[一、問題]

對于“運算律”內(nèi)容，各版本教材的編排基本相似，老師的教學(xué)方法也相對統(tǒng)一，即“提出猜想—舉例驗證—得出結(jié)論”。善于提問的學(xué)生敏銳地發(fā)現(xiàn)，這一系列的操作都是圍繞加法、乘法展開的，那么問題就來了：減法和除法有運算律嗎？

我們首先對已經(jīng)學(xué)習(xí)了運算律內(nèi)容的五年級學(xué)生做了問卷調(diào)查，共5個問題：有減法交換律嗎？有減法結(jié)合律嗎？有除法交換律嗎？有除法結(jié)合律嗎？有除法分配律嗎？均是選擇題的形式，分別設(shè)置3個選項：有、沒有、無法判斷。

兩個班的58位同學(xué)參與了調(diào)查，數(shù)據(jù)如表1：

對表1中的前4種“運算律”，近90%的同學(xué)認為“沒有”，也有個別持“有”或“無法判斷”的觀點；認同有“除法分配律”的人要稍多一些。那么他們具體是怎么想的呢？我們進行了抽樣訪談。

正方——

唐鼎博：減法和除法有交換律，例如1-1＝1-1，20-20＝20-20。要說沒有，得加前提，否則就無法判斷。

成子翔：我也認為有減法交換律和除法交換律，比如12-5-4=12-4-5，交換了兩個減數(shù)的位置，差不變；12÷2÷3=12÷3÷2，交換了兩個除數(shù)的位置，商不變。

李祎：減法和除法都有結(jié)合律，例如12-5-4＝12-（5＋4），12÷2÷3＝12÷（2×3）。

王怡涵：除法有分配律，例如（10＋6）÷2＝10÷2＋6÷2，（10-6）÷2＝10÷2-6÷2。

反方——

季煜陽：減法和除法沒有交換律，例如10-5≠5-10，10÷5≠5÷10，結(jié)果不一樣。要稱為交換律，必須對所有的算式都成立。

李涵悅：減法和除法沒有結(jié)合律，例如10-3-2≠10-（3-2），20÷4÷2≠20÷（4÷2）。

張振軒：李祎舉的例子12-5-4＝12-（5＋4），這是減法的性質(zhì)，不是減法結(jié)合律；12÷2÷3＝12÷（2×3），這是除法的性質(zhì)。

姜瑾彤：除法沒有分配律，例如48÷（6＋2）≠48÷6＋48÷2。

學(xué)生能基于已有認知，通過舉例闡述自己的觀點，懂得從正、反兩個方向去判斷和說理，難能可貴，讓人欣喜。討論也讓問題更為深入：“12-5-4=12-4-5”是不是減法交換律？“減法的性質(zhì)”“除法的性質(zhì)”顯然是減法和除法運算中存在的規(guī)律，那么為什么不叫“運算律”？運算性質(zhì)和運算律又有什么不同？

[二、分析]

我們在百度百科中進行了搜索，未發(fā)現(xiàn)“運算性質(zhì)”這一詞條，其對“運算律”的解釋如圖1所示：

我們又請教了兩位專家。安徽省教研員胡濤老師認為：運算定律是基本的運算性質(zhì)，即常說的通性。蘇教版教材編輯部黃為良老師認為：運算律就是一類運算性質(zhì)，指運算性質(zhì)中與運算意義相伴相生的那些固有性質(zhì)，是推導(dǎo)其他運算性質(zhì)和運算方法的基礎(chǔ)。

兩位專家的解讀令人茅塞頓開！所謂“性質(zhì)”，即事物的特性和本質(zhì)。運算性質(zhì)是統(tǒng)稱，運算律是運算性質(zhì)中比較特殊的一類。之前我們對運算律的理解是有些偏差的：有人認為運算律是通過對若干等式的觀察、比較進而發(fā)現(xiàn)、歸納的，其實這只是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)、感悟合情推理的一種方式；有人認為運算律是為了簡便計算而總結(jié)的規(guī)律，其實這只是運算律的一種運用。事實上，運算律是數(shù)學(xué)運算最基本的、固有的運算性質(zhì)，是和運算意義同時產(chǎn)生的。

以加法運算律為例。加法是指“將兩個或者兩個以上的數(shù)、量合起來，變成一個數(shù)、量的計算”（百度百科），而“合”的過程是無所謂方向與順序的，終究是要變成一個“數(shù)、量”，所以加數(shù)可以“交換”，可以“結(jié)合”，加法交換律、結(jié)合律也就自然產(chǎn)生了。進一步，有了加法交換律和結(jié)合律，就可以推演出加法的運算方法。比如計算78+56，無論是口算還是筆算，都是算8+6=14，70+50=120，14+120=134，即：78+56=（70+8）+（50+6）=70+8+50+6=70+50+8+6=（70+50）+（8+6）。這實際上就是加法交換律和結(jié)合律的綜合運用。

學(xué)生到五年級會認識負數(shù)，七年級還會學(xué)習(xí)負數(shù)的相關(guān)運算。學(xué)習(xí)負數(shù)的運算后， “[a-b]”就可以理解成“[a+（-b）]”，于是減法就變成了加法，加法運算律便可以使用，前面學(xué)生所說的12-5-4=12-4-5就屬于這種情況。如此說來，減法的運算實際上也用到了加法運算律。當然，如若把加法交換律、結(jié)合律統(tǒng)稱為加法的性質(zhì)也未嘗不可，只是模糊了它的特殊地位。

乘法交換律、結(jié)合律也是同樣的道理，是和乘法的意義相伴而生的。待到學(xué)習(xí)完分數(shù)的乘法和除法，學(xué)生還會了解到“÷4”等于“×[1／4]”，會發(fā)現(xiàn)除法也可以轉(zhuǎn)化成乘法，那么乘法運算律就可以運用到除法中。

交換律和結(jié)合律只涉及加法或乘法的同一級運算，分配律則涉及了乘、加兩種運算，無疑是教學(xué)的難點。學(xué)生運用時出現(xiàn)的問題也更多一些：有乘有加為什么以“乘法分配律”命名？為什么有的除法可以“分配”，而有的不行？

關(guān)于“乘法分配律”的命名，我們了解到國外的數(shù)學(xué)書中稱“乘法分配律”是“關(guān)于加法的乘法分配律”或“乘法對加法的分配律”。我們認為，之所以叫乘法分配律，是因為它是伴隨乘法的運算意義而產(chǎn)生的，是進行乘法運算的基礎(chǔ)。例如：27×15可以表示15個27相加，進而也就可以說成“10個27與5個27的和”，而用豎式計算的過程就是27×5+27×10。所以，乘法意義是理解分配律的根本，至于“分配”只是對呈現(xiàn)形式的形象化表達，比如（a+b）×c表示先把[c]分配給兩個加數(shù)[a]與[b]，相乘得到兩個積后再求和。當然，為什么可以如此“分配”，還是要回到乘法的意義去理解。

對于除法，如果是[（a±b）÷c]，這里的“[÷c]”可以轉(zhuǎn)化成“[×（1／c）]”，依然可以按照乘法分配律理解。因此，除法運算實際上運用的也是乘法分配律。比如列豎式計算42÷3，其實就是在計算[30×（1／3）+12×（1／3）]。運算律的“基本、固有”屬性再次體現(xiàn)。但是，如果是“[c÷（a±b）]”是不可以分配的，前面學(xué)生舉的例子已經(jīng)可以說明，若是分析原因，從意義上來說，除法的基本意義是平均分，如果按此分配，總數(shù)增加，份數(shù)減少（增加），兩個商還要加（減），意義就變了；如果把它轉(zhuǎn)化為乘法，應(yīng)是[c×（1／（a±b）]。

[三、啟示]

就這一內(nèi)容的教學(xué)來說，常規(guī)思路是“提出猜想—舉例驗證—歸納運用”，有的老師會突出強調(diào)舉例的多元性，比如整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)都要涉及，有沒有發(fā)現(xiàn)反例，以此讓學(xué)生更好地經(jīng)歷用不完全歸納法進行數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程。但是，就師生的感受而言，總覺得這個過程是在演戲——明明心里清楚這樣的結(jié)論是成立的，還要裝作不確定打個問號，然后象征性地舉一些例子來驗證。

我們對尚未學(xué)習(xí)這一內(nèi)容的50個四年級學(xué)生做了一個簡單的調(diào)查問卷：

在○里填上>、<或=，并說說你是怎么想的。

① 39+65○65+39

我是這樣想的：_______

② a+b○b+a

我是這樣想的：_______

③ 做上面兩道題你的感覺是怎樣的？在旁邊的□里打鉤（可以多選），如果還有其他心情的可以再寫一寫。

感覺困難□ 感覺很輕松□

感覺很驚奇□ 幾乎都不用考慮□

需要計算一下□ 早就知道了□

第①題，在描述自己的想法時，有48個學(xué)生認為“既然兩邊的加數(shù)相同，和就應(yīng)該相同”；有2個學(xué)生采用了計算的方法。但對于第②題，這2個學(xué)生又認為“數(shù)一樣，只是順序不同，答案沒變”（如圖2）。

第②題，有3個學(xué)生不確定等號兩邊的“[a]”是否表示相同的數(shù)（如圖3），這是因為他們還未學(xué)習(xí)“用字母表示數(shù)”的內(nèi)容；其他47個學(xué)生的想法與第①題相同。

第③題，在對感受的選擇中，無人選擇“感覺困難”，有40人表示很輕松，幾乎不用考慮，未選擇“感覺很輕松”的學(xué)生主要是針對第②題。

通過問卷調(diào)查可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對加法交換律有著一種不證自明的直覺。這一方面是因為在前期的學(xué)習(xí)中學(xué)生已經(jīng)積累了大量的經(jīng)驗，比如一年級根據(jù)一幅圖寫出兩個加法算式、加法驗算等；另一方面，實際上就是學(xué)生基于對加法意義理解的自然運用。

所以，對于相對簡單的交換律和結(jié)合律，我們可以讓學(xué)生選擇自己的方法來說明其成立的理由，無須裝作“不確定”，也不一定非要舉幾個例子。不完全歸納法的價值在于“發(fā)現(xiàn)”，而這一內(nèi)容卻是學(xué)生已經(jīng)知曉的。將其與運算的意義和熟悉的豎式相聯(lián)系，才可以讓學(xué)生真正有所“發(fā)現(xiàn)”。

對于較為復(fù)雜的乘法分配律，已有的教學(xué)實踐告訴我們，雖然依靠舉例可以發(fā)現(xiàn)結(jié)論，但運用中總會有學(xué)生出錯。因為舉例模仿的是算式的“形”，而真正的理解必然源于算式的意義。這里同樣可以給學(xué)生更自主的空間，探索為什么會有這樣的規(guī)律。例如，先請學(xué)生不計算判斷“27×（10+5）”與“27×10+27×5”是否相等，說明理由，再與“27×15”的豎式進行比較，從而基于對“意”的本質(zhì)理解實現(xiàn)對“形”的準確把握。

此外，運算律的教學(xué)可以置于“四則運算”的整體背景之下，探討四則運算的交換律、結(jié)合律和分配律哪些成立，哪些不成立，并最終落腳到每一種運算的意義上。

綜上，通過將運算律和運算性質(zhì)加以辨析，有了對“運算律”意義的理解，將其與相伴而生的運算意義相結(jié)合，與運算方法相聯(lián)系，學(xué)生對運算律才會有更本質(zhì)的認識。