2022年版課標(biāo)指出：“數(shù)學(xué)承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分。”數(shù)學(xué)史料是數(shù)學(xué)文化的重要組成部分，因此基于數(shù)學(xué)史料的教學(xué)應(yīng)該由進(jìn)入小學(xué)數(shù)學(xué)課堂逐漸提升為深入小學(xué)數(shù)學(xué)課堂。

人教版教材中的數(shù)學(xué)史料素材多以“你知道嗎”的形式呈現(xiàn)，內(nèi)容主要是數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生和發(fā)展歷程類、數(shù)學(xué)名人故事和名題類、數(shù)學(xué)應(yīng)用類、數(shù)學(xué)課外知識拓展補(bǔ)充類。這些內(nèi)容是對數(shù)學(xué)知識的拓展和延伸，以及對數(shù)學(xué)文化的傳播，其教學(xué)價值在于：促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，發(fā)展核心素養(yǎng)，真正彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值。

如何以數(shù)學(xué)史料為載體，融通數(shù)學(xué)文化，踐行深度學(xué)習(xí)呢？下面以人教版教材六年級下冊的“圓柱容球”為例說明。

一、尋找基于歷史視角的課外素材，感受偉人的智慧

“圓柱容球”以簡短的文字介紹了古希臘著名數(shù)學(xué)家阿基米德及他最滿意的“圓柱容球”定理，最后要求學(xué)生自主解決球的表面積問題，屬于數(shù)學(xué)名人故事和名題類。關(guān)于阿基米德的介紹，教材中的信息較少，需要教師多方面搜集資料，力求向?qū)W生展現(xiàn)一個立體、全面的形象。

可以以視頻和故事相結(jié)合的形式，介紹阿基米德為人類發(fā)展做出的貢獻(xiàn)：

公元前287年，阿基米德出生于西西里島的敘拉古?！敖o我一個支點，我可以撬起整個地球”就是他的豪言壯語。阿基米德在洗澡時揭開了皇冠含金量的秘密，他利用排開的液體的體積測量王冠的體積，以此判斷皇冠是否由純金制成的，這一故事廣為流傳。阿基米德被稱為“力學(xué)之父”。其實，他還是著名的數(shù)學(xué)家！他的墓碑上刻了一個“圓柱容球”的幾何圖形。據(jù)說這是他臨死前正在研究的圖形。公元前212年，羅馬軍隊沖進(jìn)敘拉古城的時候，阿基米德還在專心致志地研究問題。直到一個士兵踏亂了他在地上畫的圖，他才抬起頭來向著那個士兵喊：“喂，你弄壞了我的圖，趕快走開！”他的喊聲惹怒了那個無知的士兵，他就這樣被殺害了。而阿基米德至死都要守護(hù)的這個圖形，就是他一生的心血，是他在數(shù)學(xué)方面的杰作——“圓柱容球”。

通過展示阿基米德勤奮好學(xué)、專心致志獻(xiàn)身于科學(xué)的精神，幫助學(xué)生體會數(shù)學(xué)的魅力，激發(fā)探索的興趣。

二、探尋深度學(xué)習(xí)的起點，建立數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)文化之間的聯(lián)系

“圓柱容球”就是把一個球放入一個圓柱形容器中，蓋上容器上蓋后，球恰好與圓柱的上底面、下底面及側(cè)面緊密接觸。可以看出，這個球的直徑與圓柱的高、底面直徑相等。在圓柱容球中，球的體積是圓柱體積的[2/3]，球的表面積也是圓柱表面積的[2/3]。

這個兩千多年前的數(shù)學(xué)立體圖形相容結(jié)構(gòu)特征，為今天學(xué)生研究一些立體圖形相容問題，提供了表象支撐。學(xué)生獲得的更多的是對數(shù)學(xué)結(jié)論的理解，這是學(xué)生進(jìn)SzVwVhr63BeSc2aqNUHlHw==行深度學(xué)習(xí)的起點。

三、經(jīng)歷再創(chuàng)造過程，踐行深度學(xué)習(xí)

（一）創(chuàng)設(shè)問題驅(qū)動過程，引發(fā)學(xué)生思維進(jìn)階。

阿基米德在研究圓柱容球時運用了自己非常熟悉的力學(xué)原理，這啟示我們可以用自己熟悉的知識和方法解決問題?？梢砸劳惺妨希ㄟ^創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，引發(fā)學(xué)生的深度思考。為此，我們設(shè)計了這樣的問題：在正方體內(nèi)放置一個最大的圓柱，這能否稱為正方體容圓柱呢？該問題引發(fā)了學(xué)生的思維進(jìn)階，他們遷移圓柱容球的結(jié)構(gòu)特征，發(fā)現(xiàn)正方體內(nèi)最大圓柱的上底面、下底面及側(cè)面與正方體緊密接觸，具有與圓柱容球一樣的結(jié)構(gòu)特征，可以稱為正方體容圓柱。

在判斷立體圖形相容的過程中，學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的過程和人類的文化與智慧。

（二）經(jīng)歷再創(chuàng)造過程，產(chǎn)生共鳴。

正是阿基米德善于捕捉和發(fā)現(xiàn)問題，才使得這一原理得以發(fā)現(xiàn)和流傳。學(xué)生只有經(jīng)歷史料數(shù)學(xué)化的過程，才能真正體會其中蘊含的數(shù)學(xué)方法。所以，教學(xué)時，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷捕捉問題、猜測、驗證等過程，回溯知識形成過程，體會方法的科學(xué)性、推理的嚴(yán)謹(jǐn)性、過程的規(guī)范性，從而產(chǎn)生共鳴。

1.遷移經(jīng)驗大膽猜想。依照圓柱容球的規(guī)律，引出“正方體的體積與圓柱的體積之間、正方體的表面積與圓柱的表面積之間是不是也有某種聯(lián)系”的猜想。

2.借助經(jīng)驗逐步驗證。我們知道，正方形與其最大內(nèi)切圓的面積之比是4∶π，周長之比也是4∶π。我們還知道，不管是長方體還是圓柱，都具有高一定時體積與底面積成正比的關(guān)系?；谶@些已有經(jīng)驗，學(xué)生將對正方體容圓柱中體積的研究轉(zhuǎn)化為對相應(yīng)的正方形及其內(nèi)切圓面積的研究，猜想并驗證正方體容圓柱中正方體與圓柱的體積之比是4∶π。在這一過程中，還滲透了化繁為簡的思想方法。

3.運用經(jīng)驗獨立驗證。學(xué)生提出獨立驗證正方體容圓柱中正方體與圓柱的表面積之間的關(guān)系。結(jié)合推導(dǎo)體積之間關(guān)系的經(jīng)驗，學(xué)生展開驗證：正方形與其內(nèi)切圓的周長之比是4∶π，把正方體容圓柱中正方體與圓柱的側(cè)面展開，分別得到兩個寬一定的長方形，它們的長分別相當(dāng)于正方形與其內(nèi)切圓的周長。根據(jù)寬一定時長方形的長與面積成正比的關(guān)系，推出正方體與圓柱的側(cè)面積之比是4∶π。又因為正方形與其內(nèi)切圓的面積之比也是4∶π，所以正方體容圓柱中正方體和圓柱的表面積之比是4∶π。

由上面的三個流程不難發(fā)現(xiàn)：科學(xué)知識就是在猜想和驗證中得以發(fā)現(xiàn)的；發(fā)現(xiàn)科學(xué)知識的過程也是不斷運用已有經(jīng)驗產(chǎn)生新經(jīng)驗的過程。在這個過程中，每個學(xué)生都化身為阿基米德，參與創(chuàng)造。

（三）建構(gòu)模型，揭示知識的本質(zhì)。

教師出示長方體容圓柱，拓展學(xué)習(xí)資源。學(xué)生已經(jīng)具備獨立探究的經(jīng)驗，當(dāng)他們遷移經(jīng)驗得出長方體與圓柱的體積之比、表面積之比均是4∶π時，教師提出：還有哪些立體圖形相容也具有這一規(guī)律？這一問題再次引發(fā)學(xué)生深度思考。學(xué)生通過自主探究得出上述規(guī)律適用于相對兩個面是正方形的所有長方體容圓柱，從而建構(gòu)了立體圖形相容的數(shù)學(xué)模型。同時，學(xué)生體會到數(shù)學(xué)公式的來之不易，以及科學(xué)家孜孜不倦的探索精神和創(chuàng)新精神。

四、拓展資源，感悟科學(xué)精神和數(shù)學(xué)文化的魅力

“圓柱容球”一課帶給學(xué)生的更多的是收獲：善于發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，善于發(fā)現(xiàn)知識結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系，善于通過轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問題探索新的問題等。所以還要提供拓展資源，供學(xué)生再次探索，比如，出示圓柱容正方體（圖略），請學(xué)生試著推導(dǎo)圓柱和正方體體積之間的關(guān)系。

在“圓柱容球”這一史料融入課堂教學(xué)的實踐中，以科學(xué)精神和數(shù)學(xué)知識為載體，以數(shù)學(xué)思想為核心，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)深度思考的平臺，引發(fā)深度學(xué)習(xí)，發(fā)展核心素養(yǎng)，深化了學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解，彰顯了數(shù)學(xué)文化的意義。