2022年版課標(biāo)明確提出：“通過(guò)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算，進(jìn)一步感悟計(jì)數(shù)單位在運(yùn)算中的作用，感悟運(yùn)算的一致性。”那么，在平常教學(xué)中如何打通整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)運(yùn)算之間的聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)的運(yùn)算的一致性，進(jìn)而在課堂教學(xué)中讓學(xué)生體會(huì)運(yùn)算的本質(zhì)？下面以蘇教版教材五年級(jí)下冊(cè)“異分母分?jǐn)?shù)加減法”為例進(jìn)行設(shè)計(jì)與說(shuō)明。

一、在復(fù)習(xí)中蘊(yùn)含計(jì)數(shù)單位的一致性

1.辨一辨。

師：（出示圖1）判斷這些算式中的4和2可不可以直接相加減。

生：第1題、第3題可以，但第2題不可以。

師：那第2題怎么改動(dòng)一個(gè)數(shù)，4和2就可以直接相減了呢？

生1：去掉0.02十分位上的0，把算式變?yōu)?.4-0.2，就可以直接相減了。

生2：還可以把0.4改為0.04，算式0.04-0.02中的4和2也可以直接相減。

教師根據(jù)學(xué)生的回答把第2個(gè)算式改為0.4-0.2或0.04-0.02。

2.揭示計(jì)數(shù)單位概念。

師：仔細(xì)觀察這一組算式，為什么這些算式中的4和2都可以直接相加減？

學(xué)生思考片刻后小組討論。

生：因?yàn)樗鼈兊挠?jì)數(shù)單位相同。40和20的計(jì)數(shù)單位是10，0.4和0.2的計(jì)數(shù)單位是0.1，[45]和[25]的計(jì)數(shù)單位是[15]，所以這三個(gè)算式中的4和2可以直接相加減。

【說(shuō)明】史寧中教授提出：“計(jì)數(shù)單位是一種特殊的計(jì)量單位，是個(gè)數(shù)和順序的計(jì)量單位，可以把它作為數(shù)學(xué)化（一致性）的抓手?！盵1]也就是說(shuō)，不管是整數(shù)、小數(shù)還是分?jǐn)?shù)，都是“多少個(gè)計(jì)數(shù)單位”的表達(dá)，加減運(yùn)算也應(yīng)在相同的計(jì)數(shù)單位上進(jìn)行。而數(shù)學(xué)化是弗賴登塔爾提出的一個(gè)重要的觀念，具體方法是“從內(nèi)容出發(fā)到舍棄內(nèi)容”[2]。平時(shí)的課堂教學(xué)中，復(fù)習(xí)導(dǎo)入至關(guān)重要，能否在一上課就調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、引發(fā)其思考的積極性，對(duì)整節(jié)課起著關(guān)鍵作用。因此，設(shè)計(jì)的一組口算辨析，拋開(kāi)結(jié)果，而是在辨析整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)運(yùn)算的過(guò)程中感知計(jì)數(shù)單位的概念，感受整數(shù)運(yùn)算、小數(shù)運(yùn)算、分?jǐn)?shù)運(yùn)算都要在相同的計(jì)數(shù)單位上進(jìn)行。這樣蘊(yùn)含計(jì)數(shù)單位一致性的復(fù)習(xí)更加精準(zhǔn)，也更有數(shù)學(xué)味，不僅激發(fā)了學(xué)生思考的興趣，還為后面新授學(xué)習(xí)做好了鋪墊。

二、在初探算理中感知計(jì)數(shù)單位的一致性

1.活動(dòng)一，操作理解。

師：[12]+[14]的結(jié)果到底等于多少呢？咱們選擇一個(gè)圖形，折一折、畫(huà)一畫(huà)，想辦法得到算式的結(jié)果。

（1）展示作品（正方形，如圖2）。

師：你是怎么想的？

生：我把這個(gè)正方形平均分成4份，這一半是[12]，也是2個(gè)[14]，這一份是[14]，合起來(lái)就是[34]。

師：[34]在哪里？在圖上指給我們看一看吧！

生：（指著其中的每一份）這一份是[14]，這一份也是[14]，這一份還是[14]，合起來(lái)就是3個(gè)[14]是[34]。

教師板書(shū)：3個(gè)[14]是[34]。

師：誰(shuí)再帶我們一起數(shù)一數(shù)？我們邊數(shù)邊思考：為什么要把[12]變成2個(gè)[14]呢？

生：要把它們變成相同的分?jǐn)?shù)單位——[14]再相加。

（2）展示作品（圓形，如圖3），學(xué)生介紹想法（略）。

【說(shuō)明】2022年版課標(biāo)在“數(shù)與運(yùn)算”主題中指出：“感悟數(shù)的運(yùn)算以及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會(huì)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，形成運(yùn)算能力和推理意識(shí)?！痹诰毩?xí)中可以怎么設(shè)計(jì)呢？評(píng)價(jià)一對(duì)比有圖計(jì)算和無(wú)圖計(jì)算，使學(xué)生感受借助通分將異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為計(jì)數(shù)單位相同的分?jǐn)?shù)可以更快捷、更方便地進(jìn)行加減運(yùn)算。評(píng)價(jià)二創(chuàng)設(shè)喝牛奶的情境，分兩個(gè)層次對(duì)比：第一層次的對(duì)比是找不同，也就是同一幅圖學(xué)生標(biāo)的數(shù)據(jù)不同，使學(xué)生明晰“剩下的[13]”到底是標(biāo)整盒牛奶的幾分之幾；第二層次的對(duì)比是找相同，不管是畫(huà)圖還是列式，相同點(diǎn)都是要把“剩下的[13]”轉(zhuǎn)化為“整盒的[16]”，這才是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。這樣的對(duì)比練習(xí)有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感與應(yīng)用意識(shí)，厘清運(yùn)算的本質(zhì)。

四、在總結(jié)梳理中感悟運(yùn)算的一致性

師：今天我們學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容？你有哪些收獲？

生：今天我們學(xué)習(xí)的是異分母分?jǐn)?shù)加減法，從一開(kāi)始不好加，到大家想辦法把異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為計(jì)數(shù)單位相同的分?jǐn)?shù)，就解決了這個(gè)問(wèn)題。

師：你們還記得剛上課時(shí)的那幾個(gè)算式嗎？（呈現(xiàn)圖1改后的4個(gè)算式）究竟什么時(shí)候這些“4”和“2”才能直接相加減呢？

生：只有計(jì)數(shù)單位或分?jǐn)?shù)單位相同時(shí)才能直接相加減。

師：其實(shí)分?jǐn)?shù)單位就是分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位（揭開(kāi)“分?jǐn)?shù)單位”的“分”，下面隱藏著“計(jì)”），像這樣的加減法算式還有很多很多。

師小結(jié)：看來(lái)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減法運(yùn)算是有內(nèi)在一致性的，那就是——相同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)才能直接相加減！

【說(shuō)明】本節(jié)課從基于計(jì)數(shù)單位的判斷到操作、畫(huà)圖初探算理，再到對(duì)比練習(xí)內(nèi)化算理、形成算法，體現(xiàn)加減法運(yùn)算的一致性：相同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)相加減，計(jì)數(shù)單位不變。課的結(jié)尾從整數(shù)、小數(shù)、同分母分?jǐn)?shù)加減法推廣到異分母分?jǐn)?shù)加減法運(yùn)算，使學(xué)生從中體會(huì)計(jì)數(shù)單位在數(shù)的運(yùn)算中的統(tǒng)領(lǐng)作用和數(shù)的運(yùn)算的本質(zhì)，這就建立了整數(shù)、小數(shù)與分?jǐn)?shù)加減法運(yùn)算的內(nèi)在一致性。

參考文獻(xiàn)：

[1]史寧中.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂與核心素養(yǎng)[J].教育研究與評(píng)論，2022（05）.

[2]弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].陳昌平，唐瑞芬，等編譯.上海：上海教育出版社，1995（03）.