(wàn)物皆數(shù)”的基本信條，認(rèn)為自然數(shù)和自然數(shù)之比得到的數(shù)可以表示世間的一切數(shù)量關(guān)系。同時(shí)，在自然數(shù)的基礎(chǔ)上建立了比例論：設(shè)A、B兩個(gè)量可公度，即存在兩個(gè)正整數(shù)m、n，使得mA=nB，那么A∶B=n∶m，兩個(gè)自然數(shù)之比[nm]就是一個(gè)數(shù)。幾何意義上表示為任意兩條線段都是可公度的。然而，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)比的認(rèn)識(shí)僅適用于可公度量。因?yàn)樽匀唤缰械牧渴沁B續(xù)的，量與量的比值也應(yīng)是連續(xù)的，而自然數(shù)是離散的，單用整數(shù)及其比來(lái)表示就會(huì)出現(xiàn)無(wú)法克服的矛盾。比如該學(xué)派的希帕索斯發(fā)現(xiàn)了不可公度的兩條線段（直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形的斜邊與直角邊），這使得“萬(wàn)物皆數(shù)”的信條受到了挑戰(zhàn)與質(zhì)疑。

公元前370年左右，在當(dāng)時(shí)學(xué)者不承認(rèn)無(wú)理數(shù)存在的背景下，為解決不可公度問(wèn)題，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的歐多克索斯引入了“量”，即兩個(gè)量之比不再是離散的數(shù)，而是連續(xù)的量，如幾何中線段、面積、體積、時(shí)間等連續(xù)變動(dòng)的量。他定義了量的比：“如果一個(gè)量擴(kuò)大若干倍之后就可以大于另一個(gè)量，則說(shuō)這兩個(gè)量有一個(gè)比?！保ㄈ鏪2]cm與1cm的線段，[2]cm的1倍大于1cm，所以兩者之間就存在比）同時(shí)，他還提出了量的比例理論：設(shè)有A、B、C、D四個(gè)量，A與C、B與D分別乘相同的倍數(shù)m、n，如果由mA=nB，可推出mC=nD，則說(shuō)兩個(gè)比A∶B與C∶D相等，即4個(gè)量可構(gòu)成比例A∶B=C∶D，其中，量A、B、C、D可以是有理量和無(wú)理量。值得注意的是，歐多克索斯用兩個(gè)量的比來(lái)處理不可公度的問(wèn)題，并沒(méi)有對(duì)無(wú)理量賦予數(shù)值，例如現(xiàn)在表示數(shù)值為[2]的量只能在幾何中解釋，脫離了連續(xù)的幾何量就無(wú)法存在。

歐多克索斯引入幾何中連續(xù)的量來(lái)解決不可公度問(wèn)題，維護(hù)了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條，緩解了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。同時(shí)，他在幾何量的基礎(chǔ)上建立了量之間的比和比例，并且不涉及數(shù)值，將數(shù)和量生硬地分開(kāi)，希臘數(shù)學(xué)的重心也因此由代數(shù)轉(zhuǎn)向幾何，奠定了古典邏輯和歐幾里得幾何學(xué)的基礎(chǔ)。

公元前300年左右，歐幾里得在《幾何原本》中總結(jié)比的理論時(shí)繼承了前人成果，嚴(yán)格區(qū)分了數(shù)的比和量的比，給出比的定義和相應(yīng)法則，比的公理化體系由此形成。

直到1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)體系基礎(chǔ)上，定義了無(wú)理數(shù)，數(shù)的比和量的比才實(shí)現(xiàn)統(tǒng)一，至此持續(xù)2000多年的第一次數(shù)學(xué)危機(jī)才宣告結(jié)束。

綜上所述，比表示兩個(gè)量或兩個(gè)數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，比例表示兩個(gè)比相等?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)中比和比例的基本概念、定義、性質(zhì)的命題，在《幾何原本》中都已成形，因而《幾何原本》形成了“比”的理論。

相比之下，中國(guó)古代并沒(méi)有出現(xiàn)比和比例的定義，也沒(méi)有形成相應(yīng)的系統(tǒng)理論，直到1067年，徐光啟與利瑪竇合譯《幾何原本》前六卷時(shí)，才由此引進(jìn)“比”的概念。中國(guó)古代與“比”較接近的概念是“率”，其完整的數(shù)學(xué)定義在公元263年由劉徽在《九章算術(shù)注》中給出[3]∶“凡數(shù)相與者謂之率。率者，自相與通。有分則可散，分重疊則約也。等除法實(shí)，相與率也。”（意思是：兩數(shù)比較，如果它們有相比的關(guān)系則稱為率，兩數(shù)滿足同一相比關(guān)系的可以化為同一個(gè)率。若分母太小即單位太粗，就可以分散單位，需將分母乘某數(shù)來(lái)變大分母，從而使得兩分?jǐn)?shù)的分母相同；若兩個(gè)分?jǐn)?shù)有同樣單位的重疊，分母太大即單位太細(xì)，就可以約分，需將分母除以某數(shù)來(lái)變小分母約分單位。分子、分母同除以公共單位，約簡(jiǎn)兩數(shù)之比，稱為相與率）“相與”取比較之意，兩數(shù)比較，此時(shí)“率”與“比”概念可以相同。但“數(shù)相與”還可理解為“兩數(shù)可以同時(shí)乘或除以一個(gè)相同的數(shù)”這一關(guān)系[4]。如最早出現(xiàn)“率”這一概念的《周髀算經(jīng)》卷上寫(xiě)道[5]：“由此觀之，率八十寸而得徑一寸……以率率之，八十里得徑一里，十萬(wàn)里得徑千二百五十里?！币馑际?0寸得徑1寸，80里得徑1里，10萬(wàn)里就得徑1250里，這三組是線性相關(guān)量，任取其中一組，都可以表示這一線性相關(guān)關(guān)系（80∶1）。

此外，值得注意的是，上述量的比指的都是同類量的比，非同類量的比是比本質(zhì)的衍生概念。例如，伽利略在研究路程與時(shí)間的關(guān)系時(shí)，給出了速度這一概念，路程比時(shí)間等于速度，速度是路程和時(shí)間這兩個(gè)量的倍數(shù)關(guān)系產(chǎn)生的新的量，比值結(jié)果要帶新的單位，這便是非同類量的比。

（三）應(yīng)用于實(shí)際計(jì)算。

雖然西方很早就形成了比的理論，但它建立在嚴(yán)密的幾何理論中，很少涉及計(jì)算。相比之下，中國(guó)對(duì)比的計(jì)算研究更深。中國(guó)古代數(shù)學(xué)重視實(shí)際應(yīng)用，長(zhǎng)于計(jì)算，相關(guān)數(shù)學(xué)成就大多以例題的形式在典籍里呈現(xiàn)，比的認(rèn)識(shí)與比例算法便是在解決實(shí)際問(wèn)題中體現(xiàn)的。

我國(guó)比例算法出現(xiàn)很早，今存最早中國(guó)算術(shù)典籍《算數(shù)書(shū)》中，有關(guān)比例的算題約占全書(shū)一半，涉及正比例和反比例、配分比例、連比例等[6]。中國(guó)比例算法系統(tǒng)形成于《九章算術(shù)》，其中主要講解比例的有第二章“粟米”——糧食谷物按比例交換問(wèn)題，第三章“衰分”——按比例分配問(wèn)題，第六章“均輸”——涉及配分比例和復(fù)比例問(wèn)題。與《幾何原本》類似，比例算法可以說(shuō)是《九章算術(shù)》的基礎(chǔ)知識(shí)而貫通全書(shū)；所不同的是，《九章算術(shù)》及劉徽的《九章算術(shù)注》中沒(méi)有給出比和比例的定義，也未區(qū)分?jǐn)?shù)與量的比，更多是從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，梳理出比和比例的應(yīng)用情況。

由于在《九章算術(shù)》“粟米”章，比例算法的例題開(kāi)頭都是“今有”，所以中國(guó)比例算法被稱為“今有術(shù)”?！敖裼行g(shù)”是已知三個(gè)數(shù)量求出第四個(gè)數(shù)量的算法，四個(gè)成比例的數(shù)量：所有率（a），所求率（b），所有數(shù)（c），所求數(shù)（x），a∶b=c∶x，就有[所求數(shù)=所求率×所有數(shù)所有率]，即“今有術(shù)曰，以所有數(shù)乘所求率為實(shí)，以所有率為法，實(shí)如法而一”。劉徽認(rèn)為“今有術(shù)”是解決比例算法的一般方法，并將其視為算法的核心，任何數(shù)學(xué)問(wèn)題只要找出它們的率關(guān)系（注：兩數(shù)相比的結(jié)果叫作“率”，而兩數(shù)之間存在的關(guān)系便是“率關(guān)系”），再使用“齊同術(shù)”（注：“齊同術(shù)”是中國(guó)古代一種處理比率問(wèn)題的方法，它將求若干個(gè)分?jǐn)?shù)的公分母稱之為“同”，借助分?jǐn)?shù)的性質(zhì)使各個(gè)分?jǐn)?shù)的分子發(fā)生相應(yīng)變化稱之為“齊”，保證與原分?jǐn)?shù)相等，相當(dāng)于“通分”。由劉徽將其從適用于分?jǐn)?shù)發(fā)展為適用于一切與比率相關(guān)的算法），都可以歸結(jié)為“今有術(shù)”[5]?！敖裼行g(shù)”的名稱一直沿用到清朝，“白芙堂算學(xué)叢書(shū)”中道：“所有率、所求率者，舉以為例之兩位數(shù)也……惟此兩率者，為例已定，故今所設(shè)之?dāng)?shù)可比照以求，所以亦名比例式也。”中國(guó)“比例”一詞，由此產(chǎn)生[5]。

中國(guó)“今有術(shù)”在7世紀(jì)傳入印度改為“三率法”，13世紀(jì)經(jīng)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在《算盤(pán)書(shū)》中作詳細(xì)介紹后傳入歐洲，受到歐洲各國(guó)商人的重視，將其譽(yù)為“黃金法”。到18世紀(jì)，誕生于中國(guó)的“今有術(shù)”，經(jīng)過(guò)近兩千年的傳播、演變，成為世界現(xiàn)代算法中的各種比例算法[7]。

由此可見(jiàn)，比的理論形成于西方國(guó)家，由西方傳入中國(guó)；而比例算法產(chǎn)生于中國(guó)并傳入西方各國(guó)，這與數(shù)學(xué)歷史的發(fā)展一脈相承。中西方的古代數(shù)學(xué)是兩個(gè)完全不同的體系，以古希臘為代表的西方數(shù)學(xué)側(cè)重于邏輯演繹體系，中國(guó)古代數(shù)學(xué)偏向于實(shí)際應(yīng)用的算法體系。數(shù)學(xué)最初的產(chǎn)生都是為了解決生活實(shí)踐中的問(wèn)題，那為何會(huì)形成這樣不同的體系呢？或許與“比”有一定的關(guān)系。古希臘數(shù)學(xué)調(diào)和解決數(shù)與量的問(wèn)題，是《幾何原本》及其之后西方數(shù)學(xué)的任務(wù)，為了解決不可公度問(wèn)題，西方數(shù)學(xué)開(kāi)始走向嚴(yán)密的幾何邏輯?！毒耪滤阈g(shù)》及劉徽注從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，直接設(shè)定了數(shù)與量的一致，未提出不可公度比的問(wèn)題，使中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展避免了一次難以逾越的困惑，同時(shí)失去了一個(gè)強(qiáng)大發(fā)展的契機(jī)。

三、“比”與其他概念的聯(lián)系

比的概念從起源到發(fā)展再到應(yīng)用都與其他概念有密切聯(lián)系：比從度量產(chǎn)生起就與分?jǐn)?shù)密不可分；用比運(yùn)算時(shí)與除法有相同之處；無(wú)理數(shù)的確立實(shí)現(xiàn)了數(shù)的比與量的比的統(tǒng)一。在現(xiàn)行各版教材中，比的相關(guān)內(nèi)容最早出現(xiàn)在六年級(jí)上冊(cè)，在此之前，學(xué)生已學(xué)習(xí)過(guò)除法、分?jǐn)?shù)等知識(shí)；在此之后，七年級(jí)將學(xué)習(xí)有理數(shù)、無(wú)理數(shù)等知識(shí)，這些概念皆與比有密切聯(lián)系，這也與比概念的歷史一脈相承。圖1呈現(xiàn)了比與其他概念之間的關(guān)系，體現(xiàn)知識(shí)之間的邏輯體系。

由圖1可知，比是一種關(guān)系表達(dá)，表示兩個(gè)數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，其結(jié)果可以是有理數(shù)（整數(shù)、分?jǐn)?shù)），也可以是無(wú)理數(shù)；除法是一種運(yùn)算，是關(guān)于兩個(gè)數(shù)倍數(shù)關(guān)系的運(yùn)算，其運(yùn)算結(jié)果可以是有理數(shù)、無(wú)理數(shù)；分?jǐn)?shù)是一個(gè)有理數(shù)，除了表示運(yùn)算的結(jié)果，還可以作為比的一種表示形式。

除概念上的關(guān)系外，在功能上，分?jǐn)?shù)、除法與比三者既有聯(lián)系又有區(qū)別。比擁有其他兩個(gè)概念沒(méi)有的表達(dá)功能，更強(qiáng)調(diào)量與量之間倍比關(guān)系的直接描述，有時(shí)并不關(guān)注具體比值是多少，而除法、分?jǐn)?shù)更多的是強(qiáng)調(diào)兩個(gè)量之間的一種運(yùn)算關(guān)系和運(yùn)算結(jié)果。在應(yīng)用時(shí)，比可以同時(shí)表示兩個(gè)、三個(gè)甚至更多量之間的倍數(shù)關(guān)系，而除法和分?jǐn)?shù)一般只表示兩個(gè)量之間的倍數(shù)關(guān)系[8]。

四、啟示與建議

比的本質(zhì)是表示兩個(gè)量或兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，而現(xiàn)行多版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，把“兩個(gè)數(shù)相除，又叫作兩個(gè)數(shù)的比”作為比的定義，這其實(shí)是舍本逐末的做法[9]。因此，要從比的歷史溯源中了解比產(chǎn)生的必要性，明晰比與其他概念之間的邏輯關(guān)系。

1.在教材定義中突出體現(xiàn)本質(zhì)。教材中關(guān)于比的定義是比的表現(xiàn)形式，并沒(méi)有體現(xiàn)出比的本質(zhì)。按教材中的定義，如何體現(xiàn)不同類量之間的比？可以借鑒張奠宙教授提出的比的定義：“兩個(gè)量a、b，如果以b為單位去衡量a，稱a和b之間有關(guān)系為a比b，記作a∶b。a÷b=k稱為比值。”[9]此定義可以溝通同類量和不同類量之間的比。

2.在教學(xué)情境中直觀呈現(xiàn)本質(zhì)。因?yàn)楸仍从诙攘?，教學(xué)時(shí)可以選取生活中真實(shí)用到比的情境，直觀形象地呈現(xiàn)兩個(gè)量之間的關(guān)系[10]，讓學(xué)生經(jīng)歷度量的過(guò)程，經(jīng)歷在情境中探索概念形成的過(guò)程，感受比產(chǎn)生的必要性并抓住其本質(zhì)，讓學(xué)生自己像數(shù)學(xué)家那樣探索數(shù)學(xué)的奧秘[11]。

3.在教學(xué)過(guò)程中辨析深化本質(zhì)。在同一個(gè)真實(shí)情境中，教師鼓勵(lì)學(xué)生分別用比、除法和分?jǐn)?shù)表示數(shù)量之間的關(guān)系，帶領(lǐng)學(xué)生感受三者之間的聯(lián)系，辨析三者間的異同，并拋出“比的各部分與除法、分?jǐn)?shù)中的什么對(duì)應(yīng)”“比的后項(xiàng)可以是0嗎”等問(wèn)題[12]，讓學(xué)生思考和討論，使學(xué)生進(jìn)一步深刻理解比的內(nèi)涵以及比的獨(dú)特作用，形成知識(shí)體系。

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【本文系浙江省哲學(xué)社會(huì)科學(xué)規(guī)劃課題“基于認(rèn)知發(fā)展模型的義務(wù)教育教科書(shū)編寫(xiě)質(zhì)量提升研究”（編號(hào)：23NDJC265YB）、浙江省高校重大人文社科攻關(guān)計(jì)劃項(xiàng)目資助（編號(hào)：2023GH005）的階段性成果】