算法化與思考性是數學運算教學的兩翼。運算能力并非一種單一的、孤立的數學能力，而是運算技能與邏輯思維等的有機整合。換言之，運算能力不僅是一種數學操作能力，更是一種數學思維能力[1]。下面主要以浙教版教材中“兩位數加一位數”的教學為例，討論如何在新授課教學中讓學生經歷問題解決的過程，學習數學操作，建立算法規(guī)則；如何在拓展課的教學中設計開放、有挑戰(zhàn)性的數學任務，促進學生的數學思考，培養(yǎng)學生的思維能力。

一、新授課的教學以知識為基礎，讓學生經歷問題解決的過程

在兩位數加一位數中，思考性主要體現在探索多樣化的算法中，而算法化主要表現為建立算法規(guī)則?？谒阋鉀Q的核心問題是可以怎樣計算，要讓學生經歷問題解決的過程，探索多樣化的算法。筆算要解決的核心問題是應該怎樣計算，要讓學生經歷建立規(guī)則的過程，理解規(guī)則的適用性。

無論是口算還是筆算，數的概念與位值都是基礎。對數概念的學習與位值的理解，可以設計在問題解決的任務中，如圖1。

通過數數與運算相結合的方式，理解24由2個十和4個一組成。用20+4這一算式表示24，既是理解數概念的途徑，也是探索運算方法的基礎。

口算的教學可以采用對比的形式。首先是兩位數加一位數與兩位數加整十數的比較，如24+5與24+50。用小棒分別表示兩個加數，可以直接看出運算的結果。執(zhí)果索因，再來比較計算時有什么不同，討論為什么24+5的計算發(fā)生在個位上，而24+50的計算發(fā)生在十位上。其次是不進位加法與進位加法的比較，如24+5與24+8。其中，24+8有兩種計算方法（如圖2）：一種是利用20以內進位加法學習中積累的“湊10”思維經驗，把兩位數加一位數進位加法轉化為整十數加一位數；另一種是把個位與十位上的運算剝離開來，把兩位數加一位數轉化為20以內進位加法與整十數加兩位數。殊途同歸，兩種算法都是把兩個數相加轉化為三個數相加，利用了整十數加一位數或兩位數的便利性，背后的算理基礎都是加法結合律。有所不同的是，前者為口算兩位數加法積累經驗，后者為筆算兩位數加法奠定基礎。

筆算的教學可以采用類比的形式。單從計算的復雜性和求得的計算結果上講，兩位數加一位數是沒有必要用筆算的，通過類比可以迅速求得結果，如圖3與圖4。但是，筆算兩位數加一位數，主要目標是建立算法規(guī)則，為學習更加復雜的多位數加法奠定基礎。筆算加法的算法規(guī)則主要是兩條：一是數位對齊，二是滿十進一。學習不進位加法的重點是理解數位對齊的規(guī)則，學習進位加法的重點是建立滿十進一的規(guī)則。在口算教學中，通過24+5與24+50的比較，學生已經理解了個位與個位相加的道理，在用4+8=12、20+12=32的途徑計算24+8時，學生已經學習了個位先加的計算方法。這些知識與經驗的積累，分別為建立兩條算法規(guī)則奠定了基礎。

建立算法規(guī)則時，要讓學生經歷問題解決的過程，充分展開數學思考，把建立法則作為解決問題的手段。在發(fā)現和提出問題時“讓子彈飛一會兒”，在分析和解決問題時“讓思維可以被看見”。以28+4為例，在真實的計數器上演示8+4等于12，個位上只有10個珠子，學生往往想不明白那2個珠子從哪里來，到哪里去。如圖5所示，運算的過程是顯而易見的，但運算的結果是不合理的存在。教學時可以把這個矛盾點作為問題解決的任務來設計。

師：28+4，有個同學畫出了這樣的圖（如圖5），你能看懂嗎？

生：就是先表示出28，再加上4。

師：結果是多少？

生：20和12。

師：兩個數相加，運算之后還是兩個數，這樣的結果你們滿意嗎？

生：不滿意。

師：哪里出了問題？誰發(fā)現了？

生：個位上已經超過10個了。

師：想一想，個位上超過10個了，可以怎么辦？

生：就像數數一樣，個位滿十了就向十位進一。

師：誰能用這幅圖把這個思路講給大家聽聽？

生：先從個位上去掉10個，再在十位上添上1個。

師：“一去一添”其實就是替代，用誰替代誰？

生：用1個替代10個。

師：有那么點兒意思，誰能說得更準確、更完整？

生：用十位上的1個替代個位上的10個。

師：為什么可以這樣替代？理由是什么？

生：10個一是1個十。

以計算為任務驅動，讓學生在操作中直觀發(fā)現和提出問題，重點討論“個位上兩個數相加超過10了怎么辦”，引導學生利用計數的知識和經驗分析與解決問題，把計數中的滿十進一類比到計算中的滿十進一，建立加法計算中遇到進位情形時的算法規(guī)則。

師：在圖上，用1個十代替10個一，把個位上超過10個的問題解決了。那么在真實的計數器上，能演示這個過程嗎？

一名學生演示：先撥好28，再在個位上撥2個珠子。之后停了下來，不知所措。

師：為什么不繼續(xù)操作？他遇到了什么問題？

生：個位上的珠子最多只有10個，8加4是12，珠子不夠。

另一名學生演示：先撥好28，再在十位上加1個，個位上去掉6個。

師：這樣行嗎？結果是多少？

生：32。

師：答案是正確的。可是我發(fā)現一個問題，仔細觀察的小朋友可能也有這樣的疑惑，剛才不是說用10個一代替1個十嗎？1個十在哪里？

生：十位上的1個珠子。

師：那10個一呢？剛才從個位上撥去了幾個？（重現撥珠的過程）撥去了6個，不是10個呀？這是怎么回事？

生：因為是加上4個，那4個原來就沒有撥出來，相當于去掉了，然后又去掉6個，所以去掉的總共是10個。

師：誰聽懂了？為什么個位上只撥去6個就表示去掉了10個？

學生解釋，略。

師：把剛才在計數器上操作的過程記錄下來，可以怎么寫？

生：8+4=12，20+12=32。

師：有同學用豎式記錄了下來（如圖6），你能看懂嗎？有什么問題要問？

生：那里為什么要寫個“小1”呢？

師：對呀，這個“小1”是從哪里冒出來的？應該加到哪里呢？

師：我們拿出小棒（如圖7），看看在操作小棒的過程中，能不能找到這個問題的答案。

師：28加4，怎么得到32的？誰能演示這個過程？

學生把8根和2根放到一起，并捆成1捆。

師：你們把10根捆成了1捆。這捆放在哪兒比較好呢？跟整捆的放在一起，還是跟零散的放在一起？

生：跟整捆的放在一起。

師：這捆小棒你能在豎式中找到嗎？應該加到哪里？

生：就是豎式中的那個“小1”，這個“1”應該加到十位上。

數學知識的形成依賴于直觀，數學知識的確立依賴于推理[2]。計算的法則是抽象的，將抽象的知識作為學習內容，就要考慮學生的可接受性與心理適應性。波利亞說：“抽象的道理是重要的，但要用一切辦法使它們看得見、摸得著?！盵3]先在圖畫中看見不合理的存在，再在計數器上摸到操作上的障礙，然后把計數器上的替代過程類比到豎式中的進位過程，最后利用操作小棒解釋需要進位時的處理方法。

為什么要建立算法規(guī)則？建立算法規(guī)則的依據是什么？算法規(guī)則首先要QOwjsFfF9R85dhU0SexjVA==符合計數的規(guī)則，加法中滿十進一的算法規(guī)則是由十進制計數法的計數規(guī)則決定的。如果參與運算的數采用了七進制計數法，那么相應的算法規(guī)則就是滿七進一。建立算法規(guī)則的目的是使計算方法走向算法化。在兩位數加一位數的筆算中建立滿十進一的算法規(guī)則，然后可以類比到兩位數加兩位數，“從一個到一類”，最終作為多位數加法的通用法則，即哪一位上滿十，就向前一位進一。

二、拓展課的教學以能力為重，讓學生享受成就感

心理學家把知識和技能分為層層嵌套的三個區(qū)域，舒適區(qū)里是已熟練掌握的知識和技能，學習區(qū)里是可以學習的新的知識和技能，恐慌區(qū)里是暫時無法學會的知識和技能。拓展課應該把活動任務設置在學習區(qū)，通過設計開放、有挑戰(zhàn)性的數學任務，給學生充分的思考時間與空間，讓學生在最近發(fā)展區(qū)付出智力代價，在可能發(fā)展區(qū)享受成就感。

兩位數加一位數，無論是口算還是筆算，都是比較簡單的。如果總是在同一水平層次上不斷重復，就會扼殺學生的興趣。如果用和學生的知識相稱的題目激起他們的好奇心，并且用一些激勵性的問題幫助他們解答題目，就能促使他們獨立思考，學會某些方法。

數字謎題的教學，可以提高學生對數與數之間關系的思考能力，加深學生對運算的理解，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力，促進學生的數學思考[4]。下面以兩位數加一位數的數字謎題設計為例，討論如何設計開放、有挑戰(zhàn)性的數學任務。

環(huán)節(jié)1：回顧計算法則。

師：今天老師帶來了記載數學知識的古卷（如圖8），因為年代久遠，有些數字被蟲子吃掉了，吃掉的數字是幾？你是怎么想的？

生：個位上8加9等于17，個位上寫7，十位上4加1……

環(huán)節(jié)2：積累思維經驗。

師：（如圖9）先填一填，再比一比有什么相同與不同。

生：左面的題中，個位上是3加幾等于7，越加越大，是不進位加法；右面的題中，個位上是3加幾等于1，這個1是指11中的1，越加越小，是進位加法。

師：有沒有什么經驗可以跟大家分享？最關鍵的是什么？

生：要先看是進位加法還是不進位加法。

環(huán)節(jié)3：探索解題思路。

師：這個問題（如圖10）有一定的難度，你是希望老師講給你們聽，還是自己解決？

生：自己解決。

教師不給任何提示，學生獨立嘗試。

思維經驗的積累和智慧的發(fā)展，都體現在過程中。教師在組織反饋時，要充分重視引導學生交流解決問題的思路，幫助學生積累解決問題的經驗。

對于圖10所示的數學任務，如果讓學生獨立思考，并且給學生充分的思考時間與空間，他們會表現出比較大的個體差異。有的學生處在恐慌區(qū)，一直在摸索，沒有找到思路。有的學生處在舒適區(qū)，不僅有正確的思考方法，而且可以窮舉所有的答案。大部分學生處在學習區(qū)，并且有不同的層次。有的學生始終沒有思路，只是憑借熟練的計算技能寫出了幾個正確答案。有的一開始并沒有思路，做著做著慢慢就有方法了。如先想出47+6=53，有的通過交換兩個加數個位上的數字得到46+7=53，成對地寫出答案；有的把47個位上的數7減少1，一位加數6增加1，有序地寫出答案。

師：算式寫完了嗎？有沒有補充？

學生補充算式。

師：剛才是想到一個寫一個，有沒有不一樣的思路？

學生交流成對寫的思路。

師：你們寫出的算式真多。如果把這些算式分成兩類，你想怎么分？

生：分成進位加法與不進位加法。

師：好，誰來分一分？

……

師：如果把這兩類算式再排排隊，你有什么建議？

生：按第一個加數從小到大的順序排列，40+3=43，41+2=43……

師：通過剛才的討論，你們一定學到了不少知識和方法。如果重新做這道題，你打算怎么做？

生：分成進位加法與不進位加法兩類。在不進位加法中，可以按第一個加數從小到大的順序排到，比如，40+3=43，41+2=43……

我們希望今天的數學教育全面體現育人價值，不僅關注學生對數學知識、技能的學習，也關注學生對思想的感悟及經驗的積累；不僅關注學生數學能力的培養(yǎng)，也關注學生的情感態(tài)度價值觀的培養(yǎng)[3]。學生在解決問題的過程中，重要的不是答案的多與少，也不是得出答案的快與慢，而是方法產生與思路形成的過程，這個過程是最有價值的數學思考，可以發(fā)展思維、培養(yǎng)能力，可以讓學生享受成就感、體驗成功。

環(huán)節(jié)4：解決復雜問題。

師：（如圖11）相同的圖形符號代表相同的數字，不同的圖形符號代表不同的數字?，F在一個已知的數字都沒有，挑戰(zhàn)性更大了，先試一試，準備交流你的想法。

學生獨立嘗試。

師：是不是進位加法？從哪里看出來的？

生：加數的十位與和的十位不一樣，所以是進位加法。

師：正方形代表的最小的數字是幾？你是怎么想的？

生：看個位，正方形代表的最小的數字是5，大于或等于5的數相加才會出現進位的情況。

師：如果正方形代表的數字是7，那么三角形代表的數字是多少？

生：三角形代表的數字是8。

師：你是怎么想的？

……

師：如果三角形代表的數字是7，那么正方形代表的數字是多少？

生：正方形代表的數字是6。

師：把題目變一變（如圖12），你會解答嗎？

學生先獨立嘗試，再交流思考方法。

師：你知道了哪些關系？

生：三角形代表的數字加正方形代表的數字等于15。

生：三角形代表的數字減正方形代表的數字等于1。

以上幾個題目有聯系且有變化。從學習最簡單的知識開始，到解決復雜的數學任務，都是已有知識與經驗的運用。設計策略是逐步增加問題的開放度與挑戰(zhàn)性，通過序列化設計降低學習難度，讓數學思考循序漸進深入下去。特別是，解決后面的問題時需要用到前面積累的思維經驗，但不是機械重復或簡單復制，而是需要對知識進行重新組織，對經驗稍加改造，這是提升學生數學思考力的關鍵設計，也是讓學生保持學習興趣的重要方法。

學生學習數學的目的不僅僅是獲得知識與技能，更重要的是獲得自己探索數學的體驗和利用數學解決實際問題的能力，獲得對客觀事實尊重的理性精神和對科學執(zhí)著追求的態(tài)度[3]。要達成這些教育目標，首先要設計好的數學任務，特別是要重視設計開放、有挑戰(zhàn)性的數學任務，充分展開問題解決的過程，讓學生深入思考，享受成就感。

參考文獻：

[1]史寧中，王尚志.普通高中數學課程標準（2017年版）解讀[M].北京：高等教育出版社，2018.

[2]史寧中.數學思想概論[M].長春：東北師范大學出版社，2008.

[3]史寧中.義務教育數學課程標準（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[4]張?zhí)煨?現代新思維小學數學教育[M].杭州：浙江大學出版社，2017.